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Mathematik » Analysis » Der Satz von Baire und die reellen Zahlen
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Autor
Universität/Hochschule Der Satz von Baire und die reellen Zahlen
Polar_regen
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
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Mitteilungen: 750
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-10-23 00:47

\(\begingroup\)
Hallo.

Ich habe hier das Beispiel:

Man nehme an, \(\mathbb{R}\) sei abzählbar.

Dann gelte \(\mathbb{R}= \bigcup\limits_{n \in \mathbb{N}} \{x_n\}\) .


Daraus folgte dann \(\exists_n \overline{\{x_n\}}^{\circ} \neq \emptyset\)

(der Kreis sollte eiglt mittig stehen...es soll das Innere vom Abschluss sein)

Widerspruch!



Meine Fragen:
Es gilt also für abzählbare Mengen, dass das Innere nicht leer ist?

Aber \(\overline{\{x_n\}}^{\circ} \) ist ja irgendeine reelle Zahl, also ein Punkt, und ein Punkt hat ja ein leeres Inneres, also müsste ja für alle \(\overline{\{x_n\}}^{\circ} = \emptyset \) gelten?


Habe ich das so richtig verstanden?

GlG
\(\endgroup\)


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maxpower1984
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 25.12.2006
Mitteilungen: 67
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-10-23 08:14


Hallo!

Zur ersten Frage:

->Nein, das ist falsch. Deine Einpunktmengen oben sind ja bereits Gegenbeispiele. Falls du ein Beispiel einer unendlichen abzählbaren Menge willst: betrachte die natürlichen Zahlen.

fed-Code einblenden

Der Widerspruch oben kommt aus dem Satz von Baire, den du ja im Titel erwähnst. Dieser besagt nämlich, dass die reellen Zahlen sich nicht als abzählbare Vereinigung von Mengen darstellen lassen, bei denen das Innere ihres Abschlusses leer ist.



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