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Mathematik » Stochastik und Statistik » Definition des Wahrscheinlichkeitsmaßes
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Kein bestimmter Bereich J Definition des Wahrscheinlichkeitsmaßes
psychironiker
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2011-08-05


Im Wikipedia-Artikel "Wahrscheinlichkeitsmaß" steht zurzeit:

"Die Wahrscheinlichkeit, dass eines von mehreren sich einander ausschließenden Ereignissen eintritt, ist die Summe der einzelnen Wahrscheinlichkeiten. (Für jede Folge von paarweise disjunkten Ereignissen A_1,A_2, ... gilt: ...)"

Das "sich" ist wohl zuviel. Im verbleibenden : "Die Wahrscheinlichkeit, dass eines von mehreren einander ausschließenden Ereignissen eintritt, ist die Summe der einzelnen Wahrscheinlichkeiten"  ist mir immer noch nicht recht klar,  was summiert werden soll, wenn doch nur eines der einander ausschließenden Ereignisse eintritt.

Wenn nun doch mehrere Ereignisse eintreten, könnte am ehesten gemeint sein: "Die Wahrscheinlichkeit, dass mehrere einander ausschließende Ereignisse eintreten, ist die Summe der einzelnen Wahrscheinlichkeiten." Mehrere Ereignissen treten aber nicht ein, wenn sie einander ausschließen.



Ich würde ersatzweise vorschlagen:

"Die Vereinigung beliebiger paarweise disjunkter Mengen ( = Ereignisse) des Ereignisraums ergibt eine Vereinigungsmenge, deren Wahrscheinlichkeit die Summe der einzelnen Wahrscheinlichkeiten der vereinigten Mengen ist."

Bevor ich aber selbst für andere unverständlichen Müll publizieren, frage ich lieber nach. Ist meine Formulierung verstehbarer (und inhaltlich korrekt), oder habe nur ich Probleme mit der Ausgangsformulierung?

Liebe Grüße, Psychironiker

[ Nachricht wurde editiert von psychironiker am 05.08.2011 23:13:04 ]



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Martin_Infinite
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2011-08-05


Deine Formulierung deutet den Durchschnitt der Ereignisse an; es geht aber um die Vereinigung. Die Formulierung bei Wikipedia ist meiner Meinung nach korrekt und auch verständlich.



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psychironiker
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2011-08-05


Hallo alle Lesekundigen,

(1) dass die Original-Formulierung schon grammatikalisch nicht korrekt ist, wird kaum jemand bestreiten, der den Satz gründlich liest (die Verwendung von Reflexiv- und Reziprokpronomen nebeneinander ist klar widersinnig). Rettungsversuche unternahm ich, mit dem im Themenstart dargelegten Erfolg.

(2) Mag sein, dass mein Formulierung falsch ist, ihre logische Kompatibilität mit anderen Definitionen ist jedoch eindeutig klärbar. Mithin ist sie im Popper'schen Sinne falsifizierbar und daher in keinem Sinne eine Andeutung.

(3) Dass ich nun einen Durchschnitt andeute, wenn ich eine Vereinigung betrachte, toppt die Wikipedia-Formulierung allerdings um Längen: Echtes Zwiedenken, dabei ist 1984 bald dreißig Jahre her.

Das sind aber zugegebenermaßen Formalien, die in der Sache nicht viel weiter führen. In der Hoffnung auf weitere Beiträge zum eigentlichen Thema liebe Grüße,

psychironiker



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Martin_Infinite
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2011-08-05


Da hast du aber große Worte gemacht. wink

Du beschreibst das Ereignis


dass mehrere einander ausschließende Ereignisse eintreten
 
welches sich offensichtlich auf den Durchschnitt der beteiligten Ereignisse bezieht. Das passt nicht zur Situation.



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psychironiker
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2011-08-05


Hallo Martin,

eigentlich dachte ich, dass sich der Textaufbau des Themenstarts von selbst erklärt (und bin normalerweise auch nicht dermaßen überzeugt von meinen Elaboraten, dass ich auch noch Kommentare dazu verfasse). Wenn's aber der Wahrheitsfindung dient:

Die Formulierung der ersten drei Abschnitt versuchen, die zitierte Ausgangsformulierung (mit möglichst geringen Veränderungen) so zu modifizieren, dass sie grammatikalisch korrekt und verständlich wird. Insofern handelt es sich nicht um meinen Text, sondern um meine Rezeptionsversuche einer vorgegebenen Formulierung, deren äußere Mängel ca. ab 7. Schulklasse auffallen, und die sich gleichwohl in einer Quelle mit plusminus enzyklopädischem Anspruch findet. Das könnte irgendwie besser gehen.

Diese Versuche sind gescheitert, meine Modifikationen sind eher noch unverständlicher. Die letzte, von dir zitierte halte ich im übrigen für schlicht unlogisch (vgl. letzter Satz des dritten Abschnitts), und "meins" ist das gerade nicht, sondern "  ".

Erst danach versuchte ich daher im vorletzten Abschnitt eine unabhängige, vollständig eigene Formulierung und bat, jene auf Korrektheit und Verständlichkeit zu prüfen. Inhalt und implizite Haltung deiner ersten Antwort haben mich nun nicht allzusehr amüsiert, aber letzteres trägt genausowenig zur Klärung bei...

Wie könnte denn nun eine taugliche Definition lauten?

Liebe Grüße, Psychironiker



[ Nachricht wurde editiert von psychironiker am 05.08.2011 23:01:54 ]



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Martin_Infinite
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2011-08-05


Ja ich habe es falsch gelesen. Deine Formulierung mit der Vereinigung ist OK, aber weniger verständlich als die von Wikipedia. Die Vereinigung von Mengen Xi besteht doch gerade aus den x, für die ein i existiert, sodass x in Xi liegt. Mit dieser umgangssprachlichen Definition wird in der Formulierung von Wikipedia auf die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung Bezug genommen. In deiner ersten Interpretation hast du aber sozusagen den Existenzquantor mit einem Allquantor verwechselt, entsprechend die Vereinigung mit dem Durchschnitt.

[ Nachricht wurde editiert von Martin_Infinite am 05.08.2011 23:02:10 ]



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psychironiker
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2011-08-05


Hallo Martin,

also z.B.:

"Die Wahrscheinlichkeit, dass (mindestens) eines von mehreren einander ausschließenden Ereignissen eintritt, ist die Summe der einzelnen Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse"  ?

Liebe Grüße, Psychironiker



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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2011-08-06


Hallo psychironiker,
mein Versuch einer weiteren Formulierung, in diesem Zusammenhang vielleicht verständlicher als die Ausgangsformulierung:

Das Ereignis "eines von mehreren einander ausschließenden Ereignissen tritt ein" hat eine Wahrscheinlichkeit, die gleich der Summe der einzelnen Wahrscheinlichkeiten der einander ausschließenden Ereignisse ist.

Es bleibt also dabei, dass immer nur ein Ereignis eintreten kann. Man erreicht das, indem man "eines von mehreren einander ausschließenden Ereignissen tritt ein" als ein Ereignis definiert.

Viele Grüße,
  Stefan

[ Nachricht wurde editiert von StefanVogel am 06.08.2011 07:42:24 ]



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psychironiker
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2011-08-06


Hallo Stefan, hallo Martin,

ein wenig ist die Diskussiongrundlage entfallen, denn 12 Minuten vor Beitrag Nr. 3 wurde von "FranzR" die Formulierung in Wikipedia gebessert, und zwar im ursprünglich angestrebten Sinn (eher geringere Veränderung des Ausgangstexts). Es heißt jetzt:

"Die Wahrscheinlichkeit, dass eines von mehreren einander ausschließenden Ereignissen eintritt, ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten dieser einzelnen Ereignisse: (...)"

Dabei würde ich es belassen... und der Thread wäre abzuhaken.

@Stefan: Dein Formulierung trägt für mich persönlich zur Klarstellung bei (es schließt einander tatächlich aus, was einander ausschließt, vgl. Themenstart, 3. Absatz).

Allerdings hätte ich bei deiner Formulierung das Problem, dass die Definition von Ereignis B als "eines von mehreren einander ausschließenden Ereignissen (A) tritt ein" das Ereignis B zu einer abstrakteren Kategorie als die Ereignisse A erhebt, sozusagen zu einem Meta-Ereignis. Das ist nicht damit vereinbar, das B schlicht die Vereinigungsmenge der A ist. - Ich gebe allerdings zu, das diese Erwägung durchaus Ausfluss einer zwangsneurotischen Tendenz meinerseits sein könnte  , und deswegen einen Kommentar verdient, oder aber auch nicht.

Mit entsprechendem Gruß, psychironiker
[ Nachricht wurde editiert von psychironiker am 06.08.2011 21:53:45 ]
[ Nachricht wurde editiert von psychironiker am 08.08.2011 15:27:45 ]



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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2011-08-07


Hallo psychironiker,
in der Unterscheidung zwischen Ereignissen A und Meta-Ereignissen B erkenne ich die Unterscheidung in Elementarereignisse A und Ereignisse B wieder (hier) oder auch Ergebnisse A und Ereignisse B (hier). Vielleicht trifft es das, was du mit Ereignis und Meta-Ereignis unterscheiden willst. Allerdings merke ich gerade, dass die beiden genannten Seiten den Begriff Elementarereignis nicht gleich definieren. Daher verwende ich nochmal deine Bezeichnung: A1, A2 und A3 seien drei Ereignisse. Dann wäre B12={A1,A2} ein Meta-Ereignis. Man kann aber auch Meta-Ereignisse B1={A1}, B2={A2} bilden und somit B1 mit A1 identifizieren und B12 als Vereinigungsmenge von B1 und B2 bilden. Das geht aber nicht immer. Bevor nun alles noch falscher wird, überlasse ich jetzt die Sache wieder dir.

Viele Grüße,
  Stefan
 
[ Nachricht wurde editiert von StefanVogel am 07.08.2011 08:12:34 ]



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psychironiker
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2011-08-07


Hallo Stefan,

eine Interpretation deiner Formulierung aus Nr. 7:

"Das Ereignis 'eines von mehreren einander ausschließenden Ereignissen tritt ein' hat eine Wahrscheinlichkeit, die gleich der Summe der einzelnen Wahrscheinlichkeiten der einander ausschließenden Ereignisse ist."

ergibt sich so, dass sowohl den einander ausschließenden Ereignissen als auch dem Ereignis ihres Eintritts Wahrscheinlichkeiten zugeordnet sind. Da eine Wahrscheinlichkeit ein Maß ist und jedes Urbilder eines Maßes eine Menge einer Sigma-Algebra ist, sind beide Spezies "Ereignis" deiner Formulierung notwendig Mengen. Die als Elementarereignisse oder Ergebnisse bezeichneten Dinger wären aber bloß Elemente solcher Mengen und können demgemäß nicht gemeint sein.

Andererseits bereitet mir die Vorstellung nach wie vor Schwierigkeiten, dass eine von mehreren disjunkten Menge "eintritt" und sich dadurch in die Vereinigungsmenge der genannten verwandelt.
 Diese Schwierigkeit tritt nicht auf, wenn die einander ausschließenden Ereignissen innerhalb der Anführungszeichen Ergebnisse (also Elemente von Mengen), diejenigen außerhalb der Anführungszeichen aber Ereignisse (im Sinne von Mengen) sind. Dann aber sind Mengen und ihre Elemente mit dem gleichen Begriff bezeichnet.
Bleibt es also dabei, dass eine Menge in ihre Verwandlung eintritt?

Liebe Grüße, Psychironiker
[ Nachricht wurde editiert von psychironiker am 08.08.2011 15:30:00 ]



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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2011-08-07


Hallo psychironiker,
Ergebnisse sind Elemente und Ereignisse sind Mengen, das scheint eine gute Voraussetzung zu sein, um auch die restlichen Unklarheiten zu beseitigen. Ich sage, ein Ereigniss tritt ein, wenn das Ergebnis des Versuches in der dem Ereignis zugeschriebenen Menge enthalten ist. Aus den Ergebnissen A1, A2, A3 kann ich die Ereignisse B1={A1}, B23={A2,A3}, B123={A1,A2,A3} und weitere bilden. Wenn der Versuch das Ergebnis A2 annimmt, sind die Ereignisse B123, B23 eingetreten und B1 nicht. An dieser Stelle kann man feststellen, dass zwischen diesen Ereignissen noch keine begriffliche Unterscheidung mittels "Meta-" notwendig ist, obwohl sie beispielsweise unterschiedlich viele Elemente enthalten. Nun definiere ich: Eigenschaft C ist erfüllt, wenn eines der beiden Ereignisse B1 oder B23 eintritt.

Behauptung: C ist genauso ein Ereignis wie die anderen genannten auch.
Beweis: Ich untersuche, wann die Eigenschaft C erfüllt ist und stelle fest, dass das genau dann der Fall ist, wenn Ereignis B123 eintritt. Also kann ich der Eigenschaft C die Menge {A1,A2,A3} zuordnen und im Absatz zuvor hatte ich bereits festgestellt, dass das genauso ein Ereignis wie die anderen genannten auch ist. Was zu beweisen war.

Das ganze funktioniert nicht, wenn ich C={{A1},{A2,A3}} setzen würde. Dann sehe ich auch ein, dass man das als Meta-Ereignis bezeichen müsste oder so.

Viele Grüße,
  Stefan



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psychironiker
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2011-08-08


Hallo Stefan,

(1) deinen letzter Beitrag kann ich gut nachvollziehen. Er macht "ganz nebenbei" klar, dass du mit der Eigenschaft C nicht das Ereignis B_123 als solches, sondern dessen Eintritt identifizierst (s.o. genauer Wortlaut deines Beitrages). Wenn ich das auf deine ursprüngliche Formulierung aus Nr. 7 rückübertrage, kommt heraus:

"Das Ereignis, das eintritt, indem (oder: wenn mindestens) eines von mehreren einander ausschließenden Ereignissen eintritt, hat eine Wahrscheinlichkeit, die gleich der Summe der einzelnen Wahrscheinlichkeiten der einander ausschließenden Ereignisse ist."

Damit wäre auch von der Formulierung her klar, dass das bedingte Ereignis ebensowenig eine Mengensystems ist wie eines der bedingenden (was ich mit Nr. 10, 2. Absatz einsehe).

(2) Mit dieser Modifikation komme ich, wie ich gerade feststelle, mehr oder minder bei der Formulierung heraus, die unabhängig von diesem Thread zwischenzeitlich entstanden und in Nr. 8, 2. Absatz aufgeführt ist. ... Haken dran?

Viele Grüße, Psychironiker
[ Nachricht wurde editiert von psychironiker am 08.08.2011 15:56:09 ]



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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2011-08-13


Nein, noch nicht! Die Ergänzung "(oder: wenn mindestens)" ist nicht falsch aber irreführend, denn von mehreren einander ausschließenden Ereignissen kann höchstens eines eintreten. Im nächsten Satz, was ist "eine Mengensystems"? Ereignis C würde ich nicht als bedingtes Ereignis bezeichnen weil es Bedingte Wahrscheinlichkeit schon gibt, mit einer anderen Bedeutung. Das muss alles genauer formuliert werden, wenn es noch benötigt wird.

Den Anfang "Das Ereignis, das eintritt, indem ..." halte ich für eine echte Verbesserung der Formulierung und nicht nur für Wikipedia gut geeignet:

"Das Ereignis, das eintritt, wenn die gezogenen Gewinnzahlen mit denen auf dem Tippschein übereinstimmen."

Man kann sich gut vorstellen, dass da einiges eintritt. Aber was genau, ist damit immer noch nicht eindeutig formuliert.

"Das Ereignis, das eintritt, indem die gezogenen Gewinnzahlen mit denen auf dem Tippschein übereinstimmen."

Das schließt nachfolgende Ereignisse besser aus.

So, jetzt, ich versuch mal abzuhaken.



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psychironiker
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2011-08-17


Hallo Stefan,

(1) Also verändere ich Wikipedia entsprechend (Einfügung der "ausdiskutierten" Formulierung).

(2) "eine Mengensystems" in Nr. 12 ist eine plagiographische Variante von "ein Mengensystem". Das kommt davon, wenn man allzu beckmesserisch auf die Anordnung der Silben in den Beiträgen anderer achtet...

(3) Die Formulierung in Nr. 12 könnte unter Vermeidung des anderweitig definierten Begriffs "bedingt" lauten:

"(...) Damit wäre auch von der Formulierung her klar, dass das definierte Ereignis ebensowenig ein Mengensystem ist wie eines der definierenden (was ich mit Nr. 10, 2. Absatz einsehe)."

Soweit zur formalen Richtigstellung. Aber ohnehin handelt es sich nur um die Formulierung eines Verständnisfehlers, dessen Berichtigung höchstens den diesen Thread (Nach)lesenden etwas nützt.



Liebe Grüße, Psychironiker






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