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Strukturen und Algebra » Gruppen » Gruppe - Potenzen und Inverse
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Universität/Hochschule J Gruppe - Potenzen und Inverse
Scheystein
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Dabei seit: 20.05.2018
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-10-22 15:18

\(\begingroup\)
Hallo,
brauche für eine Aufgabe den Beweis (oder ein Gegenbeispiel) für die folgende Behauptung. Sei \((G, \oplus)\) eine nicht abelsche Gruppe und \(g \in G\) beliebig mit

\[g^n = e\] für ein \(n \in \mathbb{N}\). Dann gibt es auch ein \(k \in \mathbb{N}\) mit \[(g^{-1})^k = e\] Ich bin jetzt schon bei Wikipedia etliche Beispiele mit kleinen endlichen Gruppen durchgegangen, habe aber nie ein Gegenbeispiel gefunden  :-( . Für eine kommutative Gruppe gilt bekanntermaßen

\[(h^{-1})^n \oplus h^n = (h^{-1} \oplus h)^n = e\]
Gilt die untere Gleichung für eine beliebige Gruppe?

Edit: Ach ich bin ja auch blind ... In der Mitte löschen sich ja gegenseitig jeweils zwei Elemente aus. Also müsste diese Gleichung stimmen.

Gruß
Scheystein
\(\endgroup\)


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MeWi
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 14.03.2011
Mitteilungen: 609
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-10-22 15:26

\(\begingroup\)
Es spielt sich ja alles nur in der von $g$ erzeugten Untergruppe ab, die abelsch ist. Dementsprechend gilt $(g^{-1})^n=(g^n)^{-1}$ ganz allgemein.
\(\endgroup\)


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Scheystein
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 20.05.2018
Mitteilungen: 62
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-22 15:29

\(\begingroup\)
Okay die eigentliche Frage:

Sei \(g, h \in G\) mit \(g^n = e\) und \(h^k = e\) für \(n,k \in \mathbb{N}\). Gilt dann auch \[(g \oplus h)^i = e\] für ein \(i \in \mathbb{N}\). Meine Idee war es solche Elemente \(g,h\) zu finden, sodass gilt
\[(g \oplus h) = \underbrace{(g \oplus h) \oplus (g \oplus h)}_{= e} \oplus (g \oplus h) \neq (g \oplus h) \oplus  (g \oplus h) \]
Also anschaulich, dass das verknüpft immer im Kreis springt (änhlich wie \((-1)^n\)). Ich habe den Beweis schon für eine kommutative Gruppe erbracht. Hierbei habe ich \(i = n \cdot k\) gewählt und die Kommutativität in einem Schritt benutzt.

Danke für die Bestätigung  smile

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
\(\endgroup\)


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MeWi
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 14.03.2011
Mitteilungen: 609
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-10-22 15:49

\(\begingroup\)
Nein, für nichtabelsche Gruppen gilt das im Allgemeinen nicht. In der Gruppe $\langle g,h\mid g^n=h^k=e\rangle$ mit $k,n>1$ ist $(gh)^l\neq e$ für alle $l>0$.
\(\endgroup\)


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weird
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.10.2009
Mitteilungen: 4264
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-10-22 15:57

\(\begingroup\)
2018-10-22 15:29 - Scheystein in Beitrag No. 2 schreibt:
Okay die eigentliche Frage:

Sei \(g, h \in G\) mit \(g^n = e\) und \(h^k = e\) für \(n,k \in \mathbb{N}\). Gilt dann auch \[(g \oplus h)^i = e\] für ein \(i \in \mathbb{N}\).

Klarerweise ist die Antwort nein: Das Produkt von Elementen endlicher Ordnung in einer Gruppe muss nicht von endlicher Ordnung sein (siehe z.B. hier).

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]
\(\endgroup\)


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Nuramon
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 839
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-10-22 16:13

\(\begingroup\) \(\newcommand{\End}{\operatorname{End}}\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
2018-10-22 15:49 - MeWi in Beitrag No. 3 schreibt:
Nein, für nichtabelsche Gruppen gilt das im Allgemeinen nicht. In der Gruppe $\langle g,h\mid g^n=h^k=e\rangle$ mit $k,n>1$ ist $(gh)^l\neq e$ für alle $l>0$.


Das ist anschaulich klar.
Weiß jemand, wie man das formal zeigt? Vielleicht gibt es eine Darstellung der Gruppe, an der man das nachrechnen kann?
\(\endgroup\)


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MeWi
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 14.03.2011
Mitteilungen: 609
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-10-22 16:22

\(\begingroup\)
Ich denke, das folgt direkt aus der Darstellung mittels reduzierter Wörter. Das Wort $ghghgh\dots$ ist reduziert und nicht das leere Wort, also ungleich $e$.

Edit: Das gleiche Beispiel steht auch im Link von weird.
\(\endgroup\)


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Scheystein
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-22 16:29

\(\begingroup\)
Vielen Dank erstmal für die schnellen Antworten.

2018-10-22 15:49 - MeWi in Beitrag No. 3 schreibt:
Nein, für nichtabelsche Gruppen gilt das im Allgemeinen nicht. In der Gruppe $\langle g,h\mid g^n=h^k=e\rangle$ mit $k,n>1$ ist $(gh)^l\neq e$ für alle $l>0$.

Leider ist mir die Definition von $\langle g,h\mid g^n=h^k=e\rangle$ nicht bekannt (Gruppentheorie ist Neuland für mich  biggrin ). Zu dem Link von weird. Das erste Argument ist genau das, welches ich auch beim Beweis für abelsche Gruppen benutzt habe (yay). Allerdings tritt indirekt bei der Definition von "rank" wieder $\langle \; \rangle$ auf  confused . Wie würde den die Verknüpfungstafel von $\langle g,h\mid g^n=h^k=e\rangle$  aussehen?

Gruß
Scheystein

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]
\(\endgroup\)


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MeWi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2018-10-22 16:40


Ich hatte gehofft, mich um die Definition drücken zu können.  razz  Schau einmal unter en.wikipedia.org/wiki/Presentation_of_a_group, vielleicht genügt das schon.



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-10-22 16:42

\(\begingroup\) \(\newcommand{\End}{\operatorname{End}}\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
@Scheystein
Schau mal hier.



2018-10-22 16:22 - MeWi in Beitrag No. 6 schreibt:
Ich denke, das folgt direkt aus der Darstellung mittels reduzierter Wörter. Das Wort $ghghgh\dots$ ist reduziert und nicht das leere Wort, also ungleich $e$.

Edit: Das gleiche Beispiel steht auch im Link von weird.
Na ja, das ändert die Frage ja nur zu: Warum ist das Wort $ghgh\dots gh$ reduziert? A priori könnte es ja sein, dass $G=\langle g,h\mid g^n=h^k=e\rangle$ einfach die triviale Gruppe ist. (Ist es aber nicht, weil z.B.  $G\to \IZ/n\IZ, g\mapsto 1, h\mapsto 0$ ein nichttrivialer Gruppenhomomorphismus ist.)

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]
\(\endgroup\)


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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2018-10-22 16:42

\(\begingroup\)
2018-10-22 16:29 - Scheystein in Beitrag No. 7 schreibt:
Wie würde den die Verknüpfungstafel von $\langle g,h\mid g^n=h^k=e\rangle$  aussehen?

Die kann man nicht hinschreiben, da sie "unendlich groß" ist. Aber du brauchst sie hier ja gar nicht, sondern einfach nur, dass $gh$ von unendlicher Ordnung ist.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]
\(\endgroup\)


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Scheystein
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-22 17:03

\(\begingroup\)
Danke für die beiden bzw. den einen Link. Allerdings kann ich wohl kaum in der Abgabe Konzepte benutzen, die wir noch nicht durchgesprochen hatten biggrin . Allerdings hatten wir zumindest die Definition einer zyklischen Gruppe, was ja als Teilkonzept davon angesehen werden kann.

Auch wenn ich es ungern machen, die Aufgabenstellung war sinngemäß

Sei \((G, \oplus)\) eine Gruppe. Wir betrachten die Menge

\[U = \{ g \in G \mid g^n = e \text{ für ein } n \in \mathbb{N} \}\]
Ist \((U, \oplus_U)\) eine Untergruppe von \((G, \oplus)\)?

Ich habe die Behauptung für den Fall das \(\oplus\) kommutativ ist, bereits bewiesen. Die Aufgabenstellung suggeriert, dass dies für nicht kommutative Gruppen nicht immer der Fall ist. (Ein Beispiel wo \(U\) seine Untergruppe ist, jedoch \(\oplus\) nicht kommutativ habe ich glaube gefunden). Ich habe mich dann praktisch auch durch die kleinsten 5 nicht-abelschen Gruppen gearbeitet - soweit man das im Kopf ordentlich machen kann. Habe aber kein Gegenbeispiel gefunden hier. Gibt es sehr einfaches - möglichst \(G\) endlich - Beispiel, bei dem \(U\) keine Untergruppe ist?

Nochmal Danke für die Antworten  smile  Schadet ja nie sich Sachen auch anzuschauen, die in der Vorlesung nicht behandelt wurden.

Gruß
Scheystein
\(\endgroup\)


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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2018-10-22 17:10

\(\begingroup\) \(\newcommand{\End}{\operatorname{End}}\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
Für endliche Gruppen gilt immer $U=G$.
\(\endgroup\)


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Scheystein
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-22 17:11

\(\begingroup\)
In der Vorlesung wurden Gruppen wie etwa \(S_n, A_n (nicht \;abelsch!)\) und die Verknüpfung der Komposition \(\circ\) von Funktionen auf \(Abb(X,G)\) (auch nicht abelsch) besprochen. Vielleicht ist da ja Gegenbeispiel für \(U\) keine Untergruppe dabei ...  confused

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.11 begonnen.]
\(\endgroup\)


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Scheystein
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-22 17:14

\(\begingroup\)
2018-10-22 17:10 - Nuramon in Beitrag No. 12 schreibt:
Für endliche Gruppen gilt immer $U=G$.

Aha, in der Originalaufgabe stand auch \(N \cup \{ 0 \}\). Da ist mir schon aufgefallen, dass $U=G$ gilt mit der Wahl $n= 0$ als Exponenten. Ich bin davon ausgegangen, dass dort \(N \setminus \{ 0 \}\) stehen soll. Hat das alles damit zu tun, dass in einer Verknüpfungstafel jedes Element in jeder Spalte und Zeile genau einmal auftritt und daher \(g\) selbstinvers ist oder \(g^n = g^{-1}\) für ein \(n \in \mathbb{N}\) gilt. Beim Ausprobieren mit endlichen Gruppe ist mir schon aufgefallen, dass man in einer Spalte jeweils ein neues Element aus $G$ besucht, wenn man $n$ um eins erhöht, bis man irgendwann auf das Inverse gestoßen ist. Wenn man dann eins weiter gegangen ist, erhielt man \(g^n = g^{-1} \oplus g = e\). Vermutlich echt elementare Entdeckungen die ich hier mache  biggrin Hoffe das ist verständlich was ich hier schreibe ...

Z.B. hier \((ab)^n\). Es gilt \((ab)^3 = (ab)^{-1}\) und daher offensichtlich \((ab)^4 = e\).
\(\endgroup\)


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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2018-10-22 17:22

\(\begingroup\) \(\newcommand{\End}{\operatorname{End}}\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
Wenn $G$ endlich ist, dann ist auch $\{g\in G\mid \exists n\geq 1: g^n=e\} = G$. Versuch das zu beweisen.

Und hier ist ein Gegenbeispiel mit $G= \GL(\IR^2)$:
Wenn $g, h$ Achsenspiegelungen an zwei Ursprungsgeraden sind, die sich in einem hinreichend unschönen Winkel schneiden, dann ist $g\circ h$ eine Drehung, für die kein $n\geq 1 $ existiert mit $(g\circ h)^n=\id_{\IR^2}$.
\(\endgroup\)


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Scheystein
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-22 17:30

\(\begingroup\)
Ach, herrlich. Den Beweis werden ich natürlich führen und hier rein schreiben. Mit \(GL(\mathbb{R}^2)\) sind die invertierenbaren \(2 \times 2\) Matrixen mit Körpereinträgen aus \(\mathbb{R}\) gemeint? Das scheint ein schönes Beispiel sein, welches ich in der Lösung auch sinnvoll nutzen kann.

Edit: Beispiel ist angekommen  smile
\(\endgroup\)


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Scheystein
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-22 21:11

\(\begingroup\)
Für die nachfolgenden Leser dieses Threads (wobei \(H\) den Platz von \(U\) #11 eingenommen hat):



Abschließender Dank an die vielen Hilfestellungen. Insbesondere das Beispiel \(GL(2, \mathbb{R})\) und die Bemerkung \(H = G\) für \(G\) endlich haben sehr geholfen.

Gruß
Scheystein  cool
\(\endgroup\)


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