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| Autor |
 Streichholzgraphen 4-regulär und 4/n-regulär (n>4) und 2/5 |
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StefanVogel
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 |  Beitrag No.360, eingetragen 2016-06-18
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Bei der Gelegenheit habe ich gleich nochmal die neue Programmversion ausprobiert und beide Winkel genauer bestimmt. Beginnend bei Winkel P2-P1-P3 über P3-P1-P6 und so weiter entgegen dem Uhrzeigersinn sind das
30.42510593200685°
43.87444863792311°
24.352449232832637°
35.64755076716758°
30.386460492773992°
35.01351212954875°
29.71748363764041°
35.716753099628754°
29.616438721079323°
35.3708351919054°
29.878962157493216°
Summe 360°
Ziel war, in Beitrag No.307 unten die Strecken P69-P77 und P76-P83 gleichzeitig auf Länge 1 zu bringen und das klappt jetzt ohne viel Probieren auf Knopfdruck.
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Slash
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 | Beitrag No.361, vom Themenstarter, eingetragen 2016-06-19
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Verdammt! Ich kann den Graphen nicht zeichnen. Mein CAD Programm bietet nur eine Winkelgenauigkeit von zwei Nachkommastellen. :-(
EDIT: ...na ja, angenähert gehts schon.
So, hier ist er nun - der neue minimalste 4/11 mit 811 Kanten, entdeckt von Slash und StefanVogel am 06.06.2016.
http://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/a/8038_winkler_mike_stefan_vogel_4_11_graph_811_06.06.2016.png
Ich habe mich für die Reverse-Doppel-Kites entschieden, da diese weniger Fläche einnehmen. Es sind also Varianten möglich was die Beschaffenheit der Doppelklammern und auch deren Position betrifft.
Ich habe abwechselnd mit 29.72° und 35.72° gearbeitet. Die kleinen Ungenauigkeiten sind die blauen und roten Kanten, die etwas zu lang bzw. kurz sind - teilweise nur 0,9995 bzw. 1,001). Die Fehler spiegeln sich auf der anderen Seite. Das bekommt man natürlich selbst mit zwei Nachkommastellen noch besser hin. Aber erstmal langt es. ;-)
http://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/a/8038_4_11_neu_811_fehler_b.png
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Slash
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| Beitrag No.362, vom Themenstarter, eingetragen 2016-06-19
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Zur Inspiration vier 4/7 mit 159 und einer viel zu langen Kante. Die sind zwar beweglich, aber die Kante ist wohl einfach zu lang. Vielleicht liefert es neue Ideen.
http://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/a/8038_4_7_neu_slash_159_falsch_19.06.2016.png
Die blaue Kante rechts unten ist sogar kürzer als die anderen drei, welche gleichlang sind.
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StefanVogel
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| Beitrag No.363, eingetragen 2016-06-20
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Zu allen vier Graphen ohne die blaue Kante sagt das extra GAP-Programm "unbeweglich". Die Varianten unterscheiden sich nur durch Veränderung weniger Kanten, deshalb habe ich die entsprechenden Veränderungen wieder als Kommentar mit in die Eingabe gepackt. Den hierfür verwendeten Notizbucheintrag Streichholzgraph-326.htm habe ich nochmal neu angelegt, weil in der Ausgabe für das GAP-Programm ein Fehler enthalten war.
\geo
ebene(625,500)
x(0,10.5)
y(0,8.4)
form(.)
#Eingabe war:
#//blauerWinkel=15.522487814070125
#//No.362-1 vollständig mit Varianten
#//blauerWinkel=15.522487814070125,
#D=50; P[1]=[0,0]; P[2]=[D,0]; A(2,1);
#L(3,1,2); L(4,3,2); L(5,4,2); L(6,4,5); L(7,6,5); M(8,1,3,blauerWinkel,2); N(12,8,3); Q(13,12,6,2*D,D); A(12,13); H(14,12,13,2); A(12,14); A(14,13); L(15,12,14); L(16,15,14); A(16,13); N(17,13,7); L(18,17,7); Q(19,16,17,D,2*D); A(17,19); H(20,17,19,2); A(19,20); A(20,17); N(21,20,18); L(22,21,18); L(23,21,22); L(24,23,22); N(25,20,23); A(19,25); N(26,25,24); L(27,26,24); L(28,26,27); L(29,28,27); R(19,28); H(30,19,28,2); A(19,30); A(30,28); N(31,30,29); L(32,31,29); L(33,31,32); L(34,33,32); L(35,33,34); L(36,35,34); L(37,19,30); N(38,15,19); L(39,38,19); A(39,37); N(40,37,35); A(39,40); //N(41,40,36); L(42,41,36); L(43,41,42); L(44,43,42);
#N(41,40,36); L(42,41,36); L(43,41,42); L(44,43,42); Q(45,41,43,ab(12,10),D); A(41,45); N(46,45,44); L(47,46,44); L(48,46,47); L(49,48,47); L(50,48,49); L(51,50,49); Q(52,45,50,2*D,D); A(45,52); H(53,45,52,2); A(52,53); A(53,45); N(54,52,51); L(55,53,52); L(56,45,53); A(55,56); L(57,54,51); Q(58,55,54,D,2*D); A(54,58); H(59,54,58,2); A(54,59); A(59,58); N(60,59,57); L(61,60,57); L(62,60,61); L(63,62,61); N(64,59,62); A(58,64); N(65,64,63); L(66,65,63); L(67,65,66); L(68,67,66); H(69,67,58,2); A(67,69); A(69,58); N(70,69,68); L(71,70,68); L(72,70,71); L(73,72,71); L(74,72,73); A(11,73); A(11,74); N(75,74,10); L(76,58,69); L(77,58,76); A(75,77); A(75,76); L(78,58,77); A(78,56);
#
#//Die Varianten 362-2 bis 362-4 ergeben sich wieder durch Austausch weniger Kanten
#//zur Auswahl einer Variante nur die betreffenden Kommentarzeichen // entfernen.
#
#//von 362-1 zu 362-2:
#//A(75,77); A(12,15); A(75,12); A(77,15); A(45,56); A(39,40); A(40,45); A(39,56);
#
#//von 362-1 zu 362-3:
#//A(78,56); A(78,58); A(78,77); A(55,56); A(38,39); A(38,19); A(38,15); A(15,16); A(77,15); L(79,55,58); A(15,79); A(39,56); L(80,16,19); A(80,56);A(58,78); A(77,78); A(38,19); A(38,39); //Die Kanten zu P78 und P38 sind nur um P78 und P38 zu fixieren, ohne Einfluss auf die Beweglichkeit
#
#//von 362-1 zu 362-4:
#//A(56,45); A(39,40); A(75,77); A(56,53); A(15,16); A(15,38); L(79,16,19); N(80,14,79); N(81,12,80); A(75,81); L(82,81,80); A(77,82); A(82,79); A(56,39); A(53,56); A(45,40); //auch hier wieder die Kanten zu P15 und P38 nur, um diese beiden Punkte zu fixieren, ohne Einfluss auf die übrige Beweglichkeit
#
#Ende der Eingabe, weiter mit fedgeo:
p(4,0,P1)
p(5,0,P2)
p(4.5,0.8660254037844386,P3)
p(5.5,0.8660254037844386,P4)
p(6,0,P5)
p(6.5,0.8660254037844386,P6)
p(7,0,P7)
p(4.249999999999999,0.9682458365518545,P8)
p(3.2864745084375784,0.7006292692220362,P9)
p(3.5364745084375775,1.6688751057738904,P10)
p(2.5729490168751568,1.4012585384440723,P11)
p(4.749999999999999,1.834271240336293,P12)
p(6.75,1.8342712403362933,P13)
p(5.749999999999999,1.834271240336293,P14)
p(5.249999999999999,2.700296644120732,P15)
p(6.25,2.700296644120732,P16)
p(7.25,0.9682458365518545,P17)
p(7.963525491562422,0.2676165673298181,P18)
p(7.213525491562422,2.9679132114505493,P19)
p(7.231762745781211,1.968079524001202,P20)
p(7.945288237343632,1.2674502547791655,P21)
p(8.820288237343632,0.7833273365032386,P22)
p(8.802050983124843,1.783161023952586,P23)
p(9.677050983124843,1.2990381056766591,P24)
p(8.088525491562422,2.4837902931746227,P25)
p(8.963525491562422,1.999667374898696,P26)
p(9.927050983124843,2.2672839422285134,P27)
p(9.213525491562422,2.96791321145055,P28)
p(10.177050983124843,3.235529778780367,P29)
p(8.213525491562422,2.96791321145055,P30)
p(9.177050983124843,3.235529778780369,P31)
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p(8.677050983124849,5.833605990133687,P36)
p(7.713525491562422,3.833938615234989,P37)
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\geooff
\geoprint()
Die Unbeweglichkeit dieses Graphen lässt sich auch unabhängig vom extra GAP-Programm mit dem variablen blauen Winkel begründen. Punkte P1 bis P7 sind fest vorgegeben. Dann Punkt P8 beweglich und davon abhängig alle Punkte bis einschließlich P28. Wegen geometrischer Überlegungen muss P30 auf der rot markierten Strecke P19-P28 liegen. Deshalb muss Strecke P19-P28 mit dem blauen Winkel auf Länge 2 justiert werden und der Graph wird bis dahin starr. Alle weiteren Punkte bis P44 sind danach ebenfalls starr und wegen Symmetrie auch die restlichen Punkte.
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| Beitrag No.364, vom Themenstarter, eingetragen 2016-06-20
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So kann man sich irren. Ich hätte wenigstens ein bisschen Beweglichkeit erwartet.
Hier drei weitere Studien für Beweglichkeit. Ich weiß allerdings noch nicht, was man daraus machen könnte.
http://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/a/8038_slash_neu_20.06.2016_a.png
http://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/a/8038_slash_neu_20.06.2016_b.png
http://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/a/8038_slash_neu_20.06.2016_c.png
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StefanVogel
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| Beitrag No.365, eingetragen 2016-06-20
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Der erste Graph ist ohne blaue Kanten fünffach und mit blauen Kanten einfach beweglich. Einziger Nachteil, die blauen Kanten werden nur 1, wenn blauer und grüner Winkel gleich groß sind, zum Beispiel 30°. Dann fallen P21=P34 sowie P11=P22 und dazu alle symmetrische Punkte zusammen. Das wäre dann ein 3/4/7.
\geo
ebene(500,500)
xy(0,8.4)
form(.)
#Eingabe war:
#//blauerWinkel=30
#//No.364-1
#//blauerWinkel=6.5405296720780175, gruenerWinkel=12.80829292352237
#D=50; P[1]=[0,0]; P[2]=[D,0]; A(2,1); L(3,1,2); L(4,3,2); L(5,4,2); M(6,1,3,blauerWinkel,2); N(10,6,3); N(11,8,10); N(12,10,4); N(13,11,12); N(14,9,11); N(15,12,5); L(16,9,14); L(17,15,5); M(18,16,14,gruenerWinkel,2); N(22,18,14); N(23,20,22); M(24,17,15,360-gruenerWinkel); L(25,24,17); L(26,24,25); L(27,26,25); N(28,15,24); N(29,28,26);
#
#Q(30,23,29,D,ab(22,29)); A(30,29); Q(31,23,29,D,ab(20,29)); A(31,29);N(32,31,30); L(33,31,32); L(34,31,33); L(35,33,32); N(36,35,30); L(37,35,36); Q(38,23,29,ab(11,23),ab(11,29)); A(38,23); A(38,29); A(36,38); N(39,37,38); L(40,37,39); L(41,40,39); L(42,40,41); N(43,41,38); N(44,42,43); L(45,42,44); L(46,45,44); L(47,45,46); N(48,46,43); N(49,47,48); L(50,47,49); Q(51,23,29,ab(28,23),D); A(51,23); A(51,49); N(52,50,51); L(53,50,52); L(54,53,52); L(55,53,54); A(54,29); N(56,30,22); N(57,28,51); N(58,48,38); A(13,56); A(56,58); A(58,57); A(57,13); R(56,13,"blue"); R(56,58,"blue"); R(57,58,"blue"); R(57,13,"blue");
#Ende der Eingabe, weiter mit fedgeo:
p(4,0,P1)
p(5,0,P2)
p(4.5,0.8660254037844386,P3)
p(5.5,0.8660254037844386,P4)
p(6,0,P5)
p(4,1,P6)
p(3.1339745962155616,0.5000000000000001,P7)
p(3.1339745962155616,1.5,P8)
p(2.2679491924311233,1.0000000000000002,P9)
p(4.5,1.8660254037844384,P10)
p(3.6339745962155616,2.3660254037844384,P11)
p(5.5,1.8660254037844384,P12)
p(4.633974596215562,2.366025403784439,P13)
p(2.7679491924311224,1.8660254037844393,P14)
p(6,1,P15)
p(1.7679491924311224,1.8660254037844384,P16)
p(6.866025403784438,0.4999999999999998,P17)
p(2.5339936355501,2.5088130134709785,P18)
p(1.594301014764191,2.850833156796646,P19)
p(2.3603454578831684,3.493620766483186,P20)
p(1.4206528370972595,3.8356409098088537,P21)
p(3.5339936355501,2.508813013470979,P22)
p(3.3603454578831684,3.493620766483187,P23)
p(6.52400526045877,1.4396926207859084,P24)
p(7.508813013470979,1.2660444431189775,P25)
p(7.1667928701453105,2.2057370639048863,P26)
p(8.151600623157519,2.032088886237955,P27)
p(5.657979856674332,1.9396926207859084,P28)
p(6.300767466360872,2.705737063904886,P29)
p(4.003133067569709,4.259665209602164,P30)
p(2.494320054098728,3.9936207664831835,P31)
p(3.137107663785268,4.7596652096021606,P32)
p(2.15229991077306,4.933313387269092,P33)
p(1.5095123010865201,4.1672689441501145,P34)
p(2.7950875204596004,5.699357830388069,P35)
p(3.6611129242440414,5.199357830388074,P36)
p(3.661112924244036,6.199357830388074,P37)
p(4.161112924244041,4.3333324266036355,P38)
p(4.161112924244036,5.3333324266036355,P39)
p(4.661112924244035,6.199357830388074,P40)
p(5.161112924244035,5.3333324266036355,P41)
p(5.661112924244034,6.199357830388074,P42)
p(5.161112924244041,4.3333324266036355,P43)
p(5.661112924244042,5.199357830388074,P44)
p(6.527138328028476,5.69935783038808,P45)
p(6.527138328028485,4.69935783038808,P46)
p(7.393163731812919,5.199357830388087,P47)
p(6.027138328028483,3.8333324266036426,P48)
p(6.893163731812917,4.33333242660365,P49)
p(7.893163731812917,4.333332426603648,P50)
p(6.12711928869394,3.6905448169170945,P51)
p(7.12711928869394,3.6905448169171073,P52)
p(8.06681190947985,3.34852467359144,P53)
p(7.300767466360872,2.7057370639048997,P54)
p(8.240460087146781,2.363716920579232,P55)
p(4.17678124523664,3.2748574565899564,P56)
p(5.484331679007401,2.9245003737981166,P57)
p(5.027138328028483,3.833332426603643,P58)
nolabel()
s(P1,P2)
s(P1,P3) s(P2,P3)
s(P3,P4) s(P2,P4)
s(P4,P5) s(P2,P5)
s(P1,P6)
s(P1,P7) s(P6,P7)
s(P7,P8) s(P6,P8)
s(P7,P9) s(P8,P9)
s(P6,P10) s(P3,P10)
s(P8,P11) s(P10,P11)
s(P10,P12) s(P4,P12)
s(P11,P13) s(P12,P13) s(P56,P13)
s(P9,P14) s(P11,P14)
s(P12,P15) s(P5,P15)
s(P9,P16) s(P14,P16)
s(P15,P17) s(P5,P17)
s(P16,P18)
s(P16,P19) s(P18,P19)
s(P19,P20) s(P18,P20)
s(P19,P21) s(P20,P21)
s(P18,P22) s(P14,P22)
s(P20,P23) s(P22,P23)
s(P17,P24)
s(P24,P25) s(P17,P25)
s(P24,P26) s(P25,P26)
s(P26,P27) s(P25,P27)
s(P15,P28) s(P24,P28)
s(P28,P29) s(P26,P29)
s(P23,P30)
s(P23,P31)
s(P31,P32) s(P30,P32)
s(P31,P33) s(P32,P33)
s(P31,P34) s(P33,P34)
s(P33,P35) s(P32,P35)
s(P35,P36) s(P30,P36) s(P38,P36)
s(P35,P37) s(P36,P37)
s(P37,P39) s(P38,P39)
s(P37,P40) s(P39,P40)
s(P40,P41) s(P39,P41)
s(P40,P42) s(P41,P42)
s(P41,P43) s(P38,P43)
s(P42,P44) s(P43,P44)
s(P42,P45) s(P44,P45)
s(P45,P46) s(P44,P46)
s(P45,P47) s(P46,P47)
s(P46,P48) s(P43,P48)
s(P47,P49) s(P48,P49)
s(P47,P50) s(P49,P50)
s(P29,P51) s(P49,P51)
s(P50,P52) s(P51,P52)
s(P50,P53) s(P52,P53)
s(P53,P54) s(P52,P54) s(P29,P54)
s(P53,P55) s(P54,P55)
s(P30,P56) s(P22,P56) s(P58,P56)
s(P28,P57) s(P51,P57) s(P13,P57)
s(P48,P58) s(P38,P58) s(P57,P58)
color(blue) pen(2)
s(P1,P3) m(P3,P1,MA10) m(P1,P6,MB10) f(P1,MA10,MB10)
color(green) pen(2)
s(P16,P14) m(P14,P16,MA20) m(P16,P18,MB20) f(P16,MA20,MB20)
color(red) pen(2)
color(blue) s(P56,P13) abstand(P56,P13,A0) print(abs(P56,P13):,1,7.9) print(A0,2.3,7.9)
color(blue) s(P56,P58) abstand(P56,P58,A1) print(abs(P56,P58):,1,7.6) print(A1,2.3,7.6)
color(blue) s(P57,P58) abstand(P57,P58,A2) print(abs(P57,P58):,1,7.3) print(A2,2.3,7.3)
color(blue) s(P57,P13) abstand(P57,P13,A3) print(abs(P57,P13):,1,7) print(A3,2.3,7)
\geooff
\geoprint()
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| Beitrag No.366, vom Themenstarter, eingetragen 2016-06-20
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\quoteon(2016-04-08 21:52 - haribo in Beitrag No. 164)
http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/a/35059_st-versuch_4-10.png
ansatz für nen symetrischen 4/10er
es ist aber noch zu wenig beweglichkeit im inneren, die roten striche sind zu lang ca. 1.06
evtl hast du ne idee dazu
grus haribo
\quoteoff
Könnte der nicht beweglich sein? Eine Verdrehung könnte die roten Kanten evtl. auf Einheitslänge bringen.
EDIT: Wenn beweglich, dann werden die roten Kanten wohl nur länger, nicht kürzer. :-(
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| Beitrag No.367, vom Themenstarter, eingetragen 2016-06-21
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Zum Sommeranfang präsentiere ich diese geniale Konstruktion eines 4/7 mit 185 aber leider einer etwas zu langen Kante - nicht jeder Sommer ist perfekt. ;-) Im doppelt symmetrischen Rahmen sind 4 Kites (nicht komplett) integriert, die auch Teil eines 7er Knotens sind. Beider 7er Knoten liegen hier nicht mittig im Graphen sondern am Rand und teilen sich keine Kante.
http://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/a/8038_4_7_neu_slash_21.06.2016_mit_185_falsch.png
Die andere Kantenvariante in der Mitte hat genau Einheitslänge, nützt aber nichts. Ob der Graph beweglich ist, habe ich nicht im Gespür.
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| Beitrag No.368, vom Themenstarter, eingetragen 2016-06-22
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Hier nochmal der 11er Kern mit verschiedenen und genaueren Winkeln. Es kommen zwei sehr schmale Rauten vor.
http://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/a/8038_4_11_neu_811_fehler_c.png
Mit den zwei Nachkommastellen wird es aber nie genau werden. Die grünen Kanten sind ca. 0.9998-1.0001, die roten ca. 0.993-0.996, die blauen ca. 1.036-1.038. Außer diesen 11 Kanten sind alle exakt 1.
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| Beitrag No.369, vom Themenstarter, eingetragen 2016-06-23
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\quoteon(2016-06-18 23:33 - StefanVogel in Beitrag No. 360)
Bei der Gelegenheit habe ich gleich nochmal die neue Programmversion ausprobiert und beide Winkel genauer bestimmt. Beginnend bei Winkel P2-P1-P3 über P3-P1-P6 und so weiter entgegen dem Uhrzeigersinn sind das
30.42510593200685°
43.87444863792311°
24.352449232832637°
35.64755076716758°
30.386460492773992°
35.01351212954875°
29.71748363764041°
35.716753099628754°
29.616438721079323°
35.3708351919054°
29.878962157493216°
Summe 360°
\quoteoff
Hi Stefan, könntest du den Kern+Umgebung mit diesen Winkeln einmal posten? Mich würde interessieren, ob mit den genauen Winkeln auch diese zwei schmalen Rauten entstehen. Denn schon +/- 0.01° wirken sich stark auf die Rautenbreite aus. Hier eine veränderte Näherung.
http://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/a/8038_4_11_neu_811_fehler_e.png
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Slash
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| Beitrag No.370, vom Themenstarter, eingetragen 2016-06-23
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Was mir gerade wegen seiner innovativen Wichtigkeit selbst erst aufgefallen ist. Die Beiträge #349, #350 und #351 zeigen erstmals* komplett unsymmetrische minimale 4/n-reguläre SHG, also auch mit unsymmetrischer Hülle. Gerade die 4-regulären (132 und 134 Kanten) sind bemerkenswert, da ich selbst ihre Existenz für ausgeschlossen hielt. Das 6-eck im Zentrum zeigt zwar Symmetrie, ist aber eben nur ein Teilgraph. Das macht Hoffnung auf einen noch unentdeckten 4-regulären SHG mit weniger als 104 Kanten, der auch unsymmetrisch sein kann. Aus den 4/4 lassen sich natürlich auch entsprechend unsymmetrische 4/5 und 4/6 Graphen konstruieren.
http://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/a/8038_unsymmetrische_Graphen_Slash.png
*gemeint sind hier Graphen, die keine vollständigen (Triplet-, Double-)Kites enthalten wie der 4/10 oder in #96 oder #98.
Aufgabe für Stefan: Lässt sich z.B. einer der 4/4 so verformen, dass die Hülle doch symmetrisch wird?
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haribo
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| Beitrag No.371, eingetragen 2016-06-24
|
also erstmal noch meine glückwünsche an slash und stefan zum 4/11er mit 811 hölzern!
und zu den unregelmässigen 4/4ern! die sind sehr spannend
glückwunsch und hurra!!
ich hab die letzen tage eine neue beschreibung erfunden, erstmal für reguläre 4/4er,
und zwar fängt man aussen an und legt die hülle bestehend aus lauter 1 langen abschnitten an (hier blau), also beginnt die beschreibung eines jeden graphen mit 1,1,1,1,1,...
ist man die runde herum geht es mit grün weiter, und die beschreibung ist die anzahl der striche bis man wieder die blaue hülle berührt (in diesem beispiel des harborth also 2,2,2,2,....
-bei jedem(!) 4/4er kommt man sowohl mit blau als auch mit grün wieder zum ausgangspungt zurück
-danach geht es mit gelb weiter und zwar starte ich am ersten freien ende von grün, die beschreibung des gelben polygons wäre also: 1,1,3,1,4,1, usw
-danach mit rot 1,1,1,
meine komplettbeschreibung des harborth wäre also:
er besteht aus 4 teilpolygonen der folge
1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1, (20)
2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2, (40)
1,1,3,1,4,1,3,1,1,2,1,1,3,1,4,1,3,1,1,2, (36)
1,1,1,1,1,1,1,1, (8)
summe (104)
http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/a/35059_st-neue-bezeichnung.png
wozu das ganze?
man kann hiermit als erstes nettes ergebniss mal leicht zeigen das jeder 4/4er mit einem einzigen durchgehenden polygon überschneidungsfrei gezeichnet werden kann:
blau und grün sind eindeutig hinterein durchziehbar,
das grün kann man jeder inneren stelle trennen und gelb eine runde herum zeichnen, und grün dann fertigstellen
und das gelb lässt sich wiederum unterbrechen um rot durchzuziehen(usw.usw. bei komplizierteren graphen)
weiterhin kann man aus den zahlenketten jeweils auf die beweglichkeiten schliessen, die hülle ist erstmal immer voll beweglich, es gibt leicht einsichtig also mehrfach unendlich viele hüllen der anzahl (20)
der grüne polygon aus laueter 2ern ist in sich unbeweglich, zweier führen immer zu stabilen dreiecken, sie folgen hier dem inneren verlauf der hülle
interessant sind die vielfältigen möglichkeiten des gelben polygons mit 3ern und 4ern
der rote polygon wirft die frage auf, ob der innerste polygon auch immer aus lauter 1-ern bestehen muss?
die aussicht ist, das man jetzt diese zahlenketten als 4/4er beschreibung ziemlich zufällig abändern könnte und dann mit sich selbststabilisierender programierung (was das genau ist weiss ich selber noch nicht!) endlos viele varianten durchrechnen lassen kann bis man eben wieder einen funktionierenden graphen findet
also einfach vorgibt die zu testenden teilpolygone haben folgende struktur,
als beispiel meinetwegen:
1,1,1,1,1,1,1.....
2,3,2,3,2,3,....
x,y,z,......
1,1,1,1.......
summe 102...100...98
|
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StefanVogel
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| Beitrag No.372, eingetragen 2016-06-25
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Hallo haribo, die Glückwünsche müssen wir von dem 4/11 auf die unsymmetrischen 4/4 umlenken, ich hab wieder was verkehrt gemacht. Wenn ich wenigstens den Graph vom 4/11 gleich mit gepostet hätte! Dann wäre das mit den schmalen Rauten eher aufgefallen und Slash hätte sich noch nicht mit dem Zeichnen abmühen müssen. Die Raute P2-P79-P80-P4 ist ja noch ok, das ist nicht im Bild, aber an den Koordinaten an der dritten Nachkommastelle erkennbar
P[4]=[1.8622918519423548,0.506411652782422];
P[79]=[1.8649672177320822,0.5018283693144706];
P4 liegt links oberhalb von P79.
Bei der Raute P19-P20-P23-P25 ist der Unterschied so gering, dass damit die genaue Lage nicht bestimmt werden kann. Den Koordinaten nach liegt P25 rechts von P20, doch erst nach soviel Kommastellen, dass sich das auch durch das Runden in den einzelnen Rechenschritten ergeben haben kann. Das nochmal genauer rechnen muss ich auf später verschieben, das bringe ich mit dem verwendeten Programm nicht.
P[20]=[-0.8488424356332901,1.70431841321355];
P[25]=[-0.8488424356332885,1.7043184132135516];
\geo
ebene(750,750)
x(0,12.6)
y(-6.2,6.4)
form(.)
#Eingabe war:
#//blauerWinkel=43.87444863792311
#//Bodybilder No.323-4 mit Kern 313-3: nochmal mit Feinjustieren2()
#//blauerWinkel=43.87444863792311; gruenerWinkel=30.42510593200685
#D=50; P[1]=[0,0]; P[2]=[D,0]; A(2,1);
#M(3,1,2,gruenerWinkel); N(4,3,2); L(5,3,4);
#M(6,1,3,blauerWinkel); N(7,6,3); N(8,7,5); L(9,8,5); L(10,8,9); L(11,10,9); L(12,6,7);
#Q(13,12,10,2*D,D); A(13,12); H(14,12,13,2); A(12,14); A(14,13); L(15,12,14); L(16,14,13); A(15,16); L(17,16,13); N(18,6,15); N(19,1,18); L(20,19,18);
#Q(21,20,17,2*D,2*D); A(20,21); H(22,20,21,2); A(20,22); A(22,21); L(23,20,22); L(24,22,21); A(23,24); N(25,19,23); N(26,1,25); L(27,26,25);
#Q(28,27,24,2*D,D); A(27,28); H(29,27,28,2); A(27,29); A(29,28); L(30,27,29); L(31,29,28); A(30,31); L(32,31,28); N(33,26,30); N(34,1,33); L(35,34,33);
#Q(36,35,32,2*D,2*D); A(35,36); H(37,35,36,2); A(35,37); A(37,36); L(38,35,37); L(39,37,36); A(38,39); N(40,34,38); N(41,1,40); L(42,41,40);
#Q(43,42,39,2*D,D); A(42,43); H(44,42,43,2); A(42,44); A(44,43); L(45,42,44); L(46,44,43); A(45,46); L(47,46,43); N(48,41,45); N(49,1,48); L(50,49,48);
#Q(51,50,47,2*D,2*D); A(50,51); H(52,50,51,2); A(50,52); A(52,51); L(53,50,52); L(54,52,51); A(53,54); N(55,49,53); N(56,1,55); L(57,56,55);
#Q(58,57,54,2*D,D); A(57,58); H(59,57,58,2); A(57,59); A(59,58); L(60,57,59); L(61,59,58); A(60,61); L(62,61,58); N(63,56,60); N(64,1,63); L(65,64,63);
#Q(66,65,62,2*D,2*D); A(65,66); H(67,65,66,2); A(65,67); A(67,66); L(68,65,67); L(69,67,66); A(68,69); N(70,64,68); N(71,1,70); L(72,71,70); N(73,2,71); N(74,73,72); L(75,74,72); L(76,74,75); L(77,76,75); L(78,76,77); L(79,2,73); N(80,4,79); L(81,80,79); L(82,80,81); L(83,82,81); L(84,82,83);
#
#R(69,77); R(76,83);
#
#Ende der Eingabe, weiter mit fedgeo:
p(4,0,P1)
p(5,0,P2)
p(4.862291851942355,0.506411652782422,P3)
p(5.862291851942355,0.506411652782422,P4,nolabel)
print(\P4,5.6,0.7)
p(5.362291851942355,1.3724370565668607,P5)
p(4.270607930146376,0.9626896426896336,P6)
p(5.13289978208873,1.4691012954720555,P7)
p(5.63289978208873,2.3351266992564943,P8)
p(6.331309503544929,1.6194285359393918,P9)
p(6.6019174336913045,2.5821181786290253,P10)
p(7.300327155147503,1.8664200153119228,P11)
p(4.263188500035511,1.9626621183392536,P12)
p(5.825096288070505,3.211839472310912,P13)
p(5.044142394053008,2.5872507953250827,P14)
p(4.112755785858418,2.951282368235701,P15)
p(4.893709679875915,3.57587104522153,P16)
p(5.674663573893412,4.200459722207358,P17)
p(4.120175215969285,1.9513098925860808,P18)
p(3.849567285822909,0.9886202498964473,P19)
p(3.15115756436671,1.70431841321355,P20)
p(3.7644398950272926,3.6079687967923006,P21)
p(3.4577987296970014,2.6561436050029257,P22)
p(2.480173350980261,2.445790048130334,P23)
p(2.7868145163105527,3.3976152399197095,P24)
p(3.1511575643667116,1.7043184132135516,P25,nolabel)
print(\P25,2.8,1.9)
p(3.3015902785438027,0.7156981633171046,P26)
p(2.370203670349214,1.0797297362277236,P27)
p(1.8631599839125368,3.0143890602547483,P28)
p(2.1166818271308756,2.0470593982412355,P29)
p(1.4057106876021281,1.3438382105931428,P30)
p(1.1521888443837893,2.3111678726066547,P31)
p(0.898667001165451,3.2784975346201666,P32)
p(2.337097295796716,0.9798066376825202,P33)
p(3.035507017252913,0.26410847436541546,P34)
p(2.066489365650338,0.017116994992887342,P35)
p(0.541163380996577,1.3107091411270682,P36)
p(1.3038263733234574,0.6639130680599777,P37)
p(1.125016039142781,-0.3199704943549023,P38)
p(0.3623530468159002,0.3268255787121882,P39)
p(2.0940336907453565,-0.07297901498237422,P40)
p(3.0585266734924437,-0.33708748934779,P41)
p(2.347555533963699,-1.0403086769958856,P42)
p(0.3815756938397885,-0.6729896491381356,P43)
p(1.364565613901744,-0.8566491630670106,P44)
p(1.6970067692236142,-1.7997731624691358,P45)
p(0.7140168491616583,-1.6161136485402607,P46)
p(-0.2689730709002971,-1.432454134611386,P47)
p(2.4079779087523647,-1.096551974821046,P48)
p(3.349451235259921,-0.7594644854732561,P49)
p(3.170640901079245,-1.7433480478881358,P50)
p(1.3600035719308066,-2.5928140344315698,P51)
p(2.265322236505026,-2.168081041159853,P52)
p(3.0858111307908476,-2.739743506565471,P53)
p(2.180492466216628,-3.164476499837188,P54)
p(3.264621464971524,-1.7558599441505915,P55)
p(3.9151702297116024,-0.9963954586773355,P56)
p(4.247611385033481,-1.9395194580794581,P57)
p(3.0933267817583103,-3.5728066510255987,P58)
p(3.6704690833958953,-2.756163054552528,P59)
p(4.6662743345982545,-2.847661151132763,P60)
p(4.08913203296067,-3.6643047476058337,P61)
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p(6.862884976234451,-0.5896674959197317,P74)
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p(7.596970351727657,0.5146791992296638,P82)
p(7.604389781838504,-0.4852932764199565,P83)
p(8.466681633780867,0.021118376362450193,P84)
nolabel()
s(P1,P2)
s(P1,P3)
s(P3,P4) s(P2,P4)
s(P3,P5) s(P4,P5)
s(P1,P6)
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s(P76,P77) s(P75,P77)
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s(P80,P81) s(P79,P81)
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s(P82,P83) s(P81,P83)
s(P82,P84) s(P83,P84)
color(blue) pen(2)
s(P1,P3) m(P3,P1,MA10) m(P1,P6,MB10) f(P1,MA10,MB10)
color(green) pen(2)
s(P1,P2) m(P2,P1,MA20) m(P1,P3,MB20) f(P1,MA20,MB20)
color(red) pen(2)
s(P69,P77) abstand(P69,P77,A0) print(abs(P69,P77):,1,5.9) print(A0,2.3,5.9)
s(P76,P83) abstand(P76,P83,A1) print(abs(P76,P83):,1,5.6) print(A1,2.3,5.6)
\geooff
\geoprint()
Slash, ich habe einfach nicht auf die Rauten geachtet, war wohl froh, dass das mit den zwei Winkeln justieren funktioniert hat.
Der #370-1 ist von P8 bis P65 einfach beweglich und das verwende ich zum Justieren der Kante P7-P64 und dieses mal passen auch die übrigen Kanten! Nicht bis zur allerletzten Kommastelle, ist also noch kein exakter Beweis, gesucht sind jetzt geometrische Überlegungen, dass das stimmt.
\geo
ebene(750,500)
x(0,12.6)
y(0,8.4)
form(.)
#Eingabe war:
#//blauerWinkel=15.522487814071269
#//No.370-1: blauerWinkel=15.522487814071269
#D=50; P[1]=[0,0]; P[2]=[D,0]; A(2,1);
#L(3,1,2); L(4,3,2); L(5,4,2); L(6,4,5); L(7,6,5); M(8,1,3,blauerWinkel,2); N(12,8,3); N(13,10,12); N(14,11,13); L(15,13,12); L(16,11,14); Q(17,14,15,2*D,D); A(14,17); H(18,14,17,2); A(14,18); A(18,17); N(19,16,18); L(20,16,19); L(21,20,19); L(22,20,21); N(23,21,18); A(23,17); N(24,22,23); L(25,22,24); L(26,25,24); L(27,25,26); Q(28,26,17,2*D,D); A(26,28); H(29,26,28,2); A(26,29); A(29,28); N(30,27,29); L(31,27,30); L(32,31,30); L(33,31,32); N(34,32,29); A(34,28); N(35,33,34); L(36,33,35); L(37,36,35); L(38,36,37); Q(39,37,28,2*D,D); A(37,39); H(40,37,39,2); A(37,40); A(40,39); N(41,38,40); L(42,38,41); L(43,42,41); L(44,42,43); N(45,43,40); A(45,39); N(46,44,45); L(47,44,46); L(48,47,46); L(49,47,48); Q(50,48,39,2*D,D); A(48,50); H(51,48,50,2); A(48,51); A(51,50); N(52,49,51); L(53,49,52); L(54,53,52); L(55,53,54); N(56,54,51); A(56,50); N(57,55,56); L(58,55,57); L(59,58,57); L(60,58,59); Q(61,59,50,2*D,D); A(59,61); H(62,59,61,2); A(59,62); A(62,61); N(63,60,62); L(64,60,63); L(65,64,63); R(64,7); R(65,7); N(66,6,65); R(61,15); R(61,66); R(66,62);
#
#Ende der Eingabe, weiter mit fedgeo:
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p(1.822949016875108,3.235529778780331,P20)
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\geooff
\geoprint()
Der Rahmen besteht aus Abschnitten der Länge 3-2-1-2-2-2-2-2-2-2-2-2, für die symmetrische Variante muss ich die 1 in die Mitte bringen, 3-2-2-2-2-2-1-2-2-2-2-2. Zum Vergleichen lege ich unsymmetrische und symmetrische Variante übereinander.
\geo
ebene(750,500)
x(0,12.6)
y(0,8.4)
form(.)
#Eingabe war:
#//blauerWinkel=15.522487814071269
#//No.370-1-symmetrisch:
#D=50; P[1]=[0,0]; P[2]=[D,0]; A(2,1);
#L(3,1,2); L(4,3,2); L(5,4,2); L(6,4,5); L(7,6,5); M(8,1,3,blauerWinkel,2); N(12,8,3); N(13,10,12); N(14,11,13); L(15,13,12); L(16,11,14); L(17,16,14); L(18,16,17); Q(19,17,15,2*D,D); A(17,19); H(20,17,19,2); A(17,20); A(20,19); N(21,18,20); L(22,18,21); L(23,22,21); L(24,22,23); N(25,23,20); A(25,19); N(26,24,25); L(27,24,26); L(28,27,26); L(29,27,28); Q(30,28,19,2*D,D); A(30,28); H(31,28,30,2); A(28,31); A(31,30); N(32,29,31); L(33,29,32); L(34,33,32); L(35,33,34); N(36,34,31); N(37,35,36); L(38,35,37); A(30,36); Q(39,37,30,2*D,D); A(39,37); H(40,37,39,2); A(37,40); A(40,39); N(41,38,40); L(42,38,41); L(43,42,41); L(44,42,43); N(45,43,40); A(45,39); N(46,44,45); L(47,44,46); L(48,47,46); L(49,47,48); Q(50,48,39,2*D,D); A(48,50); H(51,48,50,2); A(48,51); A(51,50); N(52,49,51); L(53,49,52); L(54,53,52); L(55,53,54); N(56,54,51); A(56,50); N(57,55,56); L(58,55,57); L(59,58,57); L(60,58,59); Q(61,59,50,2*D,D); A(59,61); H(62,59,61,2); A(59,62); A(62,61); N(63,60,62); L(64,60,63); L(65,64,63); N(66,65,62); A(66,61); R(64,7); R(65,7); R(6,66); R(15,61);
#
#Q(67,14,15,2*D,D); A(67,14); H(68,14,67,2); A(14,68); A(68,67); N(69,16,68); L(70,16,69); N(71,70,69); L(72,70,71); N(73,71,68); A(67,73); N(74,72,73); L(75,72,74); L(76,75,74); L(77,75,76); H(78,76,30,2); A(76,78); A(78,30); N(79,77,78); L(80,77,79); L(81,80,79); L(82,80,81); N(83,81,78); N(84,82,83); A(30,83); L(85,82,84); A(37,84);
#Ende der Eingabe, weiter mit fedgeo:
p(4,0,P1)
p(5,0,P2)
p(4.5,0.8660254037844386,P3)
p(5.5,0.8660254037844386,P4)
p(6,0,P5)
p(6.5,0.8660254037844386,P6)
p(7,0,P7)
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p(1.8229490168751088,4.10155518256478,P22)
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p(3.7864745084375246,6.101222557463497,P32)
p(4.036474508437503,7.069468394015356,P33)
p(4.74999999999994,6.368839124793335,P34)
p(4.999999999999918,7.3370849613451945,P35)
p(5.249999999999939,5.502813721008896,P36)
p(5.499999999999917,6.471059557560757,P37)
p(5.9999999999999165,7.3370849613451945,P38)
p(5.999999999999959,4.534567884457059,P39)
p(5.749999999999939,5.502813721008908,P40)
p(6.24999999999994,6.368839124793347,P41)
p(6.963525491562344,7.0694683940153995,P42)
p(7.2135254915623666,6.101222557463553,P43)
p(7.92705098312477,6.801851826685604,P44)
p(6.7135254915623666,5.235197153679113,P45)
p(7.427050983124774,5.935826422901163,P46)
p(8.427050983124776,5.935826422901166,P47)
p(7.927050983124777,5.069801019116725,P48)
p(8.927050983124778,5.069801019116728,P49)
p(6.499999999999963,3.668542480672622,P50)
p(7.213525491562369,4.369171749894673,P51)
p(8.213525491562368,4.3691717498946785,P52)
p(9.177050983124795,4.101555182564877,P53)
p(8.463525491562386,3.400925913342828,P54)
p(9.427050983124811,3.1333093460130277,P55)
p(7.463525491562386,3.400925913342824,P56)
p(8.427050983124811,3.133309346013026,P57)
p(8.927050983124815,2.267283942228589,P58)
p(7.927050983124815,2.267283942228586,P59)
p(8.427050983124817,1.4012585384441496,P60)
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p(6.963525491562389,2.534900509558385,P62)
p(7.46352549156239,1.6688751057739468,P63)
p(7.713525491562409,0.7006292692220977,P64)
p(6.749999999999983,0.9682458365518949,P65)
p(6.249999999999982,1.834271240336333,P66)
nolabel()
p(4.499999999999942,3.668542480672586,P67)
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p(2.786474508437535,2.9679132114505347,P69)
p(1.822949016875108,3.235529778780331,P70)
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p(1.572949016875087,4.20377561533218,P72)
p(3.536474508437514,3.9361590480023825,P73)
p(2.572949016875087,4.203775615332179,P74)
p(2.0729490168750875,5.069801019116619,P75)
p(3.0729490168750884,5.069801019116618,P76)
p(2.572949016875089,5.935826422901057,P77)
p(4.036474508437524,4.802184451786826,P78)
p(3.5364745084375158,5.66820985557126,P79)
p(3.286474508437495,6.636455692123109,P80)
p(4.249999999999921,6.368839124793312,P81)
p(3.9999999999999,7.337084961345161,P82)
p(4.74999999999993,5.502813721008879,P83)
p(4.499999999999911,6.471059557560729,P84)
p(4.9999999999999005,7.337084961345173,P85)
nolabel()
color(aquamarine)
s(P15,P67) s(P73,P67)
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color(blue) pen(2)
s(P1,P3) m(P3,P1,MA10) m(P1,P8,MB10) f(P1,MA10,MB10)
color(green) pen(2)
color(red) pen(2)
s(P64,P7) abstand(P64,P7,A0) print(abs(P64,P7):,1,7.9) print(A0,2.3,7.9)
s(P65,P7) abstand(P65,P7,A1) print(abs(P65,P7):,1,7.6) print(A1,2.3,7.6)
s(P6,P66) abstand(P6,P66,A2) print(abs(P6,P66):,1,7.3) print(A2,2.3,7.3)
s(P15,P61) abstand(P15,P61,A3) print(abs(P15,P61):,1,7) print(A3,2.3,7)
\geooff
\geoprint()
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Slash
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| Beitrag No.373, vom Themenstarter, eingetragen 2016-06-25
|
\quoteon(2016-06-25 05:13 - StefanVogel in Beitrag No. 372)
Slash, ich habe einfach nicht auf die Rauten geachtet, war wohl froh, dass das mit den zwei Winkeln justieren funktioniert hat.
\quoteoff
Macht ja nichts! :-) Wir haben ja noch den 4/11 mit 817 Kanten - und der ist ja "save". Und es zeigt, dass es gut ist, dass wir uns gegenseitig überprüfen. Wenn wir drei dann dasselbe Ergebnis haben, können wir wenigsten ganz sicher sein. Warten wir mal die genauere Brechnung ab.
Der unysmmetrische 4/4 kann also in einen symmetrischen 4/4 umgebaut werden.
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StefanVogel
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| Beitrag No.374, eingetragen 2016-06-25
|
Für den symmetrischen 4/4 kann man auch leicht eine geometrische Begründung geben. Die Strecken P1-P3, P8-P12, P10-P13, P11-P14 liegen parallel zueinander, P14-P16 und P14-P17 jeweils um 60° gedreht dazu, P15-P19 parallel zu P14,P17. Deshalb ist Winkel P19-P15-P61 gleich 120° und so weiter kann man den ganzen symmetrischen Graph überprüfen. Den unsymmetrischen Graph erhält man durch Spiegeln des Vielecks P19-P17-P14-P16-P18-P24-P26-P19 an der horizontalen Geraden durch P19. Wegen P24-P26 parallel P14-P16 passt das gespiegelte Vieleck genau an den übrigen Graph. Ebenso für das Vieleck beginnend bei P30.
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Slash
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| Beitrag No.375, vom Themenstarter, eingetragen 2016-06-25
|
Neuartige asymmetrische 4/5 und 4/6 mit 125, 126, 127, 128 und 129 Kanten. :-)
Das K steht für die Anzahl der 5er bzw. 6er Knoten.
http://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/a/8038_4_5_neu_Slash_mit_125_126_127_-_25.06.2016.png
http://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/a/8038_4_5_neu_Slash_mit_127_128_129_-_25.06.2016.png
http://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/a/8038_4_6_neu_Slash_mit_128_-_25.06.2016.png
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haribo
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| Beitrag No.376, eingetragen 2016-06-26
|
meine beschreibung klappt für den 4/4 120er perfekt:
1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1, (24)
2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2, (48)
2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1, (36)
1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1, (12)
summe (120)
beim 114er ist die beschreibung offenbar nicht mehr sofort eindeutig, da der rote teilpolygon dreimal auftritt also insich getrennt ist oder es varianten gibt (s.bild), jedenfals wenn man diesen 4/4er mit einer einzigen durchgehenden überschneidungsfreien linie zeichnen will müsste man den gelben polygon drei mal für jeweils einen der roten polygone verlassen, also einer komplizierteren anweisung folgen als in #371 dargestellt
http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/a/35059_st-beschreib114.png
1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1, (21)
2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2, (42)
2,1,2,1,2,1,2,2,1,2,1,2,1,2,2,1,2,1,2,1,2, (33)
1,2,1,2, (6)
1,2,1,2, (6)
1,2,1,2, (6)
summe (114)
alternative beschreibung (rechtes bild):
1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1, (21)
2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2, (42)
1,2,1,2,1,6, (13)
1,2,1,2,1,6, (13)
1,2,1,2,1,6, (13)
4,4,4, (12)
summe (114)
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StefanVogel
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| Beitrag No.377, eingetragen 2016-06-26
|
In Graph #375-1 passt alles. Ab Punkt P6 bis P15 ist der Graph beweglich. Damit muss ich Strecke P15-P13 auf Länge 2 justieren, denn P17 liegt wegen geometrischer Überlegung auf P15-P13. Alle weiteren Punkte bis P62 sind dann eindeutig bestimmt und wir haben Glück, dass dann die restlichen Kanten alle 1 sind. Ich habe diese restlichen Kanten grün eingezeichnet. Man sieht im Streichholzprogramm, dass sich die Längen dieser grünen Kanten verändern, wenn man den blauen Winkel variiert. Doch wenn Strecke P15-13 wieder zurück auf Länge 2 justiert wird, sind auch die restlichen grünen Kanten alle 1. Naja fast 1, doch ich zweifle nicht daran, dass man das auch exakt geometrisch begründen kann. Eine symmetrische Version des Graphen erhält man, wenn man das Vieleck P36-P34-P35-P41-P44-P45-P43-P36 wieder so spiegelt, dass Strecke P45-P44 auf Strecke P34-P35 zu liegen kommt und umgekehrt. Ich habe diese gespiegelte Version mit als Kommentar in der Eingabe ergänzt, man kann sie durch entfernen der Kommentarzeichen "//" aktivieren. Der obere Teil des symmetrischen Graphen stimmt dann mit dem unteren Teil von #370-1 überein. Zur Beweglichkeit sagt das extra GAP-Programm, das alle Versionen #375-1 bis #375-10 unbeweglich sind. Doch entstehen dabei inverse Matrizen mit großen Koeffizienten, darauf wird im aktuellen GAP-Programm noch nicht hingewiesen. Ich muss nochmal nachforschen, was das konkret zu bedeuten hat, ob da wegen gerundeter Eingabekoordinaten eine Beweglichkeit übersehen wird oder was sonst der Grund dafür ist.
\geo
ebene(625,500)
x(0,10.5)
y(0,8.4)
form(.)
#Eingabe war:
#//blauerWinkel=44.47751218593006
#//No.375-1: blauerWinkel=44.47751218593006
#D=50; P[1]=[0,0]; P[2]=[D,0]; A(2,1);
#L(3,1,2); L(4,3,2); L(5,4,2); M(6,1,3,blauerWinkel,2); N(10,6,3); N(11,8,10); N(12,9,11); L(13,11,10); L(14,9,12); L(15,14,12); R(13,15); L(16,14,15); H(17,13,15,2); A(15,17); A(17,13); N(18,16,17); L(19,16,18); L(20,19,18); L(21,19,20); N(22,20,17); A(22,13); R(22,13,"green"); N(23,21,22); L(24,21,23); Q(25,23,13,2*D,D); A(25,23); H(26,23,25,2); A(23,26); A(26,25); N(27,24,26); L(28,24,27); L(29,28,27); L(30,28,29); N(31,29,26); A(25,31); N(32,30,31); L(33,30,32); L(34,33,32); L(35,33,34); Q(36,34,25,2*D,D); A(36,34); H(37,34,36,2); A(36,37); A(37,34); N(38,35,37); L(39,35,38); L(40,39,38); L(41,39,40); N(42,40,37); A(42,36); N(43,41,42); L(44,41,43); L(45,44,43); L(46,44,45); Q(47,45,36,2*D,D); A(45,47); H(48,45,47,2); A(45,48); A(48,47); N(49,46,48); L(50,46,49); L(51,50,49); L(52,50,51); N(53,51,48); A(53,47); N(54,52,53); L(55,52,54); L(56,55,54); L(57,55,56); H(58,56,47,2); A(56,58); R(58,56,"green"); A(58,47); R(58,47,"green"); N(59,57,58); L(60,57,59); L(61,60,59); N(62,61,58); A(62,47); R(62,47,"green"); A(60,5); R(60,5,"green"); A(61,5); R(61,5,"green"); A(4,62); R(62,4,"green");
#
#//von 375-1 zu Version 375-2, zum Aktivieren die unmittelbar nachfolgenden //-Zeichen entfernen:
#//A(31,37);
#//von 375-1 zu Version 375-3:
#//A(42,48);
#//von 375-1 zu Version 375-4:
#//A(31,37); A(42,48);
#//von 375-1 zu Version 375-5:
#//A(13,25); A(47,36); L(63,36,25); A(63,13); A(63,47);
#//von 375-1 zu Version 375-6:
#//A(13,25); A(47,36); L(63,36,25); A(63,13); A(63,47); A(37,31);
#//von 375-1 zu Version 375-7:
#//A(13,25); A(47,36); L(63,36,25); A(63,13); A(63,47); A(48,42);
#//von 375-1 zu Version 375-8:
#//A(13,25); A(47,36); L(63,36,25); A(63,13); A(63,47); A(37,31); A(48,42);
#//von 375-1 zu Version 375-9:
#//A(36,25); N(63,36,25); A(63,13); A(63,47); R(63,13,"green"); R(63,47,"green");
#//von 375-1 zu Version 375-10:
#//A(36,25); N(63,36,25); A(63,13); A(63,47); A(31,25); A(37,36); A(37,31); A(25,36);
#
#//Vieleck P36-P34-P35-P41-P44-P45-P43-P36 gespiegelt einzeichnen:
#//L(64,35,34); L(65,35,64); H(66,64,36,2); A(64,66); A(66,36); N(67,65,66); L(68,65,67); L(69,68,67); A(44,68); A(44,69); N(70,69,66); A(45,70); A(70,36); A(34,37); A(37,36); A(36,42); A(42,43); A(42,37); A(37,38); A(38,35); A(35,39); A(39,38); A(38,40); A(39,40); A(42,40); A(39,41); A(41,40); A(41,43); A(41,44); A(43,44); A(43,45);
#
#Ende der Eingabe, weiter mit fedgeo:
p(4,0,P1)
p(5,0,P2)
p(4.5,0.8660254037844386,P3)
p(5.5,0.8660254037844386,P4)
p(6,0,P5)
p(3.749999999999998,0.9682458365518536,P6)
p(3.0364745084375784,0.26761656732981526,P7)
p(2.786474508437576,1.2358624038816688,P8)
p(2.0729490168751568,0.5352331346596305,P9)
p(4.249999999999998,1.8342712403362924,P10)
p(3.2864745084375757,2.101887807666108,P11)
p(2.572949016875156,1.4012585384440701,P12)
p(3.9999999999999956,2.8025170768881464,P13)
p(1.5729490168751554,1.4012585384440686,P14)
p(2.0729490168751545,2.267283942228508,P15)
p(1.0729490168751545,2.2672839422285067,P16)
p(3.0364745084375753,2.534900509558327,P17)
p(2.036474508437575,2.5349005095583266,P18)
p(1.3229490168751523,3.235529778780361,P19)
p(2.286474508437572,3.503146346110181,P20)
p(1.57294901687515,4.203775615332216,P21)
p(3.286474508437572,3.5031463461101824,P22)
p(2.5729490168751497,4.2037756153322166,P23)
p(2.0729490168751488,5.069801019116655,P24)
p(4.499999999999994,3.6685424806725866,P25)
p(3.5364745084375717,3.9361590480024016,P26)
p(3.0364745084375704,4.8021844517868395,P27)
p(2.7864745084375686,5.770430288338693,P28)
p(3.74999999999999,5.502813721008876,P29)
p(3.499999999999988,6.4710595575607295,P30)
p(4.249999999999992,4.63678831722444,P31)
p(3.999999999999994,5.605034153776294,P32)
p(4.4999999999999885,6.471059557560737,P33)
p(4.999999999999995,5.605034153776301,P34)
p(5.4999999999999885,6.471059557560743,P35)
p(5.499999999999994,3.6685424806725924,P36)
p(5.249999999999994,4.636788317224447,P37)
p(5.7499999999999885,5.502813721008888,P38)
p(6.46352549156241,6.203442990230925,P39)
p(6.71352549156241,5.23519715367907,P40)
p(7.427050983124832,5.935826422901107,P41)
p(6.2135254915624145,4.369171749894629,P42)
p(6.927050983124835,5.0698010191166665,P43)
p(7.927050983124835,5.069801019116671,P44)
p(7.42705098312484,4.20377561533223,P45)
p(8.42705098312484,4.203775615332234,P46)
p(5.999999999999998,2.802517076888156,P47)
p(6.713525491562418,3.503146346110193,P48)
p(7.713525491562418,3.503146346110198,P49)
p(8.67705098312484,3.2355297787803807,P50)
p(7.963525491562418,2.5349005095583435,P51)
p(8.92705098312484,2.2672839422285263,P52)
p(6.963525491562418,2.5349005095583386,P53)
p(7.92705098312484,2.267283942228521,P54)
p(8.427050983124843,1.4012585384440854,P55)
p(7.427050983124845,1.4012585384440799,P56)
p(7.927050983124849,0.5352331346596445,P57)
p(6.713525491562422,2.101887807666118,P58)
p(7.213525491562432,1.2358624038816857,P59)
p(6.963525491562427,0.26761656732983335,P60)
p(6.250000000000011,0.9682458365518741,P61)
p(5.749999999999998,1.834271240336306,P62)
nolabel()
s(P1,P2)
s(P1,P3) s(P2,P3)
s(P3,P4) s(P2,P4) s(P62,P4)
s(P4,P5) s(P2,P5)
s(P1,P6)
s(P1,P7) s(P6,P7)
s(P7,P8) s(P6,P8)
s(P7,P9) s(P8,P9)
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s(P8,P11) s(P10,P11)
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s(P11,P13) s(P10,P13)
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s(P25,P36) s(P37,P36)
s(P34,P37)
s(P35,P38) s(P37,P38)
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s(P36,P47)
s(P47,P48)
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s(P52,P54) s(P53,P54)
s(P52,P55) s(P54,P55)
s(P55,P56) s(P54,P56) s(P58,P56)
s(P55,P57) s(P56,P57)
s(P47,P58)
s(P57,P59) s(P58,P59)
s(P57,P60) s(P59,P60) s(P5,P60)
s(P60,P61) s(P59,P61) s(P5,P61)
s(P61,P62) s(P58,P62) s(P47,P62)
color(blue) pen(2)
s(P1,P3) m(P3,P1,MA10) m(P1,P6,MB10) f(P1,MA10,MB10)
color(green) pen(2)
color(red) pen(2)
s(P13,P15) abstand(P13,P15,A0) print(abs(P13,P15):,1,7.9) print(A0,2.3,7.9)
color(green) s(P22,P13) abstand(P22,P13,A1) print(abs(P22,P13):,1,7.6) print(A1,2.3,7.6)
color(green) s(P58,P56) abstand(P58,P56,A2) print(abs(P58,P56):,1,7.3) print(A2,2.3,7.3)
color(green) s(P58,P47) abstand(P58,P47,A3) print(abs(P58,P47):,1,7) print(A3,2.3,7)
color(green) s(P62,P47) abstand(P62,P47,A4) print(abs(P62,P47):,1,6.7) print(A4,2.3,6.7)
color(green) s(P60,P5) abstand(P60,P5,A5) print(abs(P60,P5):,1,6.4) print(A5,2.3,6.4)
color(green) s(P61,P5) abstand(P61,P5,A6) print(abs(P61,P5):,1,6.1) print(A6,2.3,6.1)
color(green) s(P62,P4) abstand(P62,P4,A7) print(abs(P62,P4):,1,5.8) print(A7,2.3,5.8)
\geooff
\geoprint()
EDIT: Bei den Inversen mit großen Koeffizienten verfahre ich jetzt so: Ich entferne die zum Zeilenindex eines großen Koeffizienten gehörende Kante und wiederhole das solange, bis die großen Koeffizienten nicht mehr auftreten. Wenn dann der Graph immer noch laut GAP-Programm unbeweglich ist, füge ich die entfernten Kanten wieder hinzu. Wenn das so erfolgt, dass die hinzugefügten Kanten auch nicht beweglich sind, dann sage ich, der Graph ist insgesamt unbeweglich. Nach dieser Methode sind alle Graphen #375 unbeweglich. Falls nach dem Entfernen der Kanten ein beweglicher Graph entsteht, dann muss ich beim Hinzufügen der entfernten Kanten irgendwie geometrisch herausfinden, ob sich die Beweglichkeit verändert. Wegen dem Runden der Koordinaten auf eine bestimmte Stellenzahl werden beispielsweise aus theoretisch exakten Parallelen keine Parallelen mehr und das GAP-Programm rechnet dann mit den nicht ganz parallelen Kanten und es entstehen große Koeffizienten dabei und eine scheinbare Unbeweglichkeit.
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Slash
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| Beitrag No.378, vom Themenstarter, eingetragen 2016-06-26
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...mal was ganz anderes...
Ich habe mich schon oft gefragt, ob es nicht eine praktische Anwendung für die (4,n)-regulären SHG gibt. Vielleicht in der Chemie bei Bindungen? Oder in der physik/Architktur/Statik zum Beispiel - ist ein starrer SHG besonders belastbar? Könnte man daraus einen 3D-Baustein entwickeln, der besonders stabil ist, aber eben fast nur aus Luft besteht?
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| Beitrag No.379, vom Themenstarter, eingetragen 2016-06-26
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Ein bisschen Statistik. :-)
Kantenanzahl-Minimalitäts-Rekorde der (4,n)-regulären SHG.
4/4: 104, 108, 114, 120, 126, 130, 132, 134, ...
4/5: 115, 121, 122, 123, 125, 126, 127, 128, 129, 131, 132, 133, 134, 135, ...
4/6: 117, 121, 122, 126, 128, ...
4/7: 159, 177, 185, 186, 201, 207, 213, ...
4/8: 126, 148, 168, ...
4/9: 273, 279, 283, 285, 295, 321, 339, 341, 343, ...
4/10: 231, ...
4/11: 811?, 817, ... , 899, 1179...
Bei den 4/5 und 4/6 kann man durch Bildung weiterer 5er bzw. 6er-Knoten die Kantenanzahl um eins oder zwei erhöhen, so ergeben sich 122 und 123. Der 4/11 mit 817 Kanten lässt sich durch die äußeren Doppel-Kites mit Dreiecken +12, +18, +24, ... beliebig erweitern (s. #313-2). Das geht auch bei allen ähnlichen Graphen.
Die Kantenanzahl ist ja nach oben unbegrenzt, +84 geht ja immer. Die interessante Frage ist, welche Lücken es gibt. Der 4/5 mit 125 ist neu, aber gibt es auch einen mit 124 oder 130 Kanten?
Fehler und Nachtragungen bitte melden. Der Beitrag wird immer aktualisiert.
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| Beitrag No.380, eingetragen 2016-06-27
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\quoteon(2016-06-26 22:26 - Slash in Beitrag No. 378)
...mal was ganz anderes...
Ich habe mich schon oft gefragt, ob es nicht eine praktische Anwendung für die (4,n)-regulären SHG gibt. Vielleicht in der Chemie bei Bindungen? Oder in der physik/Architktur/Statik zum Beispiel - ist ein starrer SHG besonders belastbar? Könnte man daraus einen 3D-Baustein entwickeln, der besonders stabil ist, aber eben fast nur aus Luft besteht?
\quoteoff
chemie und statik sind beides eher 3D bereiche, und wir behandeln hier "nur" 2D lösungen, sind also derzeit eben auf der puzzle ebene unterwegs,
ein 4,n unendlich hat allerdings die gleiche strenge qualität eines rechteckgitters, und das wird ja als schachbrett/fassade/denkstruktur/raster seit hundert jahren an sehr vielen stellen eingesetzt
ach, seit tausenden von jahren beschäftigen sich alle architekten mit den darausfolgenden ecken- und kanten-problemen, wenns dich interessiert such mal beispielsweise nach "Triglyphenkonflikt"
akustik, als bereich der physik, hat mit laufweglängen zu tun da könnten die graphen helfen, denn es sind ja jeweils viele wege der gleichen länge zwischen zwei graphenpunkten dargestellt, bzw ein 4/11er als stereo-box ansatz mit speakern an den 11er knoten wäre sicher spannend
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haribo
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| Beitrag No.381, eingetragen 2016-06-27
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hi slash,
4/4: 130, 132, 134, ...
ich finde sie nicht (übersicht verloren...)
weisst du die dazugehörigen beiträge?
p.s. deinen harborth klon von eben gerade hatten wir gaaanz sicher noch nicht, schätze du bist auf dem weg nen 108er zu finden!!!
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| Beitrag No.382, vom Themenstarter, eingetragen 2016-06-27
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Doch, Stefan hatte den in #200. Geht nicht, oder er muss ihn nochmal prüfen.
Hier nochmal das gelöschte Bild.
132 und 134 waren erst vor kurzem von mir gepostet worden in #351, #352. 130 suche ich selbst noch - vielleicht gibt es den (noch) nicht.
Diesen symmetrischen 4/4 mit 132 hatten wir auch noch nicht.
http://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/a/8038_4_4_sym_mit_132_slash.png
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| Beitrag No.383, eingetragen 2016-06-27
|
dann ist mein 4/4 132 hier wohl ein neuer....
http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/a/35059_st4-4-132.png
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| Beitrag No.384, eingetragen 2016-06-27
|
zwei mal der gleiche innerhalb weniger sekunden.... das gibt es doch nicht
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| Beitrag No.385, vom Themenstarter, eingetragen 2016-06-27
|
Das war jetzt aber fast gleichzeitig. :-D Meiner ist aber schon viele Wochen alt und lag auf Halde. Kannst ihn aber haben. ;-)
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.383 begonnen.]
...und dann auch noch fast in der gleichen Größe gepostet. :-)
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| Beitrag No.386, eingetragen 2016-06-27
|
es zählt die erstveröffentlichung.... und du hast den beitrag als änderung nachgeschoben, die beweislast liegt also auf dem MP server...
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| Beitrag No.387, vom Themenstarter, eingetragen 2016-06-27
|
Dann mal schnell noch ein paar unveröffentliche symmetrische 4/5 und 4/6 posten. ;-)
http://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/a/8038_4_5_slash_neu_vier_sym.png
http://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/a/8038_4_5_4_6_slash_neu_sym_zwei.png
Bei diesen und anderen Graphen kann man die Kantenanzahl regelmäßig nach oben treiben indem man sie verbreitert. Etwaige Lücken in der Kantenanzahl kann man dann mit den n-Knoten steuern.
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| Beitrag No.388, eingetragen 2016-06-27
|
\quoteon(2016-06-27 06:14 - Slash in Beitrag No. 382)
Doch, Stefan hatte den in #200. Geht nicht, oder er muss ihn nochmal prüfen.
\quoteoff
also wir sind, nach anwendung der urlaubsprogramierung, der meinung es gibt eine lösung,
http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/a/35059_Harboth_plus2k.png http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/a/35059_st-4-4-108.PNG
die letzte stelle des winkels muss noch nicht ganz exakt sein (hier b6-b7-bc)
slash, ich bin sehr gespannt ob man den 106er aus deinem #382 hingezogen bekommt
nachtrag: genauer beträgt der winkel 20,13345438°
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| Beitrag No.389, vom Themenstarter, eingetragen 2016-06-27
|
\quoteon(2016-06-27 17:20 - haribo in Beitrag No. 388)
slash, ich bin sehr gespannt ob man den 106er aus deinem #382 hingezogen bekommt
\quoteoff
Wohl kaum, da die andere Harborth-Hälfte starr ist. Der 108er muss bis auf 10-20 Nachkommastellen gepfrüft werden, bei Längen und Winkeln. Nichts gegen eure Urlaubsprammierung, aber Stefans Programm ist exakter, da es mit Gleichungssystemen und Matrizen arbeitet. Warten wir Stefans zweiten Test ab. Seine Lösung war ja auch wahnsinnig knapp. Mit Lego, etc. nicht zu erkennen.
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haribo
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| Beitrag No.390, eingetragen 2016-06-27
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jetzt fängst du auch mit dem 8 kommastellen wahnsinn an.... keine sorge java rechnet intern auch mit mindestens 7 nachkommastellen
bei winkel 20,1° beträgt die innerste länge 1,0017
bei 20,2° 0,9967
dazwischen gibt es irgendwo die länge 1,0 (also die exakte länge eins)
20,134° ist schlicht als dreisatz ausgerechnet weil für so kleine winkeländerungen die verschiebung nahezu linear ausfällt und passt zeichnerisch mit 1,0000, kann also IMO nur noch in der letzten stelle des winkels abweichen, von mir aus +/- 0,005
das kannst du selber zeichnen, ggfls mit hilfe der reihenfolge:
...um von aussen nach innen ein viertel des graphen zu zeichnen, den linken gitterträger und das grosse darunter liegende dreieck zeichnen mit dem eingeschlossenen winkel dazwischen, dann eindeutig b9-b8-b6, dann ebenso b8-x5-b2, eine gerade von x6 über x5 verlängern, daran die länge b8-y2 antragen, ein lot von x4 auf die verlängerte gerade fällen, die länge b9-x3 ans lot antragen, und die länge x3-y2 messen....
zum eventuellen 106er:
ein halber harborth ist nicht starr (wäre er es könnten wir ihn ja zeichnen), die trennlinie x4-x3 und x7-x8 muss ja nicht unbedingt geradeaus laufen, warten wirs ab
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Slash
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| Beitrag No.391, vom Themenstarter, eingetragen 2016-06-28
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Hier ein paar 4/4, 4/5 und 4/6 Graphen aus der Kategorie "nichts besonderes, aber noch nie gepostet". ;-) Die grünen Kanten sind Träger der Variationen - nimmt nicht soviel Platz weg.
http://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/a/8038_4_4_-_4_5_-_4_6_slash_div_a.png
http://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/a/8038_4_4_-_4_5_-_4_6_slash_div_b.png
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haribo
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| Beitrag No.392, eingetragen 2016-06-28
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den winkel haben wir jetzt als besten mit 20,13345438° bestimmt, ich trag ihn als nachtrag auch noch in die vorhergehenden beiträg nach
die gemischte harboth-variante funktioniert offenbar nicht, etliche stäbe werden im urlaubs-program nicht grün, sind also ungleich 1
http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/a/35059_Harboth_half-versuch.png
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| Beitrag No.393, eingetragen 2016-06-28
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wow stefan, das ist ja extremst konzentrativ+mühsam daten einzugeben, aber ich glaube es ist mir gelungen.... jedenfals wenn ich den winkel auf 8 kommastellen runde ist er exakt gleich wie der des urlaubs-programm´s
(den fehler in #200 finde ich allerdings bisher nicht, hab aber auch nur sehr kurz gesucht)
hier als screenshot meine programmierung des 108ers mit stefans programm (version 195):
http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/a/35059_st-programierung-nach-195_.png
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| Beitrag No.394, vom Themenstarter, eingetragen 2016-06-28
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Das der 106er nicht geht lässt sich leicht geometrisch begründen. Als ich schrieb, die Harborthhälfte sei starr habe ich mich natürlich falsch ausgedrückt. Ich meinte, dass die Winkel der original Harborthhälfte auf der anderen Seite gleich sein müssen. Das können sie aber nicht wegen der Raute. Vielleicht hat Stefan einen 4/4-108 entdeckt und es nicht gemerkt. ;-)
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| Beitrag No.395, vom Themenstarter, eingetragen 2016-06-28
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Hier mein Test für den 4/4 mit 108 mit horizontaler Symmetrie. Ich denke jetzt auch, dass der Graph existiert. Die Winkel sind ca. 20 und 21,8 Grad. Die Ecken vom Grad 2 liegen jeweils auf einer horizontalen und vertikalen Gerade, und müssten damit zusammenfallen können.
http://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/a/8038_harb_var_slash.png
http://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/a/8038_harb_var_1_slash_b.png
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http://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/a/8038_harb_var_2_slash_b.png
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| Beitrag No.396, eingetragen 2016-06-29
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wir sind eben bei derart komplizierten graphen angekommen das es wirklich schwierig ist die existens zu beweisen
haben parallel mindestens vier verschiedene werkzeuge entwickelt, lego, CAD, geogebra(?), java
das fragezeichen steht dafür das ich stefans werkzeug am wenigsten verstehe, also immer noch wenig über die grundlage weiss
offenbar misstrauen wir jeweils den anderen werkzeugen, und möglicherweise auch den eigenen
und nach wie vor haben wir überhaupt keine ahnung "wie" wir bisher neue graphen der sorte 4/n gefunden haben, und noch weniger ahnung wie wir "schneller" finden könnten
in der gemengelage ist die antwort auf die frage "wer" etwas gefunden hat nahezu unmöglich zu beantworten und doch eigendlich auch ziemlich unwichtig, oder hat hier inzwischen irgendwer die "spass an der suche" grenze überschritten?
in dem sinne:
"wer, wenn nicht wir,
wann, wenn nicht jetzt,
wo, wenn nicht hier"
(und laut rio reiser auch noch "wie, wenn ohne liebe"...)
haribo
p.s. brauchen wir einen namen für das "wir" ?
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| Beitrag No.397, vom Themenstarter, eingetragen 2016-06-29
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Hier mal eine Harborth-Studie. Die (5) zeigt den Harborth-Graphen. Ich habe nun die beiden mittleren Knoten, welche die gelbe Strecke verbindet, seitlich getrennt. Dadurch erhält der ganze Graph eine Beweglichkeit, die es ermöglicht, ihn oben und unten mittig zusammenzudrücken, bis er schließlich zu einem Rautenblock (1) zusammenfällt, der nur aus 30 Gradschritt-Winkeln besteht. Genaugenommen ist auch dies noch ein (4,2)-regulärer SHG, wenn man sich die Knoten unendlich angenähert und die Winkel ungleich 30 Grad denkt denkt.
http://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/a/8038_harborth_graph_studie_slash.png
Die Studie betrachtet diesen Prozess jetzt rückwärts. Wenn man den Block aus (1) oben und unten mittig auseinanderzieht, so dass man einen (4,2)-regulären SHG wie in (2) erhält, dann erhält man irgendwann den Harborth-Graphen (5). Zieht man weiter, dann überschneiden sich die mittleren Grad-2-Knoten. Ende wäre dann, wenn die Knoten des Rahmens oben und unten zusammenfallen. Auf dieses Bild habe ich verzichtet. Wie beim 4/4-108er ist dies also ein geometrischer Beweis der Existenz des Harborth-Graphen. Wegen der horizontalen und vertikalen Symmetrie "müssen" sich die Grad-2-Knoten nämlich in genau einem Punkt treffen, da sie immer paarweise auf zwei horizontalen und vertikalen parallelen Geraden liegen. Hier als gelbe und violette Verbindungsstrecken eingezeichnet. In (1) ist die gelbe Strecke gleich Null, und in (5) ist die violette Strecke gleich Null. Die anderen farbigen Kanten und Verbindungsstrecken dienen der Beweglichkeits-Orientierung.
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| Beitrag No.398, eingetragen 2016-06-29
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http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?rd2&topic=216644&start=160#p1594887
huch da hatten wir ja auch schon nen anderen 4/4 mit 132
scheints bin ich vergesslich, haribo
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| Beitrag No.399, vom Themenstarter, eingetragen 2016-06-29
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An den hatte ich auch nicht mehr gedacht, sowie deine Harborth-Faltung. Dieser Thread hat mit fast 400 Beiträgen auch mittlerweile die Nachtwache 2011 überholt - und das will schon was heißen. Da kann man schon mal die Übersicht verlieren. :-D
Einen 4/4 mit 130 suche ich immer noch. ;-)
Habe ihn/sie gefunden in Beitrag 161. Der erste mit 130, die anderen mit 132. :-)
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