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Physik » Elektrodynamik » Oberflächenintegral
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Universität/Hochschule J Oberflächenintegral
cphysik
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  Themenstart: 2022-10-06

Hallo, ich möchte folgende Aufgabe lösen https://matheplanet.at/matheplanet/nuke/html/uploads/b/53668_Bild_2022-10-06_133158714.png aber stecke bei Aufgabenteil b.) fest, da ich mir nicht sicher bin, wie ich $d \vec{a}$ bestimme. wenn ich mich nicht verrechnet habe ist $\vec{v}(r)=\begin{pmatrix}y\\z\\x \end{pmatrix}$ Wie immer, vielen Dank für Eure Hilfe! LG cphysik


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wladimir_1989
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-10-06

Hallo cphysik, \(\vec a\) ist ein orientiertes Oberflächenelement, also ein infinitesimales Stück Oberfläche des Tetraeders multipliziert mit einem Normalenvektor, der weg vom Tetraeder zeigt. Du musst also das Integral in vier Teile aufspalten (jeweils über eine der Grenzflächen des Tetraeders) und den Normalenvektor zu der Oberfläche finden. Für die Grundfläche des Tetraeders haben wir damit d\(\vec a = -\text{d}x\text{d}y\ \left\{0,0,1\right\}^\text{T}\). lg Wladimir P.S. die Rotation ist korrekt.


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cphysik
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-06

Hallo wladimir vielen dank für deine Hilfe, ich möchte nur überprüfen, ob ich es richtig verstanden habe, also wäre die Fläche des Dreiecks BCD $d\vec{a}=-dxdydz \begin{pmatrix}-8/9\\4/9\\-1/9 \end{pmatrix}$ ? Das Minus ist, damit der Vektor nach außen zeigt oder ?


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wladimir_1989
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-10-06

Hallo cphysik, eine Fläche ist zweidimensional, daher kann es nur zwei Integrationsvariablen geben. Beachte, dass die drei Koordinaten auf einer Fläche eine Bedingung erfüllen müssen. Für die Grundfläche lautet die Bedingung \(z=0\). Was ist die Bedingung für die Fläche BCD? Außerdem scheinen die Vorzeichen deines Normalenvektors falsch zu sein. Wie hast du diesen bestimmt? lg Wladimir


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cphysik
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-06

Hallo wladimir, ich habe den Normalvektor so bestimmt, habe zwei Vektoren (0,1,4) und (1,2,0) genommen und mit diesen das Kreuzprodukt gebildet, da ja der Vektor aus dem Kreuzprodukt senkrecht zu diesen steht. Die Bedingung für die Grundfläche verstehen ich, da sie ja keinen Beitrag in der z Koordinate hat, aber wenn ich es mir aufzeichne dann liegt die BCD Seite "schief drin" und hat aber Anteile aller Achsen. Daher weiß ich nicht genau wie ich diese Bedingung finden soll. LG cphysik


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wladimir_1989
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-10-06

Hallo, ich sehe nicht, warum du diese Vektoren zur Berechnung des Kreuzproduktes nimmst. Eigentlich spannen doch \(\vec{ BC}\) und \(\vec{ BD}\) die Fläche BCD auf. Ich würde daher das Kreuzprodukt dieser Vektoren nehmen. Zur Bedingung: Alle Punkte, die in einer Ebene liegen, erfüllen eine lineare Beziehung der Form \(ax+by+cz=d\). Hilft dir das? lg Wladimir


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cphysik
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-07

Hallo, damit würde sich der hoffentlich richtig normierte Vektor als $1/2\sqrt{21} \begin{pmatrix}8 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}$ Bzgl. der Bedingung stehe ich leider immernoch total auf den Schlauch, wenn meine Überlegung stimmt, also das mit den "schief liegen", dann müsste ja $x\neq0,y\neq0,z\neq0$ gelten. Aber ich bin mir nicht sicher wie ich da weiter fortfahre. LG cphysik


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wladimir_1989
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-10-07

Hallo, der Vektor ist richtig. Alle Punkte, die in einer Ebene liegen, müssen die sogenannte Hesssche Normalformgleichung \((\vec x - \vec a)\cdot \vec n =0\) erfüllen, wobei \(\vec d\) Element der Ebene ist und \(\vec n\) ein Normalenvektor. Das kann man auch als Koordinatengleichung \(x_1n_1+x_2n_2+x_3n_3=d\) schreiben, wobei \(d=\vec n\cdot \vec a\) gilt. Nun kann man die Gleichung einfach nach z.B. \(z\) auflösen. Man hat also nur zwei freie Variablen. Jetzt musst du dir überlegen, was die Grenzen für x und y sind. lg Wladimir


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cphysik
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-07

Hallo, danke für den Link, ich habe mir ihn angeschaut, also muss für meine Ebene folgende Gleichung gelten $\frac{8}{2\sqrt{21}}x+ \frac{4}{2\sqrt{21}}y + \frac{2}{2\sqrt{21}}z = d$, um jetzt d zu bestimmen, nehme ich einfach einen Punkt, der ganz bestimmt auf dieser Ebene liegt, in diesem Beispiel nehme ich B=(1,0,0), damit ergibt sich $d=\frac{8}{2\sqrt{21}}$ Nun stelle ich wie von dir vorgeschlagen die Gleichung auf z um, daher ergibt sich $\frac{8}{2\sqrt{21}}x+ \frac{4}{2\sqrt{21}}y + \frac{2}{2\sqrt{21}}z = d$ $8x + 4y + 2z = 8$ $z = \frac{1}{2}\left(8-8x-4y\right)$ Das bedeutet also ich brauche $dx$ und $dy$ als Differenziale, da ja z durch x und y festgelegt ist. Sind dann die Grenzen für das Integral für x von 0 bis d und für y dasselbe ?


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wladimir_1989
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  Beitrag No.9, eingetragen 2022-10-11

Hallo, sorry für späte Antwort. Die Bedingung für z ist richtig. Die Grenzen für x und y sind nicht die gleichen. Die Seiten des Tetraeders projiziert auf die Grundfläche ergeben ja gleichseitige Dreiecke. Das definiert die Grenzen für x und y. lg Wladimir


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