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Analysis » Topologie » Kompaktheit und Abschluss
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Universität/Hochschule Kompaktheit und Abschluss
Zatyrus
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-09-18


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ochen
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Aus: der Nähe von Schwerin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-09-18


Hallo,

ich wuerde mit <math>n=1</math> anfangen um eine Vorstellung zu bekommen, was gesucht ist. Es gilt dann <math>[-1,1]\subset U</math>, weiter gibt es  <math>\varepsilon_1,\varepsilon_2>0</math> mit <math>B_{\varepsilon_1}(1), B_{\varepsilon_2}(-1)\subset U</math>, da <math>-1,1\in U</math> und <math>U</math> offen ist. Nun waehle <math>r=1+\frac{1}{2}\min(\varepsilon_1,\varepsilon_2)</math>. So ist <math>B_{r}(0)\subset U</math>.

Fuer n>1 kannst du vielleicht eine stetige Funktion finden, die auf <math>\text{cl } B_1(0)</math> jedem Punkt den Abstand zum Rand zu weist oder aehnliches, also soetwas wie <math>\displaystyle f\colon U\to\mathbb R,\ x\mapsto \min(2,\sup_{y\in U} \|x-y\|)</math>.
Vielleicht bin ich auch auf dem Holzweg.



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Kampfpudel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-09-18


Ich würde einen Widerspruchsbeweis probieren, das dürfte der einfachste Weg sein



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Wauzi
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-09-18


Hallo,
und für den Widerspruchsbeweis eine mögliche Idee:
Familie größerer konzentrischer Kugeln mit abnehmenden Radius, die gegen Deine gegebene Kugel konvergiert. Zeige, daß dann Deine Kugel einen Häufungspunkt einer Punktfolge aus dem Komplement von U enthält.

Gruß Wauzi


-----------------
Primzahlen sind auch nur Zahlen



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Zatyrus
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-19


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Kampfpudel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-09-19

\(\begingroup\)
2018-09-19 09:32 - Zatyrus in Beitrag No. 4 schreibt:
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Nö.

2018-09-19 09:32 - Zatyrus in Beitrag No. 4 schreibt:
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Das verstehe ich ehrlich gesagt nicht.

2018-09-19 09:32 - Zatyrus in Beitrag No. 4 schreibt:
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Diese Familie konzentrischer Kugeln liegt ja auch nicht komplett in \(U^c\).

Also, meine Idee war die Folgende:
Wir nehmen an, die Behauptung
\(\exists ~r>1\): \(B_r(0) \subset U\)
wäre unter der Voraussetzung \(\overline{B_1(0)} \subset U\) und \(U \subset \mathbb{R}^n\) offen falsch.
Schreib nun mal die Widerspruchsannahme hin und konstruiere nun eine Folge in \(U^c\), die gegen ein Element in \(\overline{B_1(0)}\) konvergiert.
\(\endgroup\)


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Zatyrus
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-19


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Kampfpudel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-09-19


2018-09-19 13:06 - Zatyrus in Beitrag No. 6 schreibt:
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Ja genau.

2018-09-19 13:06 - Zatyrus in Beitrag No. 6 schreibt:
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Das ist dann ja gar nicht mehr nötig und wäre im übrigen auch nicht richtig gefolgert. Wenn du den Widerspruch herbeigeführt hast, bist du fertig.



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Wauzi
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2018-09-19


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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-09-19

\(\begingroup\)
Sei $B_{r}(x)$ die offene Kugel um $x$ mit Radius $r$, $K_{r}(x)$ die abgeschlossene Kugel und $S_{r}(x)$ der Rand. Da $U$ offen ist, gibt es zu jedem $x\in S_{r}(0)$ ein $\varepsilon_{x}>0$ derart, dass $B_{\varepsilon_{x}}(x)$ ganz in $U$ enthalten ist. Wenn die Menge aller $\varepsilon_{x}$ unbeschränkt ist, sind wir fertig. Ist sie hingegen beschränkt, sei $\overline{\varepsilon_{x}}$ ihr Supremum. Wir können annehmen, dass für jedes $x\in S_{r}(0)$ das Supremum $\overline{\varepsilon_{x}}$ existiert, andernfalls hätten wir nette $x$, die eine beliebig große in $U$ enthaltene Umgebung besitzen. Nun zeigt man, dass für jedes $x\in S_{r}(0)$ die offene Kugen $B_{\overline{\varepsilon_{x}}}(x)$ ganz in $U$ liegt.
 
Da jedes $\overline{\varepsilon_{x}}>0$ ist, ist die Menge aller Suprema $\overline{\varepsilon_{x}}$ nach unten beschränkt und besitzt somit ein Infimum \[
\varepsilon=\inf_{x\in S_{r}}\overline{\varepsilon_{x}}.
\] Dann unterscheide ich zwei Fälle. Wenn das Infimum größer als Null ist, kann man bestimmt leicht zeigen, dass für jedes $\delta$ mit $0<\delta<\varepsilon$ die Kugel $B_{r+\delta}(0)$ ganz in $U$ enthalten ist.

Wenn hingegen $\varepsilon=0$ ist, gibt es eine Folge in $a:\mathbb{N}\rightarrow S_{r}$ derart, dass
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\overline{\varepsilon_{a_{n}}}=0
\] gilt. Da $S_{r}(0)$ kompakt ist, hat diese Folge eine konvergente Teilfolge. Der Grenzwert dieser Teilfolge sei mal $b$. Einserseit gäbe es zu $b$ ein $\overline{\varepsilon_{b}}>0$, so dass die Umgebung $B_{\overline{\varepsilon_{b}}}(b)$ noch ganz in $U$ enthalten ist, andererseits konvergiert die Folge $n\mapsto\overline{\varepsilon_{a_{n}}}$ gegen Null. Das ist bestimmt ein Widerspruch.
 
Könnte das so funktionieren? Ich bin schon lange raus, deswegen keine Garantie.

Liebe Grüß
Martin
\(\endgroup\)


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