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Differentiation » Differentialrechnung in IR » Stammfunktion einer unstetigen Funktion
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Universität/Hochschule J Stammfunktion einer unstetigen Funktion
LernenWollen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-08-12


Hallo!
Gegeben ist für $0 \leq x \leq 2$
\[f(x) = 1 + \frac{2\lfloor x \rfloor - 1}{4}x^2~,\] also eine für 1 und 2 unstetige Funktion. Dann ergibt sich, dass $f(x)$ gleich
\[1 - \frac{1}{4}x^2~~,~~~~~ 0 \leq x < 1\] \[1 + \frac{1}{4}x^2~~,~~~~~ 1 \leq x < 2\] \[4~~,~~~~~ x = 2.\]
Jetzt denk ich mir, ich gehe von dieser Aufteilung aus und bilde für alle eine Stammfunktion. Aber die Lösung sagt für $F(x)$:
\[x - \frac{1}{12}x^3~~,~~~~~ 0 \leq x < 1\] \[\frac{11}{12}~~,~~~~~ x = 1\] \[-\frac{1}{6} + x + \frac{1}{12}x^3~~,~~~~~ 1 < x \leq 2.\]
$F(x)$ ist in 1 nicht differenzierbar, was ja auch logisch ist. Aber wieso ist bei $F(x)$ die 2 im dritten Fall inbegriffen, aber die 1 nicht im ersten Fall (oder im zweiten Fall)? Was macht die 1 so anders? In 2 müsste doch $F(x)$ ebenfall nicht differenzierbar sein. Ist das vielleicht nur Konvention, dass man die 2 zum dritten Fall zählt, weil sie am Rand liegt, die 1 nicht, weil sie zwischen drin liegt? Aber warum zählt die 1 nicht wie für $f(x)$ zum zweiten Fall?

Und: woher kommen die $-\frac{1}{6}$?

Ich danke sehr für eure Antworten!
Freundliche Grüße
LernenWollen



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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-08-12


Der Fall $x=1$ ist wahrscheinlich eher aus didaktischen Gründen extra aufgeführt. Diesen könntest Du auch den einen der beiden anderen Fällen zuschlagen. $-1/6$ bei der zweiten Stammfunktion erhält man aus der Bedingung, dass beide Stammfunktionen bei $x=1$ denselben Wert haben müssen.



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LernenWollen
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 06.06.2019
Mitteilungen: 46
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-12


Ich danke recht herzlich!

Beste Grüße
LernenWollen



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