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Differentiation » Differentialrechnung in IR » Beweis zu strikten lokalen Minima
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Universität/Hochschule J Beweis zu strikten lokalen Minima
tim123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-06-07


Hallo ich muss in einer Aufgabenstellung zeigen, dass falls f(x) differenzierbar  und folgendes gilt(über Stetigkeit wird nichts gesagt)

 f(a) ein striktes lokales Minimum$\Leftrightarrow \forall x\in U_{R(a)} $ mit x<a : $f´(x)<0$ $ \forall x<a$  und $f´(x)>0$ $\forall x>a$

Mein Problem besteht nun in erster Linie in der Hinrichtung $"\Rightarrow$" Ich bin die ganze Zeit am überlegen wie ich dieses  $U_{\epsilon}$ finden soll, dass meine Behauptung erfüllt. Theoretisch könnten ja in einem noch so kleinem $\epsilon$ beispielsweise 1000 lokale Maxima und Minima in sich drin finden, die die Behauptung $f(x)>f(a)$ erfüllen .

Hätte vielleicht jemand den einen oder anderen Tipp für mich, da ich gerade einfach nicht wie ich hier anfangen soll.



 





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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-06-07


Hallo, tim,

ich glaube, die Aussage ist falsch. Wo ist das denn her?

Wally



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tim123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-07


Die Aussage stammt von meinem Übungsblatt, aber wo genau liegt hier das Problem.


Habe noch weiter über das Problem nachgedacht
Mein Ansatz wäre mit Fallunterscheidungen zu arbeiten. Ist die Anzahl von f´(x)=0  links und rechts von a begrenzt, so kann ich ja ohne Probleme ein gewisse Umgebung um a finden, die definitiv injektiv ist. Ist f´(x)=0 überabzählbar für alle $\epsilon>0$ so weiß ich eigentlich auch nicht weiter.

Hängt es vielleicht damit zusammen?



Edit: habe die Aussage ein wenig abgekürzt.


$\Leftrightarrow$   stand noch, dass f´(a)=0 seien sollen.

Insgesamt also:

ist f differenzierbar so gilt: f(a) ist striktes lokales Minimum von f $\Leftrightarrow$  f´(a)=0 ist und ein $R>0$ existiert mit $f´(x)<0$ für alle $x\in U_{R(a)}$ mit $x<a$ und $f´(x)>0$ für alle  $x\in U_{R(a)}$ mit x>a



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-06-07

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Ich weiß nicht, was $R(a)$ bedeuten soll, aber $f(x)=x^2(1+\sin^2(\frac 1x)), f(0)=0$ sollte ein Gegenbeispiel sein.
\(\endgroup\)


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tim123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-07


$U_{R(a)}$ ist einfach die offene Umgebung um a ohne das a selbst wobei $R\in \mathbb{R}$ liegt. Das Gegenbeispiel muss ich mir jedoch noch weiter anschauen



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-06-07

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
2018-06-07 12:38 - tim123 in Beitrag No. 4 schreibt:
$U_{R(a)}$ ist einfach die offene Umgebung um a ohne das a selbst wobei R\in $\mathbb{R}$ liegt. Das Gegenbeispiel muss ich mir jedoch noch weiter anschauen

Sollte es dann nicht $U_R(a)$ heißen? Oder $U_a(R)$ (das wäre glaube ich eher unüblich) oder $U(R,a)$ oder $U(a,R)$.
\(\endgroup\)


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tim123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-07


ja, so steht es auch auf dem Übungsblatt, habe jedoch beim Schreiben nicht darauf geachtet.
Aber das Gegenbeispiel gilt auch hier noch?



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-06-07


Ja.



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tim123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-07


nun gut, habe jetzt noch länger über die Aufgabe nachgedacht, finde jedoch einfach nichts wie man die Aussage retten könnte, insbesondere bin ich eher verwirrt, weshalb unser Doktorand, der die Aufgaben ja schließlich macht eine falsche Aufgabe reinstellen sollte. Trotzdem nochmals danke für die Hilfe



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