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Analysis » Maßtheorie » Lebesgue-Messbarkeit zeigen
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Universität/Hochschule Lebesgue-Messbarkeit zeigen
Pter87
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-08-17


Man kann ja Lebesgue-Messbarkeit über Caratheodory oder über spezielle Quadervereinigungen(welche sich der Menge beliebig nah von außen annähern)zeigen.Betrachte die Menge (a,b) , wobei a,b aus den reellen Zahlen aber nicht unendlich. Dass diese Menge Lebesguemessbar ist, ist ja klar, da schon die Menge selbst ein offener beschränkter Quader ist. Wenn ich aber zeigen soll, dass auch [a,b] Lebesguemessbar ist, dann kann man natürlich diese Menge ganz einfach durch einen offenen Quader annähern. Es ginge doch aber auch einfach diese Menge auf die vorherige zurückzuführen oder ? Das Lebesgue-Maß ist ja auf Lebesguemessbaren Mengen abzählbar additiv. Dann gilt ja L*([a,b]) = L*((a,b)) + L*({a}) + L*({b}).
Dann ergibt sich ja sofort die Messbarkeit oder nicht ? Ich frage deshalb, weil ich in paar Büchern solche ähnlichen Beispiele gefunden habe, wo die Leute mit den Quadern da rumhantieren, obwohl das doch so, sofern das überhaupt so möglich ist, viel einfacher ist.



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LeBtz
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Aus: dem Meer
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-08-17


Hallo,

bevor du mit Maßen rumhantierst, musst du dir über die Messbarkeit Gedanken machen, das ergibt sonst gar keinen Sinn. Du kannst natürlich sagen, dass abzählbare Vereinigungen messbarer Mengen messbar sind, dann musst du aber wissen, dass einelementige Mengen messbar sind und das ist je nachdem, wie man das zeigt nur ein Spezialfall von dem, was du zeigen willst.



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Pter87
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-17


Ich hab paar Sachen leider nicht erwähnt, sorry. Also ich darf hier annehmen, dass die einelementigen Mengen Lebesguesche Nullmengen(auch Lebesguemessbar) sind und somit in der Gleichung wegfallen.Das zu zeigen, ist ja keine große Sache.
Die Menge (a,b) ist ja sowieso Lebesguemessbar. Natürlich weiß ich in dem Moment nichts über die Messbarkeit von [a,b], deswegen darf ich wahrscheinlich nicht über die abzählbare Additivität argumentieren(was ich aber in meinem ersten Beitrag gemacht habe), aber sicherlich über die Subadditivität.

Demententsprechend gilt: L*([a,b]) <= L*((a,b)). Gleichheit folgt mit der Tatsache, dass (a,b) Teilmenge von [a,b].

Und ja, das mit "Abzählbare Vereinigung messbarer Mengen ist messbar" hätte ich hier auch verwenden können, ist mir aber irgendwie nicht eingefallen.



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LeBtz
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Aus: dem Meer
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-08-17


Ich würde hier gar nicht über irgendein Maß gehen. Wenn du weißt, dass einelementige Mengen messbar sind, ist [a,b] abzählbare Vereinigung messbarer Mengen, also messbar. Fertig.



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Pter87
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-17


Ja, das ist sicherlich der einfachste weg. Am Anfang meintest du, dass bevor ich mit den Maßen rumhantiere, ich mir erstmal klarmachen soll, ob die überhaupt messbar sind. Das ist einleuchtend aber in meinem Skript wird bewiesen, dass das Lebesgue-Maß subadditiv ist für beliebige Mengen aus dem R^n. Dort weiß man ja auch nicht, ob die Mengen messbar sind aber trotzdem wird mit den Maßen gerechnet ?



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LeBtz
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Aus: dem Meer
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-08-17


Du verwechselst vermutlich das Maß mit dem äußeren Maß.



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Pter87
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-18


Das äußere Maß ist ja auf der ganzen Grundmenge definiert. Was ist denn dann das äußere Maß einer nicht Lebesguemessbaren Menge ? Ich hab das jetzt so verstanden, dass das äußere Maß zwar für jede Menge definiert ist, es aber für bestimmte Mengen einfach nicht sinnvoll ist, da diese sich z.B. nicht additiv verhalten.



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