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Differentiation » Differentialrechnung in IR » Maximum einer Funktion
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Universität/Hochschule Maximum einer Funktion
Scheystein
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-05-12


Hallo,
gegeben sei $f: [0,1] \rightarrow \begin{cases}\frac{\sin(x)}{x}&\text{falls } x \in (0,1]\\1 &\text{falls } x = 0\end{cases}$. Die zweite Ableitung ist

\[f^{(2)} (x) = -\frac{\left(x^2-2\right) \sin (x)+2 x \cos (x)}{x^3}, \qquad x \in (0,1]\]
und ich möchte das Maximum davon bestimmen. Durch einen einfachen Plot weiß ich, dass das Maximum bei $x=1$ angenommen wird. Wie kann ich dies analytisch begründen? Ich habe schon versucht über die Nullstellen der dritten Ableitung

\[f^{(3)}(x) = \frac{3 \left(x^2-2\right) \sin (x)-x \left(x^2-6\right) \cos (x)}{x^4}, \qquad x \in (0,1]\]
zu argumentieren. Eine Idee wäre es zu zeigen, dass $f^{(3)}$ nur die Nullstelle bei $x = 0$ im Intervall $[0,1]$ besitzt. Dann weiß ich, dass nur $x = 0$ und $x = 1$ als Maximalstellen in Frage kommen, da die Funktion monoton ist. Berechne dann $f^{(2)} (1/42)$ und $f^{(2)} (1)$ und wir werden $f^{(2)}(0) < f^{(2)} (1/42) < f^{(2)} (1)$ sehen.

Hat jemand eine (bessere) Idee?

Gruß Scheystein


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Scheystein
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-12


Die Bezeichnung bzw. die Formulierung ist wohl ein wenig irreführend. Ich suche das Maximum der zweiten Ableitung und nicht von $f$ selbst.

zweite Ableitung:




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"Was hast du hier zu suchen ?"



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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-05-12


Hallo Scheystein,
für das Maximum auf dem Intervall (0,1] reicht monoton auf (0,1] aus. Dann können Minimum und Maximum nur in den Intervallgrenzen angenommen werden.

Viele Grüße,
  Stefan

EDIT: Oder hast du monoton auch erst aus der dritten Ableitung geschlussfolgert? Dann weiß ich keinen besseren Weg.
 



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