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Mathematik » Olympiade-Aufgaben » Alte Olympiadeaufgaben
Thema eröffnet 2019-04-22 08:33 von
stpolster
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Kein bestimmter Bereich Alte Olympiadeaufgaben
stpolster
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1280, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-16 08:00


@Hyperplot: Danke, ich sehe mir es genauer an.

LG Steffen



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OlgaBarati
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1281, eingetragen 2019-07-16 09:59


2019-07-15 21:41 - MontyPythagoras in Beitrag No. 1278 schreibt:
...aber von der Musterlösung unterscheidet, wäre es trotzdem gut, Deine Lösung mit ins Lösungsbuch aufzunehmen....

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1275 begonnen.]

Aufgabe 2 - 201222
Man ermittle alle diejenigen positiven reellen Zahlen k, fur die die Zahlen \(a =\frac{2k}{k + 1}\;\;\;\)  \(b =\frac{k+1}{2 }\;\;\;\; \) \(c =\sqrt{k}\;\;\;\; \) die Maßzahlen der (mit gleicher Maßeinheit gemessenen) Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks sind.
 Lösung 2 (Alternative):
Das Verhältnis der Seitenlängen im rechtwinkligen Dreieck zueinander ist durch den Satz des Pythagoras definiert. Aus den im Aufgabentext gegebenen Formeln \(a(k),\; b(k),\; c(k),\;\) ergeben sich für \(a^2=\frac{4k^2}{k^2+2k+1}\) für \(b^2=\frac{k^2+2k+1}{4}\) und für \(c^2 =k\).
 
Nach Umformung folgt
\[\frac{1}{a^2}=\frac{k^2+2k+1}{4k^2}\] und mit dem Verhältnis
\[\frac{1}{a^2}=\frac{b^2}{k^2}\] die für \(k\) quadratische Gleichung
\[k^2-ka^2-a^4=0\] \[k_{1,2}=\frac{a^2}{2}\pm \sqrt{(\frac{a^2}{2})^2+a^4}\] \[k_{1,2}=\frac{a^2}{2}\pm \sqrt{\frac{a^4}{4}+a^4}\] \[k_{1}=\frac{a^2}{2}(1+\sqrt{5})\] \[k_{2}=\frac{a^2}{2}(1-\sqrt{5})\] Da \(k_2<0\) ist, fällt diese Lösung heraus da sie die Bedingungen der Aufgabenstellung nicht erfüllt. Mit dem Einsetzen von \((k=k_1)\) folgt für
\[a^2=\frac{2k}{1+\sqrt{5}}=\frac{4k^2}{k^2+2k+1}\] und nach weiterer Berechnung
\[k^2-2k\sqrt{5}+1=0\] \[k_{3}=\sqrt{5}+2\] \[k_{4}=\sqrt{5}-2\] ergeben sich die beiden Zahlenwerte \(k_3,\; k_4\), die, zur Überprüfung eingesetzt, auch die Lösungswerte der Aufgabenstellung sind.

...ggf. erforderliche Änderungen/Ergänzungen/Korrekturen pflege ich dann noch ein.  
LG Olga



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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1282, eingetragen 2019-07-16 10:58


Hier müsste ein Fehler in der Aufgabenstellung vorliegen:



Das Ergebnis der Aufgabenstellung ist nicht plausibel. Wenn man davon ausgeht, dass die vier Punkte $A'$, $B'$, $C'$ und $D'$ reihum benannt wurden, dann liegen sich $A'$ und $C'$ diagonal gegenüber, und ebenso $B'$ und $D'$. Wenn man nun $B'$ und $D'$ an Ort und Stelle belässt, also $b$ und $d$ beibehält, und dann die Ebene diagonal um die Achse $B'D'$ kippt, verringert sich $a$, während sich $c$ vergrößert, oder andersherum. Die Formel in der Aufgabenstellung wäre dann nicht erfüllt. Auf jeden Fall macht es Sinn, dass die Summe der Abstandskehrwerte von sich diagonal gegenüberliegenden Punkten konstant bleibt. Hier meine Herleitung (es ist ein bisschen Brute-Force-Methode, aber ein eleganterer Weg ist mir bislang nicht eingefallen):

Die Größe der Pyramide ist für diese Aufgabe belanglos. Wir können die vier Kanten der Pyramide auch durch 4 Geraden darstellen, die durch den Ursprung gehen, wenn man die Spitze der Pyramide in selbigen legt. Denkt man sich die Grundfläche der Pyramide als senkrecht zur z-Achse, dann lauten die Koordinaten der Punkte $A'$, $B'$, $C'$ und $D'$:
$$\vec a=\frac{a}{\sqrt{2q^2+h^2}}\left(\begin{array}{c}q\\q\\h\end{array}\right)$$$$\vec b=\frac{b}{\sqrt{2q^2+h^2}}\left(\begin{array}{c}q\\-q\\h\end{array}\right)$$$$\vec c=\frac{c}{\sqrt{2q^2+h^2}}\left(\begin{array}{c}-q\\-q\\h\end{array}\right)$$$$\vec d=\frac{d}{\sqrt{2q^2+h^2}}\left(\begin{array}{c}-q\\q\\h\end{array}\right)$$$q$ und $h$ sind Größen der gedachten Pyramide ($h$ die Höhe und $q$ eine halbe Grundflächenseite), aber sie sind für die Berechnung ohne Belang.
Die Punkte liegen in einer Ebene, wenn das Spatprodukt dreier Differenzen dieser Vektoren null ergibt, also z.B.:
$$(\vec b-\vec a,\vec c-\vec a,\vec d-\vec a)=0$$$$\left|\begin{matrix}q(b-a) & -q(c+a) & -q(d+a) \\-q(b+a) & -q(c+a) & q(d-a)\\h(b-a) & h(c-a) & h(d-a) \end{matrix}\right|=0$$Nun folgt eine reine Fleißaufgabe:
$$-(b-a)(c+a)(d-a)-(c+a)(d-a)(b-a)+(d+a)(b+a)(c-a)-(d+a)(c+a)(b-a)-(b-a)(d-a)(c-a)-(c+a)(b+a)(d-a)=0$$$$(b-a)(-cd+ac-ad+a^2-cd-ad+ac+a^2)+(d+a)(ac+bc-ab-a^2-bc-ab+ac+a^2)+(d-a)(-bc+ac+ab-a^2-bc-ab-ac-a^2)=0$$$$(b-a)(-2cd+2ac-2ad+2a^2)+(d+a)(2ac-2ab)+(d-a)(-2bc-2a^2)=0$$$$-bcd+abc-abd+a^2b+acd-a^2c+a^2d-a^3+acd-abd+a^2c-a^2b-bcd-a^2d+abc+a^3=0$$$$-2bcd+2abc-2abd+2acd=0$$$$-\frac1a+\frac1d-\frac1c+\frac1b=0$$$$\frac1a+\frac1c=\frac1b+\frac1d$$q.e.d.

Ciao,

Thomas



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1283, eingetragen 2019-07-16 11:49


2019-07-14 23:07 - OlgaBarati in Beitrag No. 1255 schreibt:
Mit \(s=\frac{d^2}{2}=\sqrt{\frac{(\frac{2}{7})^2}{2}}=\sqrt{\frac{4}{98}} > \sqrt{\frac{4}{100}}=\frac{2}{10}=0,20 \)
wäre es - will man die Zwischenschritte aufschreiben - auf diesem Wege ohne TR jedoch auch leicht abzuschätzen.

Huhu Olga,

ja - wunderbar! Ich hatte irgendwie nur meine Abschätzung im Kopf und total übersehen, wie man bei dir auch einfach abschätzen kann. Ich würde es schön finden, wenn Steffen dieses in der PDF ersetzen könnte. Was meinst du dazu?

Huhu Steffen,

hier dann noch eine Geometrie Aufgabe:





Die Hauptüberlegung bei dieser Aufgabe ist, dass die gelben und roten Dreiecke (\(\triangle RPD \text{ und } \triangle QDX \text{ sowie } \triangle RPI \text{ und } \triangle YIQ\)) flächeninhaltsgleich sind. Das überlegt man sich wie folgt (ich zeige das einmal für die gelben): Das \(\triangle RPQ\) ist flächeninhaltsgleich zum \(\triangle RXQ\), da hier nur eine Scherung stattfindet (beide Dreiecke haben die gleiche Grundseite und Höhe). Diese beiden Dreiecke setzen sich jeweils nun aus dem Dreieck \(RDQ\) und einem gelben Dreieck zusammen, womit die Behauptung folgt. Für die roten Dreiecke läuft es analog.
Der Flächeninhalt des Vierecks OPSR setzt sich nun zusammen aus dem halben Parallelogramm und dem Dreieck \(RSP\). Die Fläche des Viereck \(SXQY\) berechnet sich als \(A=A_{\text{rot}}+A_{\text{gelb}}+(A_{\text{halbes Parallelogramm}}-A_{\text{rot}}-A_{\text{gelb}}+A_{\triangle RSP})\), womit die Behauptung folgt.

Gruß,

Küstenkind



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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1284, eingetragen 2019-07-16 14:29





Gemäß Aufgabenstellung muss gelten:
$$z=x+y$$Da es sich bei $D$ und $E$ um die Schnittpunkte der Winkelhalbierenden mit den Dreiecksseiten handelt, sind die blau dargestellten Strecken $d$ gleichlang, und ebenso die rot dargestellten Strecken mit der Bezeichnung $e$. Sei nun $q$ das Verhältnis der Strecke $EP$ zur Strecke $ED$, also
$$q=\frac{\overline{EP}}{\overline{ED}}$$Offensichtlich gilt $0\leq q\leq1$.
Wir betrachten zunächst das Dreieck $EMD$. Laut Strahlensatz gilt:
$$\frac{z-d}{e-d}=1-q$$$$z=d+(e-d)(1-q)=dq+e(1-q)\qquad(1)$$Im Dreieck $EDF$ gilt auch wegen des Strahlensatzes:
$$\frac yd=q$$$$y=dq\qquad(2)$$Und letztlich im Dreieck $EDG$:
$$\frac xe=1-q$$$$x=e(1-q)\qquad(3)$$Addiert man nun (2) und (3), dann folgt:
$$x+y=dq+e(1-q)=z$$q.e.d.

Ciao,

Thomas



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OlgaBarati
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1285, eingetragen 2019-07-16 15:07


2019-07-16 11:49 - Kuestenkind in Beitrag No. 1283 schreibt:
2019-07-14 23:07 - OlgaBarati in Beitrag No. 1255 schreibt:
Mit \(s=\frac{d^2}{2}=\sqrt{\frac{(\frac{2}{7})^2}{2}}=\sqrt{\frac{4}{98}} > \sqrt{\frac{4}{100}}=\frac{2}{10}=0,20 \)
wäre es - will man die Zwischenschritte aufschreiben - auf diesem Wege ohne TR jedoch auch leicht abzuschätzen.

Huhu Olga,

.. wenn Steffen dieses in der PDF ersetzen könnte. Was meinst du dazu?

Hallo Küstenkind,

ja, ich bin auch dafür eine offensichtlich nachvollziehbare Abschätzung einzufügen.

LG Olga



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stpolster
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1286, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-16 16:06


Hallo,
ich habe wieder alles eingefügt und war auch so frei, ein paar Abbildungen mit tikz zu zeichnen.
Ich möchte gern die Dateigröße "klein" halten. Jetzt sind nur noch 7 Bilder als PNG eingefügt, die ich auch noch ersetzen möchte.

Insbesondere Küstenkind möchte ich bitten, mal zu kontrollieren, ob die Abbildung seinen  Vorstellungen entspricht.

Stand: 1415 Lösungen, 138 offene Aufgaben, 1075 Seiten

LG Steffen



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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1287, eingetragen 2019-07-16 16:33





Da die Fläche $F$ des Dreiecks $ABC$ konstant gleich eins sein soll, gilt
$$V=\tfrac13Fh=\tfrac13h$$Das Volumen ist somit maximal, wenn die Höhe $h$ maximal ist. $D$ sei der Mittelpunkt der Strecke $BC$. Dann gilt:
$$F=\tfrac12bc=1$$$$c=\frac2b$$Betrachten wir nun das gleichschenklige Dreieck $ADS$. Seine Fläche ist
$$\tfrac12bh'=\tfrac12ch$$wobei
$$h'=\sqrt{c^2-\tfrac14b^2}$$ist. Damit erhält man:
$$h=\frac bc\sqrt{c^2-\tfrac14b^2}$$Setzt man noch $c$ ein, folgt:
$$h=\frac {b^2}2\sqrt{\frac4{b^2}-\tfrac14b^2}$$$$h=\sqrt{b^2-\tfrac1{16}{b^6}}$$Soll $h$ und damit $V$ maximal werden, muss der Term unter der Wurzel maximal werden. Wir setzen daher die erste Ableitung gleich null:
$$2b-\tfrac38b^5=0$$$b=0$ stellt offenkundig kein Maximum dar, so dass die Lösung lautet:
$$b^4=\tfrac{16}3$$$$b=\frac2{\sqrt[4]3}$$Für den Winkel $\beta$ gilt dann:
$$\beta=2\arctan\frac b{2c}=2\arctan\frac{b^2}4=2\arctan\frac1{\sqrt3}$$$$\beta=2\cdot30°=60°$$Dann ist $b=a$. Das Volumen ist also maximal, wenn die Pyramide ein regelmäßiger Tetraeder ist.

Ciao,

Thomas



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mawi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1288, eingetragen 2019-07-16 19:38


Auf Wunsch eines einzelnen Herren(?) hier die offizielle Lösung für 321236; ich hoffe, ihr könnt das lesen:




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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1289, eingetragen 2019-07-16 20:00


Tja, ähh..., häh?
Interessant, aber sehr falsch, wie ein Blick auf meine einfache Überlegung in #1217 beweist...

Ciao,

Thomas



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Kornkreis
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1290, eingetragen 2019-07-16 20:13


Einer der Radii (MB) ist $3 \cdot \sqrt{2}$, das dürfte der Unterschied sein.



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stpolster
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1291, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-16 20:14


Da meine Quellen nun ausgegangen sind, werde ich nun etwas machen, was seit längerer Zeit notwendig ist.
Ich werde den ganzen Text durchgehen, u.a. die Tippfehler suchen, die Formelnummerierung ordentlich gestalten, alle Bilder kontrollieren (im Laufe der Zeit habe ich eine Menge gelernt und wenn ich mir die ersten Bilder ansehe, kann ich nur den Kopf schütteln ...), und vieles andere mehr.

In diesem Zusammenhang frage ich höflich an:
Möchte jemand von euch, dass ich seinen Matheplaneten-Nickname in den richtigen Namen ändere?
Immerhin habt ihr eine hervorragende Leistung erbracht und ihr könnt darauf stolz sein.
Wenn ja, sendet mir einfach eine PN.
Das gilt auch für diejenigen, die bisher als "Anonym" gekennzeichnet sind.
Wenn keine PN kommt, lasse ich natürlich alle wie es ist.

LG Steffen


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1288 begonnen.]



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stpolster
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1292, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-16 20:19


2019-07-16 20:13 - Kornkreis in Beitrag No. 1290 schreibt:
Einer der Radii (MB) ist $3 \cdot \sqrt{2}$, das dürfte der Unterschied sein.
Tut mir leid, aber in meiner Quelle steht tatsächlich 3, statt $3 \cdot \sqrt{2}$ und die $alpha$ hat diese Aufgaben nicht mehr veröffentlicht.

Vielleicht hat mawi auch die originale Aufgabenstellung?

LG Steffen



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1293, eingetragen 2019-07-16 21:32


Huhu Steffen,

2019-07-16 16:06 - stpolster in Beitrag No. 1286 schreibt:
Insbesondere Küstenkind möchte ich bitten, mal zu kontrollieren, ob die Abbildung seinen  Vorstellungen entspricht.

habe gerade geschaut - sehr schön! Vielen Dank für deine Mühen!

Viele Grüße,

Küstenkind



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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1294, eingetragen 2019-07-16 23:02


2019-07-16 20:13 - Kornkreis in Beitrag No. 1290 schreibt:
Einer der Radii (MB) ist $3 \cdot \sqrt{2}$, das dürfte der Unterschied sein.

Ja, stimmt.

2019-07-16 20:19 - stpolster in Beitrag No. 1292 schreibt:
Tut mir leid, aber in meiner Quelle steht tatsächlich 3, statt $3 \cdot \sqrt{2}$ und die $alpha$ hat diese Aufgaben nicht mehr veröffentlicht.

Vielleicht hat mawi auch die originale Aufgabenstellung?

LG Steffen

Ja, es ist zu vermuten, dass die originale Aufgabenstellung tatsächlich $3\sqrt2$ vorsah. Dann ist meine Lösung zwar nicht falsch, weil sie eine allgemeine Herleitung zeigt, allerdings greift sie auf die Cardanischen Formeln zurück. In der Musterlösung läuft es auch auf eine kubische Gleichung hinaus, aber hier sind die Zahlen so, dass man mittels dem Satz von Vieta die Lösung $x=3$ erraten kann/muss. Wie möchtest Du damit verfahren?

Ciao,

Thomas



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mawi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1295, eingetragen 2019-07-16 23:05


In der Aufgabe (habe das Foto gerade an Steffen geschickt) steht auch die Wurzel...

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1293 begonnen.]



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mawi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1296, eingetragen 2019-07-16 23:09


Ein Wunsch noch für die tollen Zeichnungen: geht eine generelle Kennzeichnung der Punkte in tikzpicture durch

\foreach \P in {A,B,C,Ma,Mb,Mc,S} \draw[fill=black!1] (\P) circle (1.5pt);

?



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HyperPlot
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1297, eingetragen 2019-07-16 23:49


2019-07-16 23:09 - mawi in Beitrag No. 1296 schreibt:
Ein Wunsch noch für die tollen Zeichnungen: geht eine generelle Kennzeichnung der Punkte in tikzpicture durch

\foreach \P in {A,B,C,Ma,Mb,Mc,S} \draw[fill=black!1] (\P) circle (1.5pt);

Inwiefern?

Die Bezeichnung $A,B,C,M_a\dots$  werden üblicherweise durch label in
\coordinate[label=<pos>:$<Anzeige>$] (<name>) at (<x>,<y>);
Mit <pos> = above (default), below, left, right, ...
oder "34.5" = "Winkel".


\coordinate[label=-87:$A$] (A) at (0,0);
\coordinate[label=below:$B_1$] (B1) at (6,0);
\coordinate[label=$M_a$] (Ma) at (1.48,3.3);
% ...
festgelegt.

Wenn das in der Schleife, die die Kreise mit Radius 1.5pt, zeichnet geschehen soll, sind im allgemeinen zwei weitere Platzhalter nötig:
latex
\foreach \Name/\Anker/\Anzeige in {A/north/A, B1/33.5/B_1, Ma/{south west}/M_a} 
\draw[fill=black!1] (\Name) circle (1.75pt) node[anchor=\Anker]{$\Anzeige$};



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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1298, eingetragen 2019-07-16 23:53





Die Fläche des Vierecks $ABCD$ ist gleich der Fläche des Dreiecks $AED$ minus die Fläche des Dreiecks $BEC$:
$$F=\tfrac12(f+a)(g+c)\sin\alpha-\tfrac12fg\sin\alpha$$$$F=\tfrac12ag\sin\alpha+\tfrac12cf\sin\alpha+\tfrac12ac\sin\alpha\qquad(1)$$Aufgrund der Innenwinkelsumme des Dreiecks $BEC$ gilt:
$$\alpha=\pi-(\pi-\beta)-(\pi-\gamma)=\beta+\gamma-\pi$$$$\sin\alpha=\sin(\beta+\gamma-\pi)=-\sin(\beta+\gamma)\qquad(2)$$Außerdem ist, wenn man die gestrichelten Linien betrachtet, die senkrecht auf die Strecken $AE$ bzw. $DE$ stehen:
$$g\sin\alpha=b\sin(\pi-\beta)=b\sin\beta\qquad(3)$$und
$$f\sin\alpha=b\sin\gamma\qquad(4)$$Wir setzen nun die Gleichungen (2) bis (4) in (1) ein, und erhalten direkt:
$$F=\tfrac12ab\sin\beta+\tfrac12bc\sin\gamma-\tfrac12ac\sin(\beta+\gamma)$$q.e.d.

Ciao,

Thomas



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1299, eingetragen 2019-07-17 00:43


Und zur Abwechslung wieder mal eine sommerlich leichte Kost - zumindest, wenn die Aufgabe wirklich so gemeint ist, wie ich sie nachfolgend sehe.  wink

Aufgabe 2 - 321232
Man beweise: Zu jeder Primzahl $p$ gibt es eine reelle Zahl $c$, mit der Zahlenfolge $(a_k)_{k=1,2,3,...}$, die durch
\[a_1 = c, \quad a_{k+1} = a_k^2 +c\quad  (k =1,2,3,...)\] definiert wird, periodisch ist und die Zahl $p$ als kleinste Periodenlänge hat.

Hinweis: Eine Zahlenfolge $(a_k)_{k=1,2,3,...}$ heißt genau dann periodisch, wenn es eine positive ganze Zahl $n$ gibt, mit der für alle $k =1,2,3,...$ die Gleichung $a_k = a_{k+n}$ gilt. Ist das der Fall, so heißt jede positive ganze Zahl $n$, mit der das zutrifft, eine Periodenlänge der Zahlenfolge $(a_k)_{k=1,2,3,...}$.


Wir ergänzen zunächst die Folge durch das Folgenglied $a_0=0$, da dies mit obiger Rekursionsvorschrift offensichtlich kompatibel ist und einige der folgenden Überlegungen etwas einfacher macht. Rechnet man nun für ein fest vorgebenes $c\in\mathbb R$ die ersten paar Folgenglieder $a_n$ für $n>0$ als Funktionen von $c$ einmal konkret aus, nämlich
\[a_1(c)=c\] \[a_2(c)=c^2+c\] \[a_3(c)=c^4+2c^3+c^2+c\] \[a_4(c)=c^8+4c^7+6c^6+6c^5+5c^4+2c^3+c^2+c\] \[...\] so führt dies als unmittelbare Konsequenz aus der obigen Rekursionsvorschrift dann auf eine Folge von Polynomfunktionen in $c$ vom jeweiligen Grad $2^{n-1}$, wobei der konstante Term stets fehlt. Damit eine Folge die Periodenlänge $p\in\mathbb N^*$ hat, reicht es offenbar
\[a_p(c)=0\quad (*)\] zu fordern, weil damit dann auch
\[a_p=a_0,\ a_{p+1}=a_1,\ a_{p+2}=a_2,...\] gilt. (Man beachte aber, dass (*) nur dann für eine periodische Folge $(a_n)$ mit Periodenlänge $p$ auch notwendig ist, wenn sie die Null mehrfach enthält, was aber nicht notwendigerweise der Fall sein muss!)

Soll $p$ sogar die minimale, also dann kleinstmögliche Periodenlänge sein, wie dies in der Aufgabe gefordert wird, so darf $c$ dann jedenfalls nicht auch Nullstelle der Polynomfunktionen $a_k(c)$ sein, wobei $k$ ein "echter" (also von $n$ verschiedener) Teiler von $n$ ist. Ist daher $p$ sogar eine Primzahl, wie dies hier in der Aufgabe noch vorausgesetzt wird, so müssen wir also dann nur den einzigen Fall ausschließen, dass $c$ auch Nullstelle von $a_1(c)=c$ ist, was somit auf die Bedingung $c\ne 0$ hinausläuft. Und ja, so eine reelle und von Null verschieden Nullstelle von $a_p(c)$ muss es hier immer geben, da nach Abspaltung des Linearfaktors $c$ aus $a_p(c)$ ja eine Polynomfunktion von ungeradem Grad mit konstantem Term $\ne 0$ verbleibt, für welche das bekanntermaßen sicher zutrifft, womit auch diese letzte Frage dann hier noch geklärt ist.


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1296 begonnen.]



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stpolster
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1300, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-17 07:56


2019-07-16 23:02 - MontyPythagoras in Beitrag No. 1294 schreibt:
Wie möchtest Du damit verfahren?
Deine Lösung finde ich sehr schön. Könntest du diese einfach auf den geänderten Wert mit der Wurzel anpassen?

LG Steffen



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mawi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1301, eingetragen 2019-07-17 09:07


@HyperPlot: wegen der Punkte in den Zeichnungen: ja, es geht mir explizit um die kleinen Kreise, die Punkte markieren. Ich hatte das neulich in euren tikzpicture Zeichnungen gesehen. Das entspricht etwa dem, was ich bisher mit xfig auch genutzt hatte und finde es ansprechender, in dieser Weise "Punkte" zu zeichnen, auch wenn das dann schon ein geometrischer Ort als kleiner Kreis und kein Punkt mehr ist. Da bin ich dann aber nicht spitzfindig genug sondern eher Ästhet - oder jemand, der auch genau zeigen will: Achtung, da ist was Wichtiges.



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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1302, eingetragen 2019-07-17 11:38


Hallo zusammen,
ich möchte noch einmal meine evtl. unvollständige Lösung zu 321233A (Beitrag #1258) in Erinnerung rufen. Hat sich da noch jemand Gedanken gemacht? Ich habe das ungute Bauchgefühl, dass eine solche allgemeine Lösung meistens nicht das Gesuchte darstellt und dass da noch was gehen muss.

2019-07-17 07:56 - stpolster in Beitrag No. 1300 schreibt:
Deine Lösung finde ich sehr schön. Könntest du diese einfach auf den geänderten Wert mit der Wurzel anpassen?

LG Steffen

... werde ich machen.
Bitte korrigiere auch noch zu 331243 die Aufgabenstellung (siehe meinen Beitrag #1282).

Ciao,

Thomas



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