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Moderiert von Wally haerter
Gewöhnliche DGL » Nichtlineare DGL 2. Ordnung » Lösung gewöhnlicher Differentialgleichung
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Universität/Hochschule Lösung gewöhnlicher Differentialgleichung
Badabahm1
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 08.08.2019
Mitteilungen: 8
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-08-08


Ich habe eine gewöhnliche Diffferenzialgleichung der Form \[\frac{d^2u}{dx^2}+g(u)\] mit \(g(u)=(a-bu)u\) konkav, einer Nullstelle bei Null und eine im positiven Bereich der u-Achse. \(a,b\) nicht negative Konstanten und \(x\in(0,1)\). Randbedingung ist \(\frac{du}{dx}=0, x=0,1\).

Nun muss ich beweisen, dass die Gleichung keine  nicht-konstante nicht-negative Lösung haben kann.
Über Hilfe/ Ansätze würde ich mich unendlich freuen!



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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 1774
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-08-08


Hallo Badabahm1 und herzlich Willkommen hier auf Matroids Matheplanet!

Hm, da fehlt noch etwas wichtiges, um von einer Differentialgleichung sprechen zu können: ein Gleichheitszeichen.  smile

Könntest du mal noch die komplette DGL nachreichen, dann wird sich sicherlich eine Antwort finden.


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Differentialgleichungen' in Forum 'Nichtlineare DGL 2. Ordnung' von Diophant]



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haerter
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.11.2008
Mitteilungen: 1562
Aus: Bochum
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-08-08


Hallo Badabahm1,

willkommen hier. Ich nehme an, Du ergänzst das "=0" noch, trotzdem hier schon mal ein Stichwort, das vielleicht helfen könnte:

"Erhaltungsgröße"

Viele Grüße,
haerter


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"The best way to have a good idea is to have lots of ideas."
 - Linus Pauling



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Badabahm1
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 08.08.2019
Mitteilungen: 8
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-09


Oh natürlich, wie haerter richtig vermutet hat, habe ich ein gleich Null vergessen. Die vollständige Gleichung lautet somit:
\[0=\frac{d^2u}{dx^2}+g(u)\]
Von Erhaltungsgrößen habe ich zuvor tatsächlich noch nicht gehört, aber was mein kurzer Blick in Bücher veraten hat sind diese doch meist für Differentialgleichungen erster Ordnung definiert? Zudem bin ich nicht ganz sicher, inwiefern Erhaltungsgrößen mit Lösungen zusammenhängen? Das liegt voraussichtlich an meinem fehlenden Wissen, aber könntest du ein bisschen genauer erklären, was du meinst?

Ich kann für die gegebene Gleichung ja auch 2 Lösungen explizit bestimmen, einmal 0 und einmal \(\frac{a}{b}\), also entsprechend die Nullstellen von g(u). Ich bin mir nun aber nicht sicher, inwiefern das mir hilft weitere Aussagen über die Gleichung zu treffen.

Vielen Dank für eure Hilfe!

PS:Danke für das Verschieben des Beitrags, ich habe das Forum noch nicht zu 100% durchschaut!



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lula
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 17.12.2007
Mitteilungen: 11032
Aus: Sankt Augustin NRW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-08-09


Hallo
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Gruß lul


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Mein Leben ist zwar recht teuer,  aber dafür bekomm ich jedes Jahr umsonst eine Reise einmal um die Sonne



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Badabahm1
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 08.08.2019
Mitteilungen: 8
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-12


Ohh das ist eine gute Idee. Aber dann erhalte ich:\[u=-au^2+\frac{2bu^3}{3}"\] und das kann ja schon alleine wegen der Nullstelle bei \(\frac{a}{b}\) nicht richitg sein. Hast du vielleicht eine Idee, wo der Fehler liegen könnte?



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Caban
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 453
Aus: Brennpunkt einer Parabel
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-08-12


Hallo

Woher kommt die 3?
Das kann so nicht passen.

Gruß Caban



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Badabahm1
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 08.08.2019
Mitteilungen: 8
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-15


Es tut mir echt leid, dass ich mich so doof anstelle, aber irgendwie bin ich immer noch nicht weiter gekommen. Also einmal in ausführlich:
\[\frac{d^2u}{dx^2}+(a-bu)u=0\iff\frac{d^2u}{dx^2}\frac{du}{dx}=(-au-bu^2)\frac{du}{dx}\iff \frac{1}{2}(\frac{du}{dx})^2=(-au-bu^2)\frac{du}{dx}\iff \frac{1}{2}\frac{du}{dx}=(-au-bu^2)\]
und wenn ich das jetzt nach u integriere bekomme ich etwas Falsches raus. Wo liegt der Fehler?



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gonz
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.02.2013
Mitteilungen: 3176
Aus: Harz
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-08-15


Hallo Badabahm1,

bei der dritten Umformung hast du die linke Seite der Gleichung integriert, aber die rechte Seite unverändert gelassen?

Grüße
Gonz


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~ to fight! (Don Quijote de la Mancha)



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Badabahm1
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 08.08.2019
Mitteilungen: 8
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-15


Nein, da habe ich einfach, relativ unmathematisch, auf beiden Seiten ein \(\frac{du}{dx}\) weggenommen.
Wenn man das nicht darf: Was mich auch sehr verwirrt, ist nach welcher Variable (x oder u) ich jetzt genau integrieren muss. Vermutlich ja nach x? Aber dann habe ich :\[\frac{1}{2}\int{(\frac{du}{dx})^2dx}=\int{(-au-bu^2)*\frac{du}{dx}}dx\]



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gonz
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.02.2013
Mitteilungen: 3176
Aus: Harz
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2019-08-16


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Nun kann man sehen, bzw. das war ja der Hinweis von lula aus Post #4, dass links die Ableitung von 1/2 u'(x)^2 steht, und rechts die Ableitung von -a/2 u(x)^2 - b/3 u(x)^3, denn durch Anwendung der Kettenregel bekommt man als "innere Ableitung" auf der linken Seite das u'', auf der rechten Seite ein u'. Damit kann man die Gleichung integrieren und bekommt, schon mit zwei Multipliziert und unter Berücksichtigung einer Integratingskonstante c:

fed-Code einblenden

Das wiederum ist nun eine DGL ersten Grades, die man weiter angehen kann.

Es stimmt mit ganz grob mit deinem Ergebnis aus Post #5 überein, aber du hast die Integrationskonstante vergessen - deshalb greift dein Argument mit den Nullstellen nicht. Ein Vorzeichen ist verdreht und die linke Seite passt überhaupt nicht.

Ich hoffe, dass das, was ich hingeschrieben habe, passt, allerdings ist es dann recht mühselig, da weiter zu integrieren. Es scheint zu gehen, wenn man einen passenden Integralrechner benutzt, aber die Ergebnisse sind dann sehr unschön. Ich denke mal, es ist ein Weg gesucht, die angegebene Behauptung zu beweisen, ohne die DGL explizit zu lösen.


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~ to fight! (Don Quijote de la Mancha)



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Wally
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 8532
Aus: Dortmund, Old Europe
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2019-08-16

\(\begingroup\)\( \newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo, bist du sicher, dass die Behauptung stimmt?

Für \(b=0\) und \(a=\pi^2\) ist \(u(x)=\sin x\) eine Lösung, wenn man \(b\) sehr klein macht und dafür an \(a\) "wackelt", sollte man auch eine Lösung bekommen.

Wally
\(\endgroup\)


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Badabahm1
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 08.08.2019
Mitteilungen: 8
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-16


Danke, das ihr alle gewillt seit da Zeit rein zu stecken! Das ist wirklich super lieb von euch. Also:

gonz, du hast recht ich habe aus irgendeinem Grund ignoriert, dass ich die linke Seite ja integrieren muss um die Vereinfachung zu machen. Dann stimme ich definitv mit deinem Ergebnis überein. Aber da, wie du richtig bemerkst, mir das eher weniger bringt, würde ich auch gerne nochmal versuchen eine Lösung über einen allgemeineren Weg zu versuchen.

Gibt es eine Möglichkeit mit konkaven Form von g(u) un den zwei dort bekannten Nullstellen zu argumentieren?

zu Wally, sicherlich eine sehr legitime Nachfrage und ein gutes Beispiel, ich bin mir aber sehr sicher, da 1.) kann u überhaup ein sinus sein wenn g(u) konkav ist, 2.) kann man in der dahinter steckenden Anwendung einen sinus recht sicher ausschießen. Aber super Anmerkung!



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haerter
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.11.2008
Mitteilungen: 1562
Aus: Bochum
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2019-08-17


Hallo,

ich glaube schon, das die Behauptung stimmt,
dafür habe ich mal das Phasenportrait gezeichnet:



Man sieht hier, dass es keine (nicht-konstanten) Lösungen gibt,
die auf der y-Achse starten, nur im positiven u-Bereich verlaufen und dann wieder auf der y-Achse enden.

Die y-Achse ist dabei gerade die Linie, die der Randbedingung <math>\frac{du}{dx}=0</math> entspricht.

Viele Grüße,
haerter


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"The best way to have a good idea is to have lots of ideas."
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haerter
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.11.2008
Mitteilungen: 1562
Aus: Bochum
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2019-08-19


Hallo,

wenn man das zu einem formalen Beweis nutzen will, dann muss man vermutlich noch etwas Arbeit investieren.

Vielleicht könntest Du doch nochmal die Original-DGL hier reinschreiben, weil in den Antworten verschiedene Vorzeichenvarianten vorkommen und das schon einen Unterschied macht.
Ich gehe hier jedenfalls von <math>u""(x)+(a-bu)u(x)=0</math> aus.

Ich empfehle, die DGL als System von zwei Gleichungen erster Ordnung aufzufassen mit

<math>\begin{align*}
u" & = v \\
v" & = -(a-bu)u
\end{aling*}
</math>

Ungefähr wie in Beitrag No.10 erläutert sieht man dann, dass <math>F(u,v)= v^2 +au^2-\frac{2b}{3} u^3</math> entlang von Lösungen konstant sein muss (das ist die "Erhaltungsgröße"). Die Lösungskurven liegen daher in Niveaumengen von
<math>F</math> und verbinden wegen der Randbedingung <math>u"(0)=u"(1)=0</math> und der Positivitätsbedingung zwei Punkte auf der positiven <math>u</math>-Achse.

Der etwas mühsame Teil des formalen Beweises bestünde nun darin, zu zeigen, dass für <math>0<C<F(a/b,0)=\displaystyle\frac{1}{6}\displaystyle\frac{a^3}{b^2}</math> jede Niveaumenge aus zwei Komponenten besteht, von denen jede nur einen Schnittpunkt mit der positiven <math>u</math>-Achse hat und für <math>C>F(a/b,0)=\displaystyle\frac{1}{6}\displaystyle\frac{a^3}{b^2}</math> die Niveaumenge gar keinen Schnittpunkt mit der positiven <math>u</math>-Achse hat. Damit wäre dann ausgeschlossen, dass das Randwertproblem eine nicht-konstante positive Lösung besitzt.

Viele Grüße,
haerter
 


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