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Physik » Mathematische Physik » Kurze Fragen zum statistischen Operator
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Universität/Hochschule J Kurze Fragen zum statistischen Operator
Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-07-16


Hallo alle zusammen,

ich habe eine Frage zu dem, was auf Wikipedia steht:

hier

(Abschnitt: ,,Dichteoperator für einen reinen quantenmechanischen Zustand")

Also auf Wikipedia steht, dass $\hat \rho$ ein Projektionsoperator ist, der $|\phi\rangle \in H$ auf ein-dimensionalen Unterraum projiziert.
Aber woher wissen wir, dass $\{|\Psi\rangle\}$ einen Unterraum $U$ bildet, also dass auch $\alpha \cdot | \Psi \rangle \in U$? Also auf Wikipedia werden als triviale Unterräume nur der Vektorraum $V$ selbst und die Menge bezeichnet, die $\{0\}$ enthält.


Beste Grüße,
Neymar



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PhysikRabe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-07-16


2019-07-16 17:10 - Neymar im Themenstart schreibt:
Also auf Wikipedia steht, dass $\hat \rho$ ein Projektionsoperator ist, der $|\phi\rangle \in H$ auf ein-dimensionalen Unterraum projiziert.
Aber woher wissen wir, dass $\{|\Psi\rangle\}$ einen Unterraum $U$ bildet[...]

Das tut er auch nicht. Wie im Artikel geschrieben projiziert $\hat\rho = |\psi\rangle\langle\psi|$ auf den durch $|\psi\rangle$ bestimmten (d.h. erzeugten) 1-dimensionalen Unterraum, das ist die lineare Hülle ("span") von $|\psi\rangle$. Und das stimmt auch, denn $\hat\rho(\varphi)=\langle\psi|\varphi\rangle\,|\psi\rangle$ liegt offensichtlich in diesem Unterraum (für alle $|\varphi\rangle$).

Grüße,
PhysikRabe


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Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-16


Und woher wissen, dass $0$ Element des Unterraumes ist, der projiziert wird?


Gruß,
Neymar



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PhysikRabe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-07-17


Die lineare Hülle ist immer ein Unter(vektor)raum. Bitte lies die Definition nach: klick hier

Und natürlich kann $\hat\rho$ auf den Nullvektor $|0\rangle$ projizieren, denn offensichtlich ist $\hat\rho(|0\rangle)=|0\rangle$.

Grüße,
PhysikRabe


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Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-17


Okay, ich danke dir soweit. Ich verstehe dann aber noch nicht, warum der Operator positiv ist:





Vor allem weiß ich irgendwie nicht, wie ich das $(Tx, x)$ auswerten soll, denn: \[(\hat \rho(\Psi), \Psi)) = (| \Psi \rangle)?\]

Gruß,
Neymar



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Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-17


Okay, ich denke, ich habe es jetzt: Im Folgenden schreibe ich statt $\hat \rho$ lieber $\hat \rho_{\psi}$. Also (sei $\phi \in H$): \[ \langle \phi | \hat \rho | \phi \rangle = \langle \phi | \hat \rho_{\psi} \phi \rangle = \langle \phi | \psi \rangle \langle \psi | \phi \rangle =
\langle \phi | \psi \rangle \langle \psi | \phi \rangle = \left| \langle \phi | \psi \rangle \right|^2 \geq 0. \]



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
PhysikRabe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-07-20


Bitte entschuldige meine verspätete Antwort - ja, das stimmt so.

Grüße,
PhysikRabe


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