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  Komposition (Lipschitz-) stetiger Funktionen |
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MalibuRazz
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 |  Themenstart: 2022-06-25
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Hallo, ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:
Sei $\Omega\in \mathbb{R}^n$ beschränkt, $F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ beschränkt und (Lipschitz) stetig. Zeige $$g:L^2(\Omega)\to L^2(\Omega), u \mapsto F\circ u$$ ist auch (Lipschitz) stetig.
$\textbf{Idee Stetigkeit}$ Wegen der Beschränktheit von $\Omega$ und $F$ ist $g(u):=F\circ u \in L^2(\Omega)$, also bildet $g$ von $L^2(\Omega)$ nach $L^2(\Omega)$ ab? Wie kann ich $g$ verstehen? $g$ bildet ein $u$ nach $F\circ u=F(u)$ ab, also $g(u)=F\circ u =F(u)$???
Zeige Stetigkeit von $g$ durch Folgenstetigkeit: Sei $(u_n)_n$ Folge in $L^2(\Omega)$ mit $u_n\to u $ in $L^2(\Omega)$. Dann gibt's eine Teilfolge $(u_{n_k})_k$ sodass $u_{n_k}\to u$ pktw. Da $F$ stetig gilt $F(u_{n_k})\to F(u)$ pktw. Nun brauche ich für die Konvergenz der Integrale eine Majorante $f$ (also s.d. $|F(u_{n_k}(x))|\leq f(u(x))$), damit $F$ in $L^2$ konvergiert. Da jede Teilfolge $F(u_{n_k})$ eine weitere gegen $F(u)$ konvergente TF hat, konvergiert die ganze Folge und $F(u)=F\circ u$ ist stetig. Aber was genau ist jetzt $g$?
Lipschitz: Sei $u\in L^2(\Omega)$, dann $$|F(u(x))-F(u(y))|\leq L|u(x)-u(y)|.$$ Wie gehe ich nun weiter und zeige Lipschitzstetigkeit?
Danke für jede Hilfe!
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nzimme10
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-06-25
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
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\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hallo,
für $u\in L^2(\Omega)$ ist $g(u)\colon \Omega\to \mathbb R$ gegeben durch $g(u)(x)=F(u(x))=(F\circ u)(x)$.
Warum willst du die Stetigkeit zuerst zeigen? Lipschitz impliziert doch insbesondere die Stetigkeit. Zudem benötigst du nun auch eine Norm auf $L^2(\Omega)$. Dafür gibt es ja gerade die $L^2$-Norm. Damit hast du
$$
\lVert g(u)-g(v)\rVert_{L^2(\Omega)}^2=\int_\Omega |g(u)(x)-g(v)(x)|^2 \ \d x=\int_\Omega |F(u(x))-F(v(x))|^2 \ \d x.
$$
Nun solltest du verwenden, dass $F$ Lipschitz ist.
LG Nico\(\endgroup\)
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MalibuRazz
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-25
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\quoteon(2022-06-25 15:43 - nzimme10 in Beitrag No. 1)
für $u\in L^2(\Omega)$ ist $g(u)\colon \Omega\to \mathbb R$ gegeben durch $g(u)(x)=F(u(x))=(F\circ u)(x)$.
\quoteoff
Achso, danke Nico! Ist meine Beweisidee für die Stetigkeit denn ansatzweise richtig (bis auf die noch zu suchende Majorante $f$)?
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nzimme10
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| Beitrag No.3, eingetragen 2022-06-25
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Hallo,
ich habe meine Antwort noch erweitert. Übrigens ist es kein guter Stil bzw. irgendwie auch ein bisschen "frech", wenn du nach einer erhaltenen Antwort eine deiner Fragen einfach aus dem Themenstart wieder entfernst. Ich finde das etwas unangebracht gegenüber jedem, der dir antwortet. Außerdem sorgt es dafür, dass der Thread für spätere Leser nicht mehr so gut nachvollziehbar ist.
LG Nico
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zathe
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| Beitrag No.4, eingetragen 2022-06-25
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Hi,
ich würde so vorgehen, dass ich erst einmal anders herum schaue, wie die Lipschitz-Konstante $c_g$ von g in Abhängigkeit von der Lipschitz-Konstante $c_F$ von F aussieht, wenn du g erst einmal als Lipschitz-stetig voraussetzt.
Im nächsten Moment kannst du dich wieder mit der eigentlichen Aussage befassen und hast dann ein besseres Bild dessen, was überhaupt als Lipschitz-Konstante infrage kommt, was dir bei den vorzunehmenden Abschätzungen helfen dürfte.
Gruß
zathe
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]
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MalibuRazz
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-25
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Hallo Nico, danke für deine Hilfe! Sorry wegen der Änderung der ursprünglichem Frage, dachte das wäre so besser verständlich, aber hier kann man die Edits nicht sehen, habs also wieder geändert.
\quoteon Warum willst du die Stetigkeit zuerst zeigen? Lipschitz impliziert doch insbesondere die Stetigkeit.
\quoteoff
Die Aufgabe ist in (i) Stetigkeit und (ii) Lipschitzstetigkeit aufgeteilt. Oder soll ich dann erst (ii) lösen und dann in (i) einfach auf (ii) verweisen?
Zu (ii) mit deinem Ansatz: Seien $u,v \in L^2(\Omega)$, dann $$||g(u)-g(v)||^2_{L^2(\Omega)}=\int_\Omega |g(u)(x)-g(v)(x)|^2 dx=\int_\Omega |F(u(x))-F(v(x))|^2 dx \leq L \int_\Omega |u(x)-v(x)|^2 dx = L ||u-v||^2_{L^2(\Omega)}, \text{ da } u-v\in L^2(\Omega).$$ Somit ist $g$ mit derselben Lipschitzkonstanten wie $F$ Lipschitzstetig.
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nzimme10
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| Beitrag No.6, eingetragen 2022-06-25
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
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\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
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\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Wenn $L$ eine Lipschitz-Konstante für $F$ sein soll, dann muss bei der quadrierten Version auch $L^2$ stehen. Wenn man dann noch überall radiziert, dann wird aus dem $L^2$ wieder $L$ und man hat tatsächlich, dass man für $g$ die gleiche Lipschitz Konstante wie für $F$ hat.
Ansonsten passt das so, ja.
LG Nico\(\endgroup\)
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MalibuRazz
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-25
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\quoteon(2022-06-25 16:40 - nzimme10 in Beitrag No. 6)
Wenn $L$ eine Lipschitz-Konstante für $F$ sein soll, dann muss bei der quadrierten Version auch $L^2$ stehen.
\quoteoff
Stimmt, vielen Dank! Könntest du mir eventuell noch zu meinem Ansatz zu (i) helfen eine integrierbare Majorante von $|f(u_{n_k})(x)|$ zu finden?
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nzimme10
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| Beitrag No.8, eingetragen 2022-06-25
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
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\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Ist die Aufgabe so gemeint, dass einmal nur davon ausgegangen wird, dass $F$ stetig ist und man soll dann zeigen, dass auch $g$ stetig ist?
Und dann soll man annehmen, dass $F$ Lipschitz ist und soll das gleiche für $g$ zeigen?
Oder darf man von Anfang an annehmen, dass $F$ Lipschitz ist?
LG Nico\(\endgroup\)
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MalibuRazz
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-25
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\quoteon(2022-06-25 17:00 - nzimme10 in Beitrag No. 8)
Ist die Aufgabe so gemeint, dass einmal nur davon ausgegangen wird, dass $F$ stetig ist und man soll dann zeigen, dass auch $g$ stetig ist?
Und dann soll man annehmen, dass $F$ Lipschitz ist und soll das gleiche für $g$ zeigen?
Oder darf man von Anfang an annehmen, dass $F$ Lipschitz ist?
\quoteoff
In (i) ist $F$ stetig und beschränkt und man soll zeigen, dass $g$ stetig ist und in (ii) ist $F$ Lipschitzstetig und man soll zeigen, dass $g$ auch Lipschitzstetig ist.
Dazu: mir fällt jetzt erst auf, dass in (ii) keine Beschränktheit von $F$ habe, sondern nur Lipschitzstetigkeit und die Beschränktheit des Gebiets $\Omega$. Wie zeige ich dann $F(u)\in L^2(\Omega)$ mit $u\in L^2(\Omega)$?
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nzimme10
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| Beitrag No.10, eingetragen 2022-06-25
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
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\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
\quoteon(2022-06-25 17:09 - MalibuRazz in Beitrag No. 9)
Dazu: mir fällt jetzt erst auf, dass in (ii) keine Beschränktheit von $F$ habe, sondern nur Lipschitzstetigkeit und die Beschränktheit des Gebiets $\Omega$. Wie zeige ich dann $F(u)\in L^2(\Omega)$ mit $u\in L^2(\Omega)$?
\quoteoff
Am besten solltest du dann in Zukunft die Aufgabe im originalen Wortlaut angeben. So könnte man Verwirrung vermeiden und auch solche "Kleinigkeiten" entdecken.
Sei $u\in L^2(\Omega)$. Da $F$ Lipschitz ist, gibt es ein $L\geq 0$ mit
$$
|F(u(x))-F(0)|\leq L|u(x)-0|=L|u(x)|
$$
für alle $x\in \mathbb R$. Es folgt daher
$$
\int_\Omega |g(u)(x)-F(0)|^2 \d x=\int_\Omega |F(u(x))-F(0)|^2 \d x\leq L^2\int_\Omega |u(x)|^2 \d x<\infty,
$$
da $u\in L^2(\Omega)$. Also gilt $g(u)-F(0)\in L^2(\Omega)$. Da $\Omega$ beschränkt ist, gilt
$$
\int_\Omega |F(0)|^2 \d x <\infty
$$
und somit ist auch die konstante Abbildung $x\mapsto F(0)$ in $L^2(\Omega)$. Folglich ist auch $g(u)=g(u)-F(0)+F(0)$ in $L^2(\Omega)$.
Zur Stetigkeit: Wie wäre es mit $x\mapsto\sup\limits_{t\in \mathbb R}|F(t)|$ als Majorante? Diese ist in $L^2(\Omega)$, da $\Omega$ beschränkt ist.
LG Nico\(\endgroup\)
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MalibuRazz
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| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-26
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Danke für deine Hilfe, Nico! Es darf ja o.B.d.A $F(0)=0$ angenommen werden (sonst verschieben der Funktion), richtig?
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nzimme10
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| Beitrag No.12, eingetragen 2022-06-26
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Klar, könnte man annehmen, dann wird mein Argument auch deutlich kürzer :D Aber ich finde es etwas trickreich. Denn die Begründung für das o.B.d.A. liefert eigentlich erst mein obiges Argument, oder was meinst du?
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MalibuRazz
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| Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-26
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Sorry, ich hatte irgendwie einen Denkfehler bzw. habe zu kompliziert gedacht 😂
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nzimme10
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| Beitrag No.14, eingetragen 2022-06-26
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Hast du damit auch dein Problem mit der Stetigkeit gelöst?
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MalibuRazz
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| Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-26
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Ja, habe eine Lösung für die Aufgabe, danke!
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