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Mathematik » Strukturen und Algebra » Verständnis Homomorphiesatz
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Universität/Hochschule Verständnis Homomorphiesatz
juergenX
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  Themenstart: 2022-10-05

Wir hätten eine Abb die $f(Z)$ auf alle z aus Z nach den Resten zu 3: ${0,1,2}$ abbildet. Das ist ein surjektiver (kanonischer) Epimorpismus, dessen Kern das Ideal $(3)$ ist. Dann git nach dem Homomorpiesatz: $\displaystyle f/(3) \cong img(f)$ ist ein isomorphismus.. ist das so richtig? Das heisst ja nur dass $\displaystyle Z_3 \cong Z_3$, ist an sich nichts "dolles". Oder es stimmt nicht oder es gibt etwas nicht so offensichtliches?


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Mandelbluete
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-10-05

Hallo, Jürgen! Was Du schreibst, ist richtig. Du betrachtest die Projektionsabbildung $f: \mathbb Z \to \mathbb Z/3\mathbb Z$ (von Ringen). Der Homomorphiesatz hilft, das Bild mit einem Quotienten zu identifizieren, aber hier ist das natürlich schon geschehen, und er ergibt dann eine triviale Aussage.


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juergenX
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-05

\quoteon(2022-10-05 15:22 - Mandelbluete in Beitrag No. 1) Hallo, Jürgen! Was Du schreibst, ist richtig. Du betrachtest die Projektionsabbildung $f: \mathbb Z \to \mathbb Z/3\mathbb Z$ (von Ringen). Der Homomorphiesatz hilft, das Bild mit einem Quotienten zu identifizieren, aber hier ist das natürlich schon geschehen, und er ergibt dann eine triviale Aussage. \quoteoff Ja Danke! OK was nicht so triviales: Sei $f: G =Z[i] \mapsto Z: f:a+bi \mapsto a \in Z; a,b \in Z$ der Gausssche Zahlenring wird surjektiv abgebildet auf $Z$. $f$ ist erstmal ein Gruppenhomomorphismus. Der Ker(f) ist $Z$ selber und dann ist nach dem Homomorphiesatz eine Isopmorphie $f/Z \cong Z$. Was ist aber $f/Z$? Wie sieht das aus? Was heisst f "nach" Z? Dieselbe Frage fuer die Projetion der Gruppen $Q(i) \mapsto Q$.


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Mandelbluete
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-10-05

\(\begingroup\)\(\newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \) Als abelsche Gruppe ist $\Z[\i] \cong \Z \oplus \i\Z$, und $f$ ist die Projektion auf den ersten Summanden: \[ f : \Z \oplus \i\Z \to \Z, \quad a + \i b \mapsto a. \] Der Kern davon ist $\i\Z$, und man hat $\Z[\i]/\ker f = \Z[\i]/\i\Z \cong \Z$. Man kann sich die Elemente von $\Z[\i]/\i\Z$ als Nebenklassen \[ (a + \i b) + i\Z = a + \i\Z \] der Untergruppe $\i\Z$ vorstellen. Die Menge der Nebenklassen hat bzgl. der Addition wieder eine Gruppenstruktur. Die Nebenklassen sind hier alle von der Form $a + \i\Z$ mit $a \in \Z$, und \[ \Z[\i]/\i\Z \to \Z, \quad a + \i\Z \mapsto a, \] ist unser kanonischer Gruppenisomorphismus. Hoffe, das hilft. 🙂\(\endgroup\)


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juergenX
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-05

\quoteon(2022-10-05 19:02 - Mandelbluete in Beitrag No. 3) . . . der Untergruppe $\i\Z$ vorstellen. Die Menge der Nebenklassen hat bzgl. der Addition wieder eine Gruppenstruktur. Die Nebenklassen sind hier alle von der Form $a + \i\Z$ mit $a \in \Z$, und \[ \Z[\i]/i\Z \to \Z, \quad a + \i\Z \mapsto a, \] ist unser kanonischer Gruppenisomorphismus. Hoffe, das hilft. 🙂 \quoteoff Ja super erklärt Es ist $Z[i]$ direkte Summe von $Z \oplus iZ$ ! Mir fällt in dem Zusammenhang noch die Suche für ein Beispiel für den sog. 1. und 2. Isomorpiesatz ein.. Die du wohl auch nicht so aus dem Ärmel schütteln kannst, ich fand keine verständlichen Beispiele in wiki. Immer ist der Ker(f) Normalteiler in G. Es ist ja auch $S_3/A_3 \cong C_2$ das als eine Art Division symmetrischer Gruppen gesehen werden kann. $A3$ ist Normalteiler in $S_3$ und der Kern des signum von Permutationen in $S_3$. Und $A_3 \odot C_2 = S_3$ ist direktes Produkt 2er Permutationsgruppen, nicht?


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Mandelbluete
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-10-06

\(\begingroup\)\(\newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \) \quoteon(juergenX) Und $A_3 \odot C_2 = S_3$ ist direktes Produkt 2er Permutationsgruppen, nicht? \quoteoff Ja, das stimmt. Weil $A_3$ ein Normalteiler von $S_3$ ist, handelt es sich um ein semidirektes Produkt, und es gilt sogar allgemein \[ S_n = C_2 \ltimes A_n. \tag{$*$} \] Diese Schreibweise bedeutet folgendes: (1) $A_n$ ist ein Normalteiler, (2) $S_n = C_2A_n$ (Produkt zweier Untergruppen), (3) $C_2 \cap A_n = \{1\}$ (dies impliziert, daß sich jedes Element in eindeutiger Weise als ein solches Produkt darstellen läßt). Wir haben $C_2 \cong \{-1,1\} \cong S_2$ (zyklische Gruppe aus zwei Elementen, multiplikativ geschrieben; additiv haben wir $\Z/2\Z$), aber wenn $s_1 = (2,1)$ die Permutation ist, die $1$ und $2$ vertauscht, dann läßt sich $C_2 \cong \langle s_1\rangle$ auch als Untergruppe von $S_n$ auffassen. Die Vorzeichenfunktion $\operatorname{sgn}$ ist ein surjektiver Gruppenhomomorphismus \[ \operatorname{sgn}: S_n \to \{-1,1\}, \] und $A_n$ ist der Kern davon, also ein Normalteiler. Der Homomorphiesatz gibt \[C_2 \cong S_n/A_n,\] und das impliziert $|A_n| = \tfrac{1}{2}|S_n|$ für die Zahl der Elemente. Wegen $\operatorname{sgn}(s_1) = -1$ hat man $C_2 \cap A_n = \{1\}$. Weil $A_n$ ein Normalteiler von $S_n$ ist, handelt es sich bei $C_2A_n$ um eine Untergruppe von $S_n$, die wegen $|C_2A_n| = 2 \cdot \tfrac{1}{2}|S_n|$ gleich viele Elemente wie $S_n$ hat, also gilt $C_2A_n = S_n$, und wir haben somit ($*$). Jede Permutation $\sigma \in S_n$ kann in der Form $\sigma = s_1 \circ \tau$ mit einem eindeutig bestimmten $\tau \in A_n$ geschrieben werden. Das ist eine hübsche Anwendung des Homomorphiesatzes! \quoteon(juergenX) Mir fällt in dem Zusammenhang noch die Suche für ein Beispiel für den sog. 1. und 2. Isomorpiesatz ein. \quoteoff Ich habe hier einen Artikel von Gockel gefunden. Vielleicht hilft Dir der erst mal weiter. \(\endgroup\)


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juergenX
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-06

Ja noch mal danke, du hast meine Erwähnumg des signum, das eine Gurppe aus ${-1,1}$ ist, mit dem Homomorohiesatz und Normalteiler gut ausfuehrlich erläutert. Der Artikel von Gockel isr sehr "abstrakt" Unser Prof sagte wenn man etwas abstrakt findet, hat man sich noch nicht genug damit beschäftigt. Das stimmt weil ich noch nirgens eine relevante Anwendung fand. Zum semidirekten Produkt hab ich noch nicht ganz den Unterschied zum direkten Produkt verstanden. Ich weiss aus eine früheren Betrachtung des Polynoms $x^5-p$, dass dessen Galoisgruppe $C_5 \ltimes Z_5^*$ wobei $Z_5^*$ die Einheitengruppe eines Rings mit Einselement die Menge aller multiplikativ invertierbaren Elemente enthält. In ${0,1,2,3,4}$ sind ${1,2,3,4}$ invertierbar. z.B. ist $\displaystyle \sigma \in Gal((x^5-p) = (x1 -> x2,x2-> x3,x3-> x4,x4-> x5,x5-> x1) \ltimes (x1 -> x2,x2-> x4,x4-> x3,x3-> x1)$ oder einfacher $\displaystyle (12345)(1243)$. Die Ordnung der Galisgruppe ist $\displaystyle ord(Gal(x^5-p)) = 5*4=20$, wobei eine bekannte Nullstelle $\displaystyle x1\in R = \sqrt[5]{p}$ ist. Und alle weiteren durch Multiplikation mit $\displaystyle e^{2i\pi/5}$ enstehen. (Eben (12345)). Aber auch durch Quadrierung z.b. $\displaystyle x_2^2 = x_4$. Denn die Quadrierung ist hier ein Koerperautomorphismus eingeschraenkt auf die Nullstellen $\displaystyle {x_1,x_2,x_3,x_4,x_5}$. Hoffe das richtig gesagt zu haben. Darüber gab es einen längeren Thread mit weird oder gockel der sehr hilfreich wahr. Ich finde den aber nicht mehr, weil es noch unter meinem alten Namen juergen007 lief.. Vielleicht findet den jemand? Thx


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