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Mathematik » Analysis » Satz von der offenen Abbildung
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Universität/Hochschule Satz von der offenen Abbildung
Polar_regen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-10-23 02:30

\(\begingroup\)
Hallo.

Sei \(T:E\rightarrow F\) mit \(T\in L(E,F)\)und surjektiv (T,E Frécheträume), dann ist T schon offen.


Hieraus folgt jetzt der  Banachsche Isomorphiesatz:
Ist \(T:E\rightarrow F\) mit \(T\in L(E,F)\) und bijektiv (E,F Frécheträume), dann ist T ein Isomorphismus, die Stetigkeit von \(T^{-1}\) folgt automatisch.

Jetzt ist meine Frage:

Wie kommt man auf diese Folgerung? Weil in der Folgerung wurde surjektiv ja zu bijektiv umgewandelt, heißt, man hat noch injektiv dazu getan...Wo sehe ich das injektiv?
Oder habe ich was falsch verstanden?


GlG
\(\endgroup\)


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MeWi
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Mitteilungen: 609
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-10-23 11:20


Wie schon gesagt ist das eine Voraussetzung, davon kannst du so viele hinzufügen wie du willst (es macht die Aussage bloß schwächer, nicht falsch). In dem Fall braucht man offensichtlich die Injektivität, um einen inversen Operator zu bekommen. Außerdem kann man sich leicht klarmachen, dass die anderen Voraussetzungen nicht genügen, um Injektivität zu implizieren.



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