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Differentiation » Differentialrechnung in IR » Satz von Rolle
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Universität/Hochschule J Satz von Rolle
student99
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-05-23


Hallo zusammen,

ich verstehe gerade die Lösung folgender Aufgabe nicht so ganz:

fed-Code einblenden

In der Lösung wird folgendermaßen argumentiert:
" fed-Code einblenden
Die dritte Ableitung hat keine reellen Nullstellen. Nach dem Satz von Rolle hat f höchstens drei reelle Nullstellen."

In kenne den Satz von Rolle so:
fed-Code einblenden

Wieso folgt daraus, dass eine Fkt., deren 3. Ableitung keine Nullstellen hat, selbst max. 3 Nulsltellen hat?

Ich würde mich freuen, wenn mir das einer erklären könnte!

Viele Grüße,
student99



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-05-23

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\)
Hallo,

ich schieße mal eine Vermutung aus der Hüfte. ;-)

Offensichtlich hat die gegebene Funktion wegen \(f(0)=0\) und dem Summanden mit dem Sinus mindestens 3 Nullstellen.

Hat jetzt die dritte Ableitung hier keine Nullstelle, dann hat die zweite Ableitung höchstens eine, die erste höchstens zwei und die Funktion f damit maximal drei Nullstellen. Also hat sie genau drei Nullstellen.

Noch stringenter wird die Überlegung, wenn man sich klarmacht, dass eine Nullstelle mit VZW in einer Ableitung immer ein Extremum in der zugehörigen Grundfunktion nach sich zieht.

Das kann man jetzt sicher noch professioneller ausformulieren, ich vermute aber schon, den Grundgedanken der Argumentation getroffen zu haben.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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student99
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-23


Hi Diophant,

"Hat jetzt die dritte Ableitung hier keine Nullstelle, dann hat die zweite Ableitung höchstens eine, die erste höchstens zwei und die Funktion f damit maximal drei Nullstellen."

Das verstehe ich noch nicht ganz. Wenn es nur um ganzrationale Fkt. gehen würde, wäre mir es klar. Aber hier haben wir ja noch den sin, bzw. cos !?

Und v.a.: was hat das mit dem Satz von Rolle zu tun?

Viele Grüße,
student99



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-05-23


Hallo,

nehmen wir gerade die dritte Ableitung, sie ist ja positiv. Also steigt die zweite Ableitung streng monoton und kann somit kein Extremum und damit maximal eine Nullstelle besitzen.

2019-05-23 18:34 - student99 in Beitrag No. 2 schreibt:
Und v.a.: was hat das mit dem Satz von Rolle zu tun?

Na ja, ich denke schon, dass man von der Überlegung ausgeht, dass f(x) mindestens drei Nullstellen besitzen muss. Zwischen je zwei benachbarten Nullstellen muss die (erste) Ableitung dann nach dem Satz von Rolle eine Nullstelle haben. Also betrachtet man diese Ableitung, wiederum deren Ableitung, usw., bis man eben bei der dritten Ableitung angelangt überhaupt keine Nullstelle mehr hat. Und dann kommt so eine Art gedankliches 'Reverse Engineering' zur Anwendung (wie oben angedeutet). ;-)


Gruß, Diophant



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student99
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-23


Vielen Dank!
Ich glaube, jetzt hab ichs verstanden!



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-05-23

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Ich würde argumentieren:

1. \(f(0)=0\)

2. \(f'(0)<0\), daher ist \(f(x)\) nahe Null negativ für \(x>0\) und positiv für \(x<0\)

3. \(\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\pm \infty\), und weil \(f\) stetig ist, muss es noch zwei weitere Nullstellen geben.

Also gibt es mindestens drei Nullstellen.

Dass es nicht mehr gibt, hast du ja schon herausgefunden.

Wally
\(\endgroup\)


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student99
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-23


Hi Wally,

danke auch für deine Erklärungen, das leuchtet mir ein!

Ich habt mir echt weitergeholfen!




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