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Moderiert von Curufin epsilonkugel
Mathematik » Analysis » Identität mit Summen zeigen
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Universität/Hochschule Identität mit Summen zeigen
Quotenbanane
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-11-13

\(\begingroup\)
Hallo Leute!

Thema lautet "Lagrangesche Identität", auf Matroid gab es das Thema schon 2007 (www.matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=82014&ref=https%3A%2F%2Fwww.google.com%2F)
Ich bräuchte Hilfe bei folgender Gleichung...

$(\sum_{k=1}^n a_k b_k)^2 = (\sum_{k=1}^n a_k^2)(\sum_{k=1}^n b_k^2)-\sum_{i,k=1, k<i}^n(a_k b_i-a_i b_k)^2$

Da ich mit dem k<i wenig anfangen kann, wollte ich das Ganze mal von Rechts nach Links zeigen.

$(\sum_{k=1}^n a_k^2)(\sum_{k=1}^n b_k^2)-\sum_{i,k=1, k<i}^n(a_k b_i-a_i b_k)^2$

$\leftrightarrow (\sum_{k=1}^n a_k^n b_k^2)-\sum_{i,k=1, k<i}^n(a_k b_i-a_i b_k)^2$

Könnte ich mal so zusammenfassen, da es dieselbe Summe ist, nicht?
Danach habe ich $(a_k b_i - a_i b_k)^2)$ mal ausgeklammert, so steht...

$\leftrightarrow (\sum_{k=1}^n a_k^2 b_k^2)-\sum_{i,k=1, k<i}^n(a_k^2 b_i^2-2a_k b_i a_i b_k + a_i^2 b_k^2)$

Hier kann ich dann die Summen trennen...

$\leftrightarrow (\sum_{k=1}^n a_k^2 b_k^2)-\sum_{i,k=1, k<i}^n(a_k^2 b_i^2-2a_k b_i a_i b_k + a_i^2 b_k^2)$

$\leftrightarrow (\sum_{k=1}^n a_k^2 b_k^2)-\sum_{i,k=1, k<i}^n(a_k^2 b_i^2) + \sum_{i,k=1, k<i}^n (2a_k b_i a_i b_k ) - \sum_{i,k=1, k<i}^n (a_i^2 b_k^2)$

So und hier stecke ich aktuell.
Ich weiß, dass ich z.B. bei $(\sum_{k=1}^n a_k^2 b_k^2)$ genauso $(\sum_{k,i=1}^n a_k^2 b_i^2)$ oder $(\sum_{k,i=1}^n a_i^2 b_k^2)$ schreiben kann, da es keine Einschränkung bei der Laufvariable gibt.

Darf ich z.B. $(\sum_{k,i=1}^n a_i^2 b_k^2)$ von $\sum_{i,k=1, k<i}^n (a_i^2 b_k^2)$ abziehen? Wenn ja, mit welcher Einschränkung?

Wie gesagt, es ist das k<i, das mich zweifeln lässt.

Schon mal vielen Dank für eure Antworten.

LG Quotenbanane
\(\endgroup\)


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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-11-14 16:07


Die allererste Umformung ist falsch. Vermutlich meinst Du das richtige, aber was da steht ist falsch.

In dem Satz "Ich weiß, dass ich ..." scheinen Satzteile zu fehlen, insbesondere ein Verb im Nebensatz. Der Satz wird dadurch unverständlich, könnte aber mit passender Ergänzung richtig sein. Da hier eine Doppelsumme auftaucht, die vorher nirgendwo stand, nehme ich an, dass Du im ersten Schritt das Richtige gewollt hast.

Danach fragst Du, ob Du die Summe A von der Summe B abziehen darfst. Allerdings muss man andersherum B (und C) von A abziehen.
Dann bist Du schon auf einem guten Weg.

Vielleicht hilft es, wenn Du für n=2 oder n=3 wirklich mal alle Terme einzeln aufschreibst.



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Quotenbanane
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-14 20:33

\(\begingroup\)
Hi Kitaktus

Da hast du absolut Recht, du meintest "$\sum_{k=1}^2 b_k^2$", oder?
Ja, da habe ich blöderweise das n mit der 2 vertauscht. Hab' ich korrigiert!

"In dem Satz "Ich weiß, dass ich ..." scheinen Satzteile zu fehlen, insbesondere ein Verb im Nebensatz."
Korrigiert!

"Danach fragst Du, ob Du die Summe A von der Summe B abziehen darfst. Allerdings muss man andersherum B (und C) von A abziehen."

Ja, stimmt, B und C gehört von A abgezogen.
Sprich
$(\sum_{k=1}^n a_k^2 b_k^2)-\sum_{i,k=1, k<i}^n(a_k^2 b_i^2) - \sum_{i,k=1, k<i}^n (a_i^2 b_k^2)$
nicht?

Aber wie mache ich das? Mir kommt vor, das k<i macht mir einen Strich durch die Rechnung.
Denn z.B. $\sum_{i,k=1, k<i}^n(a_k^2 b_i^2)$ wäre für n = 2 ja...
$b_1^2+a_1^2*b_2^2$ oder $b_1^2+b_2^2$ da k<i ist und somit das a erst irgendwann kommt.
\(\endgroup\)


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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-11-15 10:56

\(\begingroup\)
Ehrlich gesagt, jetzt wird es eher konfuser als klarer.

$(\sum_{k=1}^n a_k^2)(\sum_{k=1}^n b_k^2)$ ist nicht gleich $(\sum_{k=1}^n a_k^2 b_k^2)$ sondern $(\sum_{k,i=1}^n a_i^2 b_k^2)$.
Diese Summe kann man in drei Teile zerlegen. In die Fälle in denen k=i ist, in die Fälle, in denen k<i ist und in die Fälle, in denen i<k ist.

Versuch mal, ob du von da weiterkommst.
\(\endgroup\)


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Quotenbanane
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-17 23:14

\(\begingroup\)
Das hilft mir schon mal extrem weiter.

Denn das heißt also, dass $\sum_{k,i=1}^n a_i^2 b_k^2$ eigentlich eine Doppelsumme mit verkürzter Schreibweise ist und $\sum_{k,i=1,k<i}^n a_i^2 b_k^2 = \sum_{i=1}^n\sum_{k}^{i-1} a_i^2 b_k^2$ darstellt.

Sehe ich das richtig?
\(\endgroup\)


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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-11-19 13:06

\(\begingroup\)
Es ist eine Doppelsumme, ja.

Aber irgendwie stehst Du auf dem Schlauch. Aber statt mal den Tipps zu folgen, stellst Du immer wieder ähnlich merkwürdige Fragen.

Mein letzter Versuch:
Wir betrachten den Fall n=3.
Wenn i und k von 1 bis 3 durchvariiert werden, dann gibt es 3x3=9 Paare (i,k):
(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2) und (3,3).
Davon erfüllen drei Paare die Bedingung i<k:
(1,2), (1,3), (2,3)
Drei Paare erfüllen die Bedingung i=k:
(1,1), (2,3), (3,3)
Die restlichen drei Paare erfüllen die Bedingung i>k:
(2,1), (3,1), (3,2).

Das es jeweils _drei_ Paare sind ist nicht relevant. Entscheidend ist, dass man die Summe über alle Paare (i,k) zerlegen kann in drei Summen über die Paare (i,k) mit
a) i<k
b) i=k und
c) i>k

Der einzige weitere vielleicht nicht ganz so offensichtliche Schritt der Umformungskette ist die Identität $\sum_{k,i=1, k<i}^n a_i^2 b_k^2 = \sum_{k,i=1, i<k}^n a_k^2 b_i^2$, die man erhält, indem man k durch i und i durch k ersetzt.
\(\endgroup\)


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