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Funktionentheorie » Integration » Cauchy-Integral von 1/z
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Universität/Hochschule Cauchy-Integral von 1/z
Kekks
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-05-26


Hallo,

ich soll das Cauchy-Integral
fed-Code einblenden
bezüglich eines geschlossenen Weges fed-Code einblenden mit fed-Code einblenden für
fed-Code einblenden
berechnen.

Eingesetzt ist das
fed-Code einblenden
Aber ohne die genaue Kurve zu kennen, weiß ich nicht, wie ich weiter kommen soll.



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InOMatrix
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Aus: Berlin, Deutschland
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-05-26


Hallo Kekks,

sind in der Aufgabenstellung noch weitere Angaben, woraus \(z\) sei (vermutlich \(z\in\mathbb{C}\setminus\{0\}\))?

Dann kannst Du überlegen, ob Du den Wert des Integrals für einen Spezialfall kennst (wenn zum Beispiel \(\gamma\) einen bestimmten Weg durchläuft).

Dann können wir überlegen, was geschieht, wenn wir \(\gamma\) allgemein wählen. Vielleicht lässt sich dieser ja auf den Fall zurückführen (Umparametrisierung von Wegen, für homotope Wege gelten noch ein paar Integralregeln, …).

Hast Du dahingehend schonmal versucht an Resultate zu gelangen, oder hattet ihr ein paar hilfreiche Sätze in der Vorlesung gehabt? Oft kann man von solchen Aussagen etwas anwenden.

LG InOMatrix



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Kekks
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Mitteilungen: 26
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-27


Hallo InOMatrix,

in der Aufgabenstellung ist nicht angegeben, aus was z ist. Aber ich habe vermutet, dass \(z\in\mathbb{C}\setminus\{0\}\) sein soll.

In der Vorlesung haben wir gezeigt, dass f(w) keine holomorphe Stammfunktion auf \(\mathbb{C}\setminus\{0\}\) hat, weil
fed-Code einblenden

Ich weiss auch, dass
(1) f hat eine holomorphe Stammfunktion
(2) Für jede geschlossene Kurve gilt

fed-Code einblenden
äquivalent sind.

Desweiteren habe ich in einer vorherigen Übungsaufgabe gezeigt, dass für f(z) stetig gilt:

fed-Code einblenden

Meine erste Idee wäre zu zeigen, dass
fed-Code einblenden
eine holomorphe Stammfunktion auf \(B_r(0)^c \) hat. Dann kann ich für gegebenen Weg \(\gamma\) einen anderen Weg \(\gamma_\eta \) definieren, der von einem Punkt a und a+\(\eta\) zu \(B_r(0) \) geht. Dann wäre für \(\eta \rightarrow 0 \)

fed-Code einblenden

Wobei das ganz linke Integral 0 ist und das ganz rechte Integral kann ich berechnen. Allerdings weis icht nicht, wie ich zu g(z) eine holomorphe Stammfunktion finden soll (im reellen Fall würde ich log(x) benötigen, aber den kenne ich für komplexe Zahlen nicht).






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