Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Integration » Integration im IR^n » Volumen einer Menge mit Transformationssatz berechnen
Autor
Universität/Hochschule Volumen einer Menge mit Transformationssatz berechnen
Berpal23
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 07.08.2021
Mitteilungen: 36
  Themenstart: 2022-08-12

Wie kann ich das Volumen von $M=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3:x^2+y^2+z^2\leq 9 \text{ und } x^2+y^2\leq 4\}$ berechnen? Mir ist klar, dass die erste Bedingung geometrisch eine Kugel mit Radius 3 darstellt und die zweite Bedingung einen Kreis mit Radius 2. Meine erste Idee wäre Kugelkoordinaten zu benutzen, aber da weiß ich nicht wie ich mit der zweiten Bedingung umgehen soll. Schonmal danke für Hilfe.


   Profil
Kampfpudel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2013
Mitteilungen: 1966
  Beitrag No.1, eingetragen 2022-08-12

Hey Berpal23, folgende Fausregel: Wenn Kugelkoordinaten offensichtlich gehen, dann Kugelkoordinaten. Wenn irgendwo ein kleines bisschen ein Zylinder mit dabei ist -> Zylinderkoordinaten


   Profil
Berpal23
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 07.08.2021
Mitteilungen: 36
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-12

Also sollte ich hier Zylinderkoordinaten benutzen, denn $x^2+y^2\leq4$ ist ja „ein bisschen“ Zylinder, oder?


   Profil
Kampfpudel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2013
Mitteilungen: 1966
  Beitrag No.3, eingetragen 2022-08-12

Genau^^


   Profil
Berpal23
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 07.08.2021
Mitteilungen: 36
  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-12

Dann bekomme ich also $(x,y,z)=(r\cos(\varphi), r\sin(\varphi), h)$. Ich verstehe nicht, was ich als $h$ und was als $r$ wählen muss. Ich würde sagen, $h=2$.


   Profil
Kampfpudel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2013
Mitteilungen: 1966
  Beitrag No.5, eingetragen 2022-08-12

Du musst herausfinden, wie die Intervalle für \(r, \varphi\) und \(h\) aussehen. \(h=2\) macht hier keinen Sinn


   Profil
Berpal23
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 07.08.2021
Mitteilungen: 36
  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-14

Ich habe jetzt für das Volumen $V=\int_{-2}^2\int_{0}^{2\pi}\int_1^{\sqrt{4-z^2}}r dr d\varphi dz$ Stimmt das?


   Profil
Kampfpudel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2013
Mitteilungen: 1966
  Beitrag No.7, eingetragen 2022-08-14

Leider nicht. Wie bist du darauf gekommen?


   Profil
Berpal23
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 07.08.2021
Mitteilungen: 36
  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-14

Ich hatte mich vertan, ich glaube das Volumen ist $\int_{-3}^3\int_{0}^{2\pi}\int_{1}^{\sqrt{9-z^2}}r drd\varphi dz$ Begründung: Für $r^2=x^2+y^2$ folgt aus der ersten Bedingung $r\leq \sqrt{9-z^2}$ und die zweite Bedingung sagt $r\geq 1$. Also habe ich schonmal die Grenzen für $r$. Damit die erste Bedingung für $z$ erfüllt ist, ist $z\in[-3,3]$.


   Profil
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4059
  Beitrag No.9, eingetragen 2022-08-14

\quoteon(2022-08-14 16:02 - Berpal23 in Beitrag No. 8) und die zweite Bedingung sagt $r\geq 1$. \quoteoff Die zweite Bedingung im Startbeitrag sieht eher wie $r\le2$ aus. --zippy


   Profil
Berpal23
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 07.08.2021
Mitteilungen: 36
  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-14

Ich habe die Aufgabe falsch abgetippt. Aber egal, dann versuche ich es mit dir Aufgabe die ich gepostet habe. Also $r^2\geq 4$ bedeutet $r\geq -2$ und $r^2\leq 9-z^2$ bedeutet $r\leq \sqrt{9-z^2}$. Also würde ich $\int_{-3}^3\int_{0}^{2\pi}\int_{-2}^{\sqrt{9-z^2}} r dr d\varphi dz$ bekommen.


   Profil
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4059
  Beitrag No.11, eingetragen 2022-08-14

\quoteon(2022-08-14 16:46 - Berpal23 in Beitrag No. 10) Also $r^2\geq 4$ bedeutet $r\geq -2$ und $r^2\leq 9-z^2$ bedeutet $r\leq \sqrt{9-z^2}$. \quoteoff Nein, $r$ kann nicht negativ werden. Für ein gegebenes $z$ ist $r\le\min\left(2,\sqrt{9-z^2}\right)$.


   Profil
Berpal23
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 07.08.2021
Mitteilungen: 36
  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-14

Oje, ich komme hier echt nicht mehr weiter die Integrationsgrenzen zu bestimmen


   Profil
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4059
  Beitrag No.13, eingetragen 2022-08-14

Es bietet sich eine Fallunterscheidung an (ich ignoriere mal negative $z$-Werte, da $M$ gegen $z\mapsto-z$ symmetrisch ist): 1. Für $0\le z\le\sqrt 5$ läuft $r$ von $0$ bis $2$. 2. Für $\sqrt 5\le z\le3$ läuft $r$ von $0$ bis $\sqrt{9-z^2}$.


   Profil
Berpal23 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2022 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]