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Moderiert von Wally haerter
Differentialgleichungen » Partielle DGL » Gleichheit verschiedener Darstellungen der Burgers-Gleichung
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Universität/Hochschule J Gleichheit verschiedener Darstellungen der Burgers-Gleichung
Komisch
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-07-17


Liebe Community,

ich bräuchte etwas Hilfe bei der Umformung von partiellen Differentialgleichungen oder zumindest einen brauchbaren Satz an Regeln derselbigen.

Auf Wiki (de.wikipedia.org/wiki/Burgersgleichung) wird folgendes behauptet:

$\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}=0\Leftrightarrow\frac{\partial u}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{u^2}{2}\right)=0$

Also, dass beides Äquivalente Darstellungen sind.

Jetzt weiß ich, dass $u=\frac{1}{2}\frac{u^2}{dx}$ aber wie nun weiter und ist dies überhaupt der richtige Weg?

Außerdem würde ich gerne die Gleichung numerisch diskretisieren Upwind mit explizitem Euler unter Nutzung der finiten Differenzen welche sich aus der Taylor-Reihe herleiten:

$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{u(x,t+\Delta t)-u(x,t)}{\Delta t}$

Durch Aufstellen der Taylorreihe für $f(x+\Delta x)$ und $f(x-\Delta x)$ und addieren, sowie umstellen nach $f''(x)$ erhalte ich die finiten zentralen Differenzen für die zweite Ableitung

$\frac{\partial u^2}{\partial x^2}=\frac{u(x+\Delta x,t)-2u(x,t)+u(x-\Delta x,t)}{(\Delta x)^2}$

leider weiß ich hier nicht, wie ich $u\cdot\frac{\partial u}{\partial x}$ oder $\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{u^2}{2}\right)$ via FDM darstelle. Ich würde mich hier ebenfalls über eine Erklärung/Herleitung sehr freuen. Am Besten für beide Darstellungsformen.

Vielen Dank im Voraus für die Hilfe.



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Komisch
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-18


Um einmal ein Beispiel hinzuzufügen, da ich vermute, dass irgendetwas an der Frage unverständlich sein könnte (ich aber leider nicht weiß was es ist):

Für die Diffusionsgleichung

$\frac{\partial u}{\partial t}=v\cdot\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$

würde die Diskretisierung vorwärts in der Zeit und zentral im Ort mit der finiten Elemente Methode für den expliziten Euler wie folgt aussehen:

$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{u(x,t+\Delta t)-u(x,t)}{\Delta t}$

und

$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=\frac{u(x+\Delta x, t)-2u(x,t)+u(x-\Delta x,t)}{(\Delta x)^2}$

Daraus folgt dann folgende Gleichung

$u(x,t+\Delta t)=u(x,t)+v\cdot\frac{\Delta t}{(\Delta x)^2}\left(u(x+\Delta x,t)-2u(x,t)+u(x-\Delta x,t)\right)$

Hilft dies euch, mir zu helfen?



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Wally
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Dabei seit: 02.11.2004
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Aus: Dortmund, Old Europe
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-07-18

\(\begingroup\)\( \newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo,

über Diskretisierungen weiß ich nicht Bescheid, aber

<math>\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}=0\Leftrightarrow\frac{\partial u}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{u^2}{2}\right)=0</math> ist einfach nur die Kettenregel: Die Ableitung von <math>u(x)^2</math> ist <math>2 u(x) \frac{d}{dx} u(x)</math>.

Wally
\(\endgroup\)


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Komisch
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-18


Das ist ja dann schonmal die halbe Miete :D, vielen Dank soweit. Jetzt hoffe ich, dass mir jemand noch helfen kann entsprechende Ersetzungen für obige Ausdrücke zu finden.

Im Prinzip basiert ja alles, was ich bisher gemacht habe auf der Taylorreihe - hoffe, dass dies auch für obige Beispiele gilt:

$f(x\pm\Delta x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(x)}{n!}\cdot(\pm\Delta x)^n$

Wenn ich raten würde, würde ich folgende Darstellung für

$\frac{\partial}{\partial x} \frac{u^2}{2}=\frac{\left(\frac{u(x,t)}{2}\right)^2-\left(\frac{u(x-\Delta x,t)}{2}\right)^2}{\Delta x}$

wählen. Aber für die zweite Form fehlt mir immer noch eine brauchbare Darstellung und erklären kann ich die Lösung auch nicht 100%tig.



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haerter
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Dabei seit: 07.11.2008
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Aus: Bochum
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-07-19


Hallo,

bei mir ist es sehr lange her, dass ich mich mit so etwas befasst habe, aber ich schreibe mal ein paar Dinge, an die ich mich so halbwegs erinnere.

Zunächst bedeutet Diskretisierung, dass man ein räumliches und ein zeitliches Gitter einführt zum Beispiel mit räumlicher Diskretisierungsweite <math>h</math> und zeitlicher Diskretisierungslänge <math>k</math>.

Man möchte dann die Lösung <math>u(t,x)</math> an den diskreten Punkten <math>(nk,jh)</math> approximieren durch <math>u_j^n \approx u(nk,jh)</math>.

Euler-Verfahren in der Zeit bedeutet, dass <math>\frac{\partial u}{\partial t}</math> ersetzt wird durch <math>\frac{u_j^{n+1}-u_j^n}{k}</math>.

Außerdem soll <math>\frac{\partial}{\partial x}(\frac{1}{2}u^2)</math> durch eine finite Differenz ersetzt werden. Da gibt es verschiedene Möglichkeiten.
Beim Upwind-Schema benutzt man je nachdem, ob die Charakteristiken nach links oder nach rechts zeigen (also <math>u<0</math> oder <math>u>0</math>) eine unterschiedliche Version.

Für <math>u>0</math> nimmt man <math>\frac{\partial}{\partial x}(\frac{1}{2}u^2)\approx \frac{\frac{1}{2} (u_j^n)^2 - \frac{1}{2} (u_{j-1}^n)^2}{h}</math>.

Für <math>u<0</math> nimmt man <math>\frac{\partial}{\partial x}(\frac{1}{2}u^2)\approx \frac{\frac{1}{2} (u_{j+1}^n)^2 - \frac{1}{2} (u_j^n)^2}{h}</math>.

Wenn man das in die Gleichung einsetzt, kann man <math>u_j^{n+1}</math> aus den Werten <math>u_{j-1}^n</math>, <math>u_j^n</math> und <math>u_{j+1}^n</math> berechnen.
 
Die zweite Ableitung, die Du immer ins Spiel bringst, ist hier vermutlich nicht erwünscht, das würde zusätzliche Dissipation erzeugen und die Lösungen "verschmieren".

Viele Grüße,
haerter


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"The best way to have a good idea is to have lots of ideas."
 - Linus Pauling



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Komisch
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-30 16:03


Ich habe ganz vergessen mich zu bedanken - also vielen Dank :D



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Komisch hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Komisch hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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