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Universität/Hochschule Ableitung
MatheAthlet
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-07-07


Hallo,

ich habe für die k-te Ableitung von f(x)= sqrt (x)

folgende allgemeine Formel gefunden

fk(x)=(−1)^(k+1) / 2k  ⋅. ∏ (von j=1 bis k−1)(2j−1) ⋅ 1 / sqrt(x^(2k-1))

Diese würde ich jetzt gerne mit vollständiger induktion beweisen, also
k→k+1

Dafür würde ich gerne die k+1 te Ableitung berechnen, also

f^(k+1)(x)=(fk (x))‘

Und anschließend die Taylor Reihe dazu angeben.

Bei dieser Ableitung komme ich jetzt aber nicht mehr weiter.
Vielleicht könnte mir jemand von euch dabei weiter helfen?



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Diophant
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Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-07-07

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

das ist völlig unleserlich notiert. Weiter hat dein Produkt für den Vorfaktor einen entscheidenden Haken: du startest ja beim Faktor \(2j-1\), also mit \(+1\). Dann käme aber schon bei der zweiten Ableitung eine \(3\) ins Spiel, was falsch ist. Ich würde das so darstellen:

\[f^{(k)}(x)=(-1)^k\cdot\frac{1}{2^k}\cdot\prod_{j=1}^k(2j-3)\cdot x^{-(2k-1)/2}\quad,\quad k\ge 1\]
Und damit versuchst du es jetzt noch einmal, würde ich vorschlagen.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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MatheAthlet
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-07


Danke schon mal.

Ich weiß, dass ich das Produkt zu (2k)! / (2^k * k!) hätte umschreiben können, aber ob das jetzt mit dem -3 noch geht bin ich mir nicht so sicher



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-07-07


Hallo,

du hast das Problem daran noch nicht verstanden. In deiner Version bekommst du den Faktor 3 in die zweite Ableitung, er gehört aber in die dritte...

Und könntest du eines der hier angebotenen Werkzeuge zum Formelsatz verwenden? Es muss ja nicht Latex sein, es gibt hier auch einen Formel-Editor mit interaktiver Eingabemaske...


Gruß, Diophant



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-07-07

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
2019-07-07 11:29 - Diophant in Beitrag No. 1 schreibt:
\[f^{(k)}(x)=(-1)^k\cdot\frac{1}{2^k}\cdot\prod_{j=1}^k(2j-3)\cdot x^{-(2\color{red}j-1)/2}\quad,\quad k\ge 1\]

Es kann doch ganz sicher nicht der Exponent von $x$ vom Laufindex $j$ abhängen.

(Die Formel im Startbeitrag war an dieser Stelle noch in Ordnung.)
\(\endgroup\)


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MatheAthlet
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Dabei seit: 19.06.2019
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-07


Oh, sorry. Da ist mir wirklich gerade nicht klar, wie ich das Problem lösen kann.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]



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Diophant
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Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-07-07

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
@zippy:
danke fürs Aufpassen, da hast du natürlich recht (ich habe mich vertippt). Ich bessere es sofort nach!

@MatheAthlet:
Wozu benötigst du diese Darstellung denn überhaupt? Das geht doch auch so, die Darstellung per Fakultäten würde hier m.M.n. die Sache eher noch komplizierter machen.

EDIT: du könntest in deiner Version den Index mit \(j=0\) beginnen lassen, das liefert dann die richtigen Faktoren. Dann hast du aber ein Vorzeichenproblem: deshalb habe ich \((-1)^k\) geschrieben und nicht \((-1)^{k+1}\).


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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MatheAthlet
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-07


Ich würde gerne die Formel für die Quadratwurzel durch vollständige induktion beweisen.
Dafür habe ich die Formel für die k-te Ableitung gegeben und würde daraus dann gerne die Formel für die k+1 te Ableitung angeben.
Danach möchte ich dann noch die Taylorreihe angeben und dann den Entwicklungspunkt x_0 = 1 einsetzen.

Habe es bei einer ähnlichen Aufgabe auch mal auf diesem Weg gemacht, komme aber bei der Aufgabe hier nicht so weiter damit.



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-07-07

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo MatheAthlet,

2019-07-07 12:21 - MatheAthlet in Beitrag No. 7 schreibt:
Ich würde gerne die Formel für die Quadratwurzel durch vollständige induktion beweisen.
Dafür habe ich die Formel für die k-te Ableitung gegeben und würde daraus dann gerne die Formel für die k+1 te Ableitung angeben.
Danach möchte ich dann noch die Taylorreihe angeben und dann den Entwicklungspunkt x_0 = 1 einsetzen.

Habe es bei einer ähnlichen Aufgabe auch mal auf diesem Weg gemacht, komme aber bei der Aufgabe hier nicht so weiter damit.

Ich denke, das haben wir jetzt alle verstanden. Das Problem war zunächst, dass deine k. Ableitung im Themenstart falsch ist. Die können wir jetzt entweder  korrigieren zu

\[f^{(k)}(x)=(-1)^k\cdot\frac{1}{2^k}\cdot\prod_{j=0}^{k-1}(2j-1)\cdot x^{-(2k-1)/2}\quad,\quad k\ge 1\]
Das wäre deine Version. Oder eben

\[f^{(k)}(x)=(-1)^k\cdot\frac{1}{2^k}\cdot\prod_{j=1}^k(2j-3)\cdot x^{-(2k-1)/2}\quad,\quad k\ge 1\]
Das wäre meine Version, die sich nur durch eine Indexverschiebung von deiner unterscheidet.

Jetzt könntest du dich für eine dieser Versionen entscheiden und selbst versuchen, die k. Ableitung erneut abzuleiten. Dabei sollte dann ja das gleiche herauskommen wie beim Ersetzen von \(k\) durch \(k+1\) in der obigen Ableitung.

Wenn dir das nicht gelingt, also es zu versuchen, dann solltest du dein Problem damit schon noch näher beschreiben.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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MatheAthlet
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-07


Ich habe jetzt mal versucht die zweite Version abzuleiten

fed-Code einblenden

Bin mir mit dem Produkt nur nicht so sicher



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2019-07-07

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

2019-07-07 12:42 - MatheAthlet in Beitrag No. 9 schreibt:
Ich habe jetzt mal versucht die zweite Version abzuleiten

Ich befürchte, schon hier liegt ein Irrtum vor...

2019-07-07 12:42 - MatheAthlet in Beitrag No. 9 schreibt:
fed-Code einblenden
Bin mir mit dem Produkt nur nicht so sicher

Bist du sicher, dass du (nach \(x\)) abgeleitet hast? Und nicht etwa versucht hast, einfach \(k+1\) anstelle von \(k\)  einzusetzen (was im Sinne der vollständigen Induktion ein schwerer Fehler wäre...)?

Du musst den Term nach \(x\) ableiten. Und da konzentrierst du dich zunächsteinmal auf die Wurzel, also auf \(x^{-(2k-1)/2}\). Was ergibt das, nach \(x\) abgeleitet?

Alles andere ist nämlich als konstanter Faktor zu betrachten und bleibt ersteinmal unverändert.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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MatheAthlet
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-07


Dann war das eines meiner Probleme.


fed-Code einblenden

Das kann ich ja auch wieder so schreiben

fed-Code einblenden

Das abgeleitet wäre dann

fed-Code einblenden



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2019-07-07

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

das ist jetzt richtig (wenn ich nichts übersehe). Aber man kann und sollte das jetzt noch umformen/vereinfachen.

Und dann bringst du das mal mit dem Vorfaktor von \(f^{(k)}\) zusammen und versuchst, diesen in die gewünschte Form zu bringen. Dabei kannst du \(2k-1=2k-3+2=2(k+1)-3\) verwenden.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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MatheAthlet
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-07


Das würde doch dann so aussehen

fed-Code einblenden

oder kann man das noch weiter vereinfachen?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2019-07-07

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

2019-07-07 13:50 - MatheAthlet in Beitrag No. 13 schreibt:
Das würde doch dann so aussehen

fed-Code einblenden

oder kann man das noch weiter vereinfachen?

man kann nicht, man muss! Du hast da auch Klammerfehler drin, so würde es vernünftig aussehen:

fed-Code einblenden

Und das jetzt auf die gewünschte Form bringen, indem du

- ein geeignetes Minuszeichen herausziehst, um den Faktor \((-1)^{k+1}\) zu bekommen
- die Zweierpotenzen zusammenfasst
- dein Produkt geeignet zusammenfasst
- den Exponenten geeignet umformst.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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MatheAthlet
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-07


Vielen Dank. Dann versuche ich mal die Umformungen



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2019-07-07


Für die Lösung der Aufgabe ist diese Information nicht erforderlich, aber es kann vielleicht nicht schaden, wenn man weiß, dass der Faktor vor der Potenz von $x$ mit dem Binomialkoeffizienten $$
{\frac12\choose k}=
{\left(\frac{1}{2}\right)
\left(-\frac{1}{2}\right)
\left(-\frac{3}{2}\right)
\cdots
\left(-\frac{2k-3}{2}\right)
\over k!}$$zusammenhängt.



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MatheAthlet
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-07


Bin jetzt mal so weit gekommen

fed-Code einblenden

Bei den Pünktchen bin ich mir nicht so sicher, wie ich das Produkt umformen soll



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2019-07-07

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

die \(1/2\) an dem neuen Faktor schlägst du jetzt noch den \(\frac{1}{2^k}\) zu, und dann gilt es noch, das Produkt

\[\prod_{j=1}^k(2j-3)\cdot(2(k+1)-3)\]
vollends geschlossen darzustellen.

Eine andere Alternative hat ja zippy in Beitrag #16 noch erwähnt: dann müsstest du aber von Anfang an bei der Darstellung von \(f^{(k)}\) mit diesem Binomialkoeffizienten arbeiten. Wenn dir das klar ist: das wäre hier gleichzeitig die eleganteste und die vom Rechen- bzw. Schreibaufwand her einfachste Möglichkeit, gerade auch für den Induktionsschluss.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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MatheAthlet
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-07


Ok, Danke nochmal.

Auf das mit dem Binomialkoeffizienten komme ich nicht so ganz.
Meinst du, die 1/2 im Exponenten von x in das 1/2^k rein ziehen?

Das mit dem Produkt macht mir ein bisschen Schwierigkeiten



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, eingetragen 2019-07-07


2019-07-07 21:46 - MatheAthlet in Beitrag No. 19 schreibt:
Auf das mit dem Binomialkoeffizienten komme ich nicht so ganz.

Wegen $\left(x^\alpha\right)'=\alpha\,x^{\alpha-1}$ ist allgemein$$
\left(x^\alpha\right)^{(k)}=
\alpha\,(\alpha-1)\,(\alpha-2)\cdots(\alpha-k+1)\,x^{\alpha-k}=
k!\,{\alpha\choose k}\,x^{\alpha-k}\;.$$Und für $\alpha=1/2$ erhält man daraus ein Ergebnis in der Form, wie du es aufschreiben willst:$$
k!\,{\frac12\choose k}= {\textstyle \frac12\left(\frac12-1\right)
\left(\frac12-2\right)\cdots\left(\frac12-k+1\right)}=
\frac12\cdot\frac{-1}2\cdot\frac{-3}2\cdots\frac{3-2k}2=
\frac1{2^k}\,\prod_{j=1}^k(3-2j)$$Also$$
f^{(k)}(x)=\frac1{2^k}\,\prod_{j=1}^k(3-2j)\;x^{\frac12-k}\;.$$



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.21, eingetragen 2019-07-08

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
2019-07-07 21:46 - MatheAthlet in Beitrag No. 19 schreibt:
Das mit dem Produkt macht mir ein bisschen Schwierigkeiten

So, zippy hat dir ihre Methode ja jetzt nochmal sehr anschaulich gezeigt. Ob du sie verwendest hängt natürlich auch u.a. noch davon ab, ob Binomialkoeffizienten für beliebige \(n\) bei euch schon eingeführt wurden.

Wie schon weiter oben geschrieben, ich würde dir auch zu dieser Schreibweise raten.

Für den Fall, dass du den eingeschlagenen Weg weitergehen möchtest ist

\[\frac{1}{2^k}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2^{k+1}}\]
Und wenn du das mit dem Produkt wirklich nicht siehst, dann multipliziere \(\prod_{j=1}^k (2j-3)\) einmal aus, schriftlich. Und dann hängst du hinten den Faktor \((2(k+1)-3)\) dran und betrachtest dein Werk nochmals gründlich. Dann sollte eigentlich der Groschen fallen...

EDIT: in zippy's obigem Beitrag ist noch ein weiterer wertvoller Hinweis enthalten. Wenn du in dem Produkt die Vorzeichen der Faktoren umkehrst, also \((3-2j)\) anstelle von \((2j-3)\) verwendest, dann entfällt der lästige Faktor \((-1)^k\), der den Vorzeichenwechsel erzeugt. Denn in zippy's Variante kommt ja jeweils bei jeder neuen Ableitung ein negativer Faktor hinzu, so dass dieser VZW schon im Proukt 'eingepreist' ist.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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MatheAthlet
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.22, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-08


Vielen Dank an euch beide.
Das mit dem Binomialkoeffizienten verstehe ich jetzt, jedoch haben wir es in dieser Vorlesung so noch nicht benutzt. Würde deshalb die andere Schreibweise nehmen.
Wenn ich das Produkt ausmultipliziere erhalte ich

(-1) * 0 * 1 * 2 * ... und dann noch den Faktor (2(k+1)-3)

Durch die 0 wird doch das komplette Produkt gleich 0



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.23, eingetragen 2019-07-08

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

falsch. Das ursprüngliche Produkt sieht so aus:

\[\prod_{j=1}^k(2j-3)=-1\cdot 1\cdot 3\cdot\dotsc\cdot(2k-3)\]
Und jetzt den neuen Faktor dazumultiplizieren und das ganze wieder per Produktzeichen darstellen...


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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HyperPlot
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Aus: Kneedeep in the Dead
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.24, eingetragen 2019-07-08


Besonders elegant kann man die $k$-te Ableitung der Potenzfunktion mit dem Binomialkoeffizienten darstellen:
$\left( x^n \right)^{(k)} = k!\dbinom{n}{k} x^{n-k}$.

Wenn bekannt ist, dass die Potenzregel auch für rationale Exponenten gilt, dann wird mit entsprechender Verallgemeinerung des Binomialkoeffizienten
$\left( \sqrt{x} \right)^{(k)}
= k!\dbinom{\frac12}{k} x^{\frac12 -k}
= \dfrac{k!\dbinom{\frac12}{k}}{\sqrt{x^{2k-1}}}
$.



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MatheAthlet
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.25, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-10


Habe es jetzt glaube ich hinbekommen.

Danke nochmal



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