Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Ringe » Primelemente im Euklidischen Ring der Gaußschen Zahlen
Autor
Universität/Hochschule Primelemente im Euklidischen Ring der Gaußschen Zahlen
Floint
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 24.06.2022
Mitteilungen: 7
  Themenstart: 2022-06-24

Hallo miteinander. Erstmal hier die Aufgabe und dann das Problem was ich habe: "Beweisen Sie, dass 3 ein Primelement des Euklidischen Ringe $\mathbb{Z}[i]$ ist, aber 5 nicht. Tipps: Nutzen Sie, dass in Hauptidealringen prim gleich irreduzibel gilt. Für den ersten Teil, benutzen Sie $|x\cdot y|^2 = |x|^2 \cdot |y|^2$ für $x,y \in \mathbb{Z}[i]$ wobei $|x|$ definiert für $x \in \mathbb{C}$." Ich habe es so gelöst in dem ich gezeigt habe, dass $3 = (a + bi)(a - bi) = a^2 + b^2$ nicht lösbar ist für $a,b \in \mathbb{Z}$. Und für den zweiten Teil habe ich die Zerlegung 5 = 4 + 1 = (2 + i)(2 - i) angegeben. Dafür habe ich Fermats Zwei-Quadrate-Satz verwendet. Ich weiß aber nicht wie man das über Hauptidealringe machen sollte. Da der Tipp ist: hier ist prim gleich irreduzibel. Habe ich mir noch die Einheiten $U(\mathbb{Z}[i]) = \{1,i,-1,-i\}$ denken können. Aber dann weiß ich auch nicht mehr weiter wie ich $|\cdot|$ verwenden kann. (außer dass man es natürlich in $\mathbb{Z}[i] \subset \mathbb{C}$ anwenden kann) Ich denke meine Lösung ist richtig. Ich fände es aber auch interessant den anderen Lösungsweg über den Tipp zu sehen. Für Antworten bin ich natürlich sehr dankbar. LG Floint


   Profil
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 6435
Wohnort: Berlin
  Beitrag No.1, eingetragen 2022-06-24

Falls du an anderen, eleganteren Lösungswegen interessiert bist: Es gilt $\IZ[i] \cong \IZ[x] / \langle x^2+1 \rangle$. Nun benutzt man übliche Isomorphiesätze für Ringe und erhält allgemein, für jedes $n \in \IZ$, dass $\IZ[i] / \langle n \rangle \cong \IZ/n\IZ \, [x] / \langle x^2 + 1 \rangle.$ Folgerung: $n$ ist prim in $\IZ[i]$ gdw. $\IZ[i] / \langle n \rangle$ ein Integritätsring gdw. $x^2+1$ prim in $\IZ/n\IZ[x]$ ist. Wenn speziell $n$ eine Primzahl ist, bedeutet das gerade, dass $x^2+1$ keine Nullstelle im Körper $\IZ/n\IZ$ besitzt. Nun hat $x^2+1$ keine Nullstelle in $\IZ/3\IZ$ (man muss ja nur drei Elemente durchgehen), aber in $\IZ/5\IZ$ schon, nämlich $x=2$. Das zeigt, dass $3 \in \IZ[i]$ prim ist, aber $5 \in \IZ[i]$ nicht.


   Profil
Ehemaliges_Mitglied
  Beitrag No.2, eingetragen 2022-06-24

Hi, frag dich nochmal, was du eigentlich zeigen willst und was du bisher gezeigt hast. Du willst zeigen, dass 3 ein Primelement ist in $\mathbb{Z}\left[i\right]$ und 5 keins. Gezeigt hast du bisher aber, dass 3 irreduzibel ist in $\mathbb{Z}\left[i\right]$ und 5 reduzibel. Außerdem weißt du, dass $\mathbb{Z}\left[i\right]$ ein Euklidischer Ring ist. Sind Euklidische Ringe auch Hauptidealringe? Und jetzt hast du die Aussage, dass in Hauptidealringen die Primelemente genau die irreduziblen Elemente sind. Was gilt also für 3 und für 5? Gruß zathe


   Profil
Floint
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 24.06.2022
Mitteilungen: 7
  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-24

@zathe Stimmt, also bau ich für meinen Beweis nur die Brücke darüber, dass das hier ein euklidischer Ring ist. Und jeder euklidischer Ring ist ja auch ein Hauptidealring, also gilt auch hier prim $\Leftrightarrow$ irreduzibel und das war das was mir noch fehlte um wirklich Aussagen über Primelemente zu treffen. @Triceratops Auf die Idee das mit einer Isomorphie zu beweisen, wäre ich gar nicht gekommen. Finde ich auf jeden Fall gut mal gesehen zu haben. Danke euch beiden 🙂


   Profil
Floint hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Floint hatte hier bereits selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
Floint wird per Mail über neue Antworten informiert.

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2022 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]