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Differentiation » Differentialrechnung in IR » Beweis für die n-te Ableitung der Verkettung zweier Funktionen
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Universität/Hochschule J Beweis für die n-te Ableitung der Verkettung zweier Funktionen
JakaS
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-05-06


Guten Tag
 
Ich habe eine Frage zum Beweis eines Satzes zum Thema "Höhere Ableitung". Der Satz lautet:

Seien \(A,B \in \mathbb{R} \) Teilmengen, für die jeder Punkt Häufungspunkt ist. Seien \(f: A \longrightarrow B\) und \(g: B \longrightarrow \mathbb{R}\) n-mal differenzierter. Dann ist \(g \circ f\) n-mal differenzierter und \(\begin{equation*}(g \circ f) ^{(n)} (x) = \sum_{k=1} ^ n A_{n,k} (x) (g^{(k)} \circ f) (x) \end{equation*}\), wobei \(A_{n,k}\) ein Polynom in den Funktionen \(f', f'',..., f^{(n+1-k)}\) ist.

Es ist meiner Ansicht nach offensichtlich, dass man mit Induktion vorgehen kann. Bei der erste Ableitung habe ich als Lösung \((g \circ f)' (x) = ((g' \circ f) \cdot f') (x)\). Aber bei der zweiten Ableitung ist es \((g \circ f) '' (x) = ((g'' \circ f) \cdot (f')^2 + (g' \circ f) \cdot f'')(x)\) und bei der dritten Ableitung \((g \circ f) ''' (x) = ((g''' \circ f) \cdot (f')^3 + 3 \cdot (g'' \circ f) \cdot f'' f' + (g' \circ f) \cdot f^{(3)})(x)\). Langsam ich sehe den roten Faden nicht mehr. Wo liegt der Regel dieser Ableitungen und wie geht man beim Induktionsschritt vor? Kann jemand mir dabei helfen?

Besten Dank und Liebe Grüsse
JakaS



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DerEinfaeltige
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-05-06


Den Induktionsanfang hast du ja gezeigt, auch wenn deine Notation mit der Multiplikation von Funktionen zumindest für mich ungewohnt aussieht.

Ich würde im Induktionsschritt den Summanden $A_{n,k}(x)(g^{(k)}\circ f)(x)$ betrachten und zeigen, dass dieser beim Ableiten erneut in einen oder mehrere Summanden gleicher Form zerfällt.


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JakaS
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-06


2019-05-06 11:52 - DerEinfaeltige in Beitrag No. 1 schreibt:
Den Induktionsanfang hast du ja gezeigt, auch wenn deine Notation mit der Multiplikation von Funktionen zumindest für mich ungewohnt aussieht.

Ich würde im Induktionsschritt den Summanden $A_{n,k}(x)(g^{(k)}\circ f)(x)$ betrachten und zeigen, dass dieser beim Ableiten erneut in einen oder mehrere Summanden gleicher Form zerfällt.

Hi! Besten Dank für die Antwort. Ich habe es mal durchgelesen, jedoch ist es mir unklar, wie die Funktion in den Summanden gleicher Form zerfällt.



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DerEinfaeltige
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-05-06


Deine erste Ableitung lautet doch (etwas anders notiert) $f'(x) \cdot (g' \circ f)(x)$. Das hat offenbar die gewünschte Form "Polynom einer Ableitung von $f$ mal Verkettung einer Ableitung von $g$ mit $f$".

Gleiches kann man im Induktionsschritt mit dem allgemeinen Term machen.

Stupides Anwenden von Produkt- und Kettenregel sollte IMHO ausreichen.
Zeige zunächst vielleicht als "Hilfssatz", dass die Ableitung eines Polynoms von Ableitungen ($A_{n,k}(x)$) wiederum ein Polynom von Ableitungen ergibt.


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JakaS
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-06


2019-05-06 12:26 - DerEinfaeltige in Beitrag No. 3 schreibt:
Deine erste Ableitung lautet doch (etwas anders notiert) $f'(x) \cdot (g' \circ f)(x)$. Das hat offenbar die gewünschte Form "Polynom einer Ableitung von $f$ mal Verkettung einer Ableitung von $g$ mit $f$".

Gleiches kann man im Induktionsschritt mit dem allgemeinen Term machen.

Stupides Anwenden von Produkt- und Kettenregel sollte IMHO ausreichen.
Zeige zunächst vielleicht als "Hilfssatz", dass die Ableitung eines Polynoms von Ableitungen ($A_{n,k}(x)$) wiederum ein Polynom von Ableitungen ergibt.
Stimmt! Besten Dank für die Hilfe! Ich bin auf die Lösung gekommen.

Gruss



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