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Differentiation » Taylorentwicklungen » Taylorpolynom 2ter Ordnung
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Universität/Hochschule Taylorpolynom 2ter Ordnung
tinkaamelie
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-02-13


Hallo, eine nächtliche Frage:

Ist meine Rechnung so richtig?

Ich soll das Taylorpolynom 2ter Ordnung an der Entwicklungsstelle (0,0) berechnen.
Bin genau nach mitschrift einer ähnlichen Aufgabe vorgegangen.

Achja, dass ich die partielle Ableitung nur einmal hätte berechnen müssen ist mir erst beim ordentlich abschreiben aufgefallen razz




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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-02-13


Hallo,

bisher sollte das alles richtig sein.
Wie setzt du nun dein Taylorpolynom zusammen?



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endy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-02-13


Hallo.

Eine schöne Kopfrechenaufgabe für Klasse 6. biggrin

Gruss endy



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tinkaamelie
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Dabei seit: 11.01.2017
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-13


Das ist alles. Mehr haben wir nicht gemacht..



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ochen
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Aus: der Nähe von Schwerin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-02-13


Hm, irgendwie müsst ihr doch das Taylorpolynom definiert haben. Falls nicht, gibt es einen Eintrag bei Wikipedia, in dem es ganz gut beschrieben ist.



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endy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-02-14


Also ohne Ableitungen funktioniert es folgendermaßen:

Setze $z=x+y$.Zu Bestimmen ist das Taylorpolynom zweiten Grades von $z \cdot \sin(z)$.

Da $z^n$ nach dem binomischen Lehrsatz eine Summe von (n+1) Monomen vom Totalgrad n ist,kann man die Potenzreihe von $\sin(z)$ durch $z$ ersetzen.
Das gesuchte Taylorpolynom ist also $z^2$ bzw. $x^2+2 x y +y^2$.

endy





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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-02-28


Warum kann man hier die Potenzreihe von $\sin(z)$ durch $z$ ersetzen?

Weil der erste Summand der Potenzreihe eben $z$ ist und man nur bis zur zweiten Ordnung entwickeln soll, weshalb die anderen Summanden nicht ins Gewicht fallen?

Lässt sich der Trick auf höhere Ordnungen verallgemeinern?



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Wally
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Aus: Dortmund, Old Europe
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-02-28

\(\begingroup\)\( \newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo,

das kommt daher, dass bei analytischen Funktionen (also unter anderem alles, was aus den Standardfunktionen zusammengesetzt ist), die Taylorreihe gleich der Potenzreihe ist, also auch das Taylorpolynom <math>k</math>-ter Ordnung einfach der entsprechende Abschnitt der Potenzreihe.

@endy: Die Ableitung von <math>e^x</math> ist dann was für den Kindergarten?  biggrin  biggrin

Wally
\(\endgroup\)


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
endy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-06-30


2019-02-28 04:24 - PrinzessinEinhorn in Beitrag No. 6 schreibt:
Warum kann man hier die Potenzreihe von $\sin(z)$ durch $z$ ersetzen?

Weil der erste Summand der Potenzreihe eben $z$ ist und man nur bis zur zweiten Ordnung entwickeln soll, weshalb die anderen Summanden nicht ins Gewicht fallen?

Lässt sich der Trick auf höhere Ordnungen verallgemeinern?


Ja.Wenn z.B. das Taylorpolynom vom Grad 7 gesucht ist, kann man

$$ z \cdot (z-\frac{z^3}{6}+ \frac {z^5}{120} )$$

ausmultiplizieren.

Allgemein sollte man Taylorpolynome mittels Potenzreihen und/oder Rekurrenzen berechnen und nicht über Ableitungen.

@Wally : Mit 6.-ter Klasse ist die binomische Formel gemeint, die man am Ende von Beitrag Nr. 5 braucht.

endy



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