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Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Polynome » Zeige: Polynome sind nicht konstant
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Autor
Universität/Hochschule J Zeige: Polynome sind nicht konstant
Saki17
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Dabei seit: 09.09.2015
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Aus: Fernost
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-01-31

\(\begingroup\)
Hallo,

es handelt sich um einen Zwischenschritt von einer Aufgabe. Ich habe Polynome $A, B, C\in \IC[t]$ in einer Variabel, für die gilt

1) $A, B$ sind beide nicht konstant und teilerfremd;
2) $A-B$, $A+B$ und $A^2+B^2$ sind jeweils Quadrat, etwa $A-B=A_1^2, A+B=B_1^2$ und $A^2+B^2=C_1^2$.
3) $B$ ist normiert.

Wie kann ich folgern, dass weder $A_1$ noch $B_1$ konstantes Polynom ist? (Reicht die Voraussetzung?)
Den Fall wo $A, B$ sich möglicherweise nur um eine Konstante (als Widerspruchsannahme) $A_1^2$ unterscheiden konnte ich nicht ausschließen...

Hätte jemand eine Idee?

\(\endgroup\)


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Triceratops
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Dabei seit: 28.04.2016
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Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-02-01


Mich irritert etwas die Frage, ob die Voraussetzungen ausreichen, wo du doch vorher geschrieben hast, dass es ein Zwischenschritt für eine Aufgabe ist. Oder hast du diesen Zwischenschritt selbst kreiert? So oder so wäre es sehr hilfreich, wenn du die Original-Aufgabe posten könntest. Das ist ein genereller Tipp für das Stellen von Fragen.

Kleine Bemerkung: Sicherlich können A1 und B1 nicht beide konstant sein, denn dann wäre auch deren Summe 2A konstant.



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Saki17
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-01

\(\begingroup\)
Hi,

ich habe nur dem Hinweis gefolgt. Es geht um Teilaufgabe e:


Nach der Definition des Buches ist $\mathbf{V}(I)\subset K^n$ für $I\lhd K[X_1,...,X_n]$, wobei $K$ ein beliebiger Körper ist (es wirld keine Punkte aus dem algebraischen Abschluss geholt).
\(\endgroup\)


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Saki17
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Aus: Fernost
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-05

\(\begingroup\)
Wenn $A-B$ konstant ist, dann heben sich insbesondere die Leiterme von $A$ und $B$ (deren Grad>0) auf. Damit sind $A+B$, $A+iB$ und $A-iB$ nicht konstant, also sind $A^2\pm B^2$ und $A^4-B^4$ auch nicht konstant.

Andererseits ist $\deg(A^2-B^2)=\deg((A-B)(A+B))=\deg(A+B)=\deg(A)=\deg(B)$ (2. Gleichheit mit der Annahme $A-B\in \IC^{\times}$, letzte zwei Gleichheiten wegen der Gleichheit von den Leittermen). Kann man dadurch einen Widerspruch kriegen? (Kann die Kürzung in $A^2-B^2$ so "stark" sein, dass die obige Gradgleichung stimmt?)
\(\endgroup\)


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Saki17
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Aus: Fernost
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-13

\(\begingroup\)
2018-02-05 12:01 - Saki17 in Beitrag No. 3 schreibt:
Andererseits ist $\deg(A^2-B^2)=\deg((A-B)(A+B))=\deg(A+B)=\deg(A)=\deg(B)$ (2. Gleichheit mit der Annahme $A-B\in \IC^{\times}$, letzte zwei Gleichheiten wegen der Gleichheit von den Leittermen). Kann man dadurch einen Widerspruch kriegen? (Kann die Kürzung in $A^2-B^2$ so "stark" sein, dass die obige Gradgleichung stimmt?)
Bringt nichts.

Ich denke mit der Umformung $(1+i)(A+B)-2(A+iB)=(i-1)(A-B)\in\mathbb{C}^*$ lässt sich das Problem lösen.
\(\endgroup\)


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