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Differentiation » Differentialrechnung in IR » Kontraktion und Mittelwertsatz
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Universität/Hochschule J Kontraktion und Mittelwertsatz
HDMIii
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 21.03.2017
Mitteilungen: 143
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-05-09


Hallo,

unser Prof ist heute bei dem Thema Kontraktion kurz auf den Mittelwertsatz eingegangen.

Leider habe ich den Zusammenhang nicht ganz verstanden.

Die Kontraktion sagt doch, dass der Abstand zweier Funktionswerte kleiner gleich dem Abstand der Bildwerte ist.

Der Mittelwertsatz gibt doch an, dass zwischen 2 Bildwerten mindestens eine Tangente existiert die die gleiche Steigung hat als die Sekante durch die 2 Funktionswerte an den Bildwerten.

Wie soll das nun zusammen hängen?.



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-05-09


Zunächst haben diese nichts miteinander zu tun. Habt ihr zufällig über das Newton-Verfahren gesprochen?



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Vercassivelaunos
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 631
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-05-10

\(\begingroup\)\( \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align}#1\end{align}}\)
Hallo HDMIii,

die beiden haben insofern etwas miteinander zu tun, dass eine stetig differenzierbare Kontraktion $\varphi:(a,b)\to(a,b)$ dank des Mittelwertsatzes eine beschränkte Ableitung hat. Nämlich ist $\vert\varphi'(x)\vert\leq1$ für alle $x\in(a,b)$.
Wäre das nämlich nicht so, also gäbe es einen Punkt $\xi\in(a,b)$ mit $\vert\varphi'(\xi)\vert>1$, dann findet sich wegen der Stetigkeit von $\varphi'$ eine $\varepsilon$-Umgebung $(\xi-\varepsilon,\xi+\varepsilon)$ von $\xi$, in der $\vert\varphi'(x)\vert>1$. Dann müsste laut Mittelwertsatz $\frac{\vert \varphi(\xi+\varepsilon)-\varphi(\xi-\varepsilon)\vert}{\vert \xi+\varepsilon-(\xi-\varepsilon)\vert}>1$ sein. Dann wäre aber $\varphi$ keine Kontraktion.
\(\endgroup\)


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HDMIii
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 21.03.2017
Mitteilungen: 143
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-10


Hi, danke für die Antworten.

Ja, die Antwort von Verca geht glaube och in die richtige Richtung.
Ziel war es die Lipschitz-Konstanten zu bestimmen und diese scheint ja (wenn man die beiden Formeln miteinander vergleicht) etwas mit der Ableitung der Funktion zu tun zu haben.



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Kezer
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 385
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-05-10


Hallo,

die Idee ist eben, dass bei Kontraktionen (oder allgemein Lipschitz Stetigkeit) die Steigung nicht zu groß wird, d.h. Sekantensteigung wird nicht zu groß.
Doch Sekantensteigungen haben was mit Tangentensteigungen zu tun (das sind ja schließlich die lokalen Steigungen in jedem Punkt) und ein solcher Zusammenhang wird durch den Mittelwertsatz beschrieben.

(Vercassivelaunos formalisiert diese Intuition.)


-----------------
The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei



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HDMIii
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-15


Hi, ich habe die dazu passende Stelle im Skript gefunden.

Die ersten 3 Ausdrücke "...=...<=..." sind mir klar. Nur weiß ich nicht, warum das max(...)= L ist und warum daraus folgen soll, dass L<1




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Vercassivelaunos
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 631
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-05-15

\(\begingroup\)\( \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}}\)
Hallo HDMIii,

das ist hier keine Folgerung, sondern eine Voraussetzung. Die Voraussetzung ist, dass der Betrag der Ableitung kleiner als 1 ist. Der größte Betrag wird dann $L$ benannt, und es wird bewiesen, dass $\Phi$ mit diesem $L$ den Bedingungen einer Kontraktion genügt.
\(\endgroup\)


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HDMIii
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-15


Achso,
im Beweis habe ich gezeigt, dass

|p(x)-p(y)|<=L*|x-y| ist.

D.h. für alle L<1 muss |x-y| größer sein als |p(x)-p(y)| damit die bewiesene Gleichung erfüllt ist.
Das bedeutet nicht anderes, dass für L<1 p kontraktiv ist.

Richtig?



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Vercassivelaunos
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 631
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-05-15

\(\begingroup\)\( \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}}\)
Richtig. Und $L<1$ gilt ja laut Voraussetzung.
\(\endgroup\)


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HDMIii
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-15


Alles klar

Danke!!! :)



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HDMIii hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
HDMIii hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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