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Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Ringe » Allgemeinen chinesischen Restsatz verstehen
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Universität/Hochschule Allgemeinen chinesischen Restsatz verstehen
Benni97
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-08-22 20:56


Hallo, ich verstehe den allgemeinen chinesischen Restsatz nicht. Leider blicke ich da überhaupt nicht durch und im Internet finde ich leider auch nichts brauchbares, weil das noch zu kompliziert für mich geschrieben ist. Ich hoffe, dass mir jemand dabei helfen kann.




Dazu habe ich ein paar Fragen:



1. Frage
_________


Warum gilt die Aussage

$n_{1}, \ldots, n_{r}$ teilerfremd $\Leftrightarrow \langle n_{1} \rangle, \ldots, \langle n_{r} \rangle $ paarweise koprim ?

Das scheint mir nicht zu erschließen. Ich habe am Anfang versucht, mir das an einem Beispiel klar zu machen:



Sei $R = \mathbb{Z}$. Und ich nehme die ganzen Zahlen $3$ und $7$. D
Es gilt $ggT(7,3) = 1$. Sie sind also teilerfremd.

Das Erzeugnis $\langle 3 \rangle = \{ z \cdot 3\; \vert \; z \in \mathbb{Z} \}$ ist die Menge aller Vielfachen von $3$.

Das Erzeugnis $\langle 7 \rangle = \{ z \cdot 7\; \vert \; z \in \mathbb{Z} \}$ ist die Menge aller Vielfachen von $7$.

Nun will ich prüfen, ob die beiden Erzeugnisse koprim sind, d.h.

$\langle 3 \rangle + \langle 7 \rangle =  \{a + b\; \vert \; a \in \langle 3 \rangle, b \in \langle 7 \rangle \} = \langle 1 \rangle = \mathbb{Z}$

Aber es macht mir nicht den Eindruck, dass $\langle 3 \rangle + \langle 7 \rangle = \mathbb{Z}$ ist. Wie sieht man das? Wähle ich überhaupt ein sinnvolles Beispiel aus?






Falls mir einer hierbei helfen, wäre ich extrem dankbar!  


Wünsche euch einen schönen Abend noch



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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-08-22 21:33


Hallo, herzlich willkommen hier.

Das Problem, es  sieht in deinem chinesischen Restsatz auch nach chinesischen Zeichen aus. Ist AUCH LaTeX oder fed für Dich möglich ?
Wenn nicht, findet sich vermutlich jemand der das übersetzen und beantworten kann.

SP



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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-08-22 21:37


zu 1) $\IZ$ ist ein euklidischer Ring. Daher gilt $n_1,n_2$ teilerfremd $\iff\ \exists a,b\in\IZ: 1=an_1+bn_2$. Die zweite Bedingung ist äquivalent zu $<n_1,n_2>= \IZ$ also $<n_1>, <n_2>$ koprim. Für das Beispiel gilt $1=7-2\cdot 3$.

zu 2). "mod $n_1$" entspricht gerade dem Ring $\IZ/n_1\IZ$ also im allgemeinen $R/I_1$. Die Lösung der Kongruenz entspricht dann dem Isomorphismus $R/(I_1\cap\ldots\cap I_n)\cong R/I_1\times\ldots\times R/I_n$. Für den Fall $R=\IZ$ entspricht dann $I_1\cap\ldots\cap I_n$ der Kongruenz mod $n=n_1\cdot\ldots\cdot n_r$ also $R/(I_1\cap\ldots\cap I_n)= \IZ/n\IZ$.

Es ist jetzt kein Beispiel, ggf. bringt es Dich etwas weiter.

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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Benni97
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-23 18:35


Guten Abend! Tut mir Leid, wenn ich den Anschein erwecke, kein Interesse zu haben. Ich war heute leider den ganzen Tag weg, so dass ich erst jetzt antworten kann.


2019-08-22 21:33 - SemiPrim4711 in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo, herzlich willkommen hier.

Das Problem, es  sieht in deinem chinesischen Restsatz auch nach chinesischen Zeichen aus. Ist AUCH LaTeX oder fed für Dich möglich ?
Wenn nicht, findet sich vermutlich jemand der das übersetzen und beantworten kann.

SP


Ja, das geht auch mit Latex. Aber aus Zeitgründen konnte ich das nicht abtippen.




2019-08-22 21:37 - TomTom314 in Beitrag No. 2 schreibt:
zu 1) $\IZ$ ist ein euklidischer Ring. Daher gilt $n_1,n_2$ teilerfremd $\iff\ \exists a,b\in\IZ: 1=an_1+bn_2$. Die zweite Bedingung ist äquivalent zu $<n_1,n_2>= \IZ$ also $<n_1>, <n_2>$ koprim. Für das Beispiel gilt $1=7-2\cdot 3$.

zu 2). "mod $n_1$" entspricht gerade dem Ring $\IZ/n_1\IZ$ also im allgemeinen $R/I_1$. Die Lösung der Kongruenz entspricht dann dem Isomorphismus $R/(I_1\cap\ldots\cap I_n)\cong R/I_1\times\ldots\times R/I_n$. Für den Fall $R=\IZ$ entspricht dann $I_1\cap\ldots\cap I_n$ der Kongruenz mod $n=n_1\cdot\ldots\cdot n_r$ also $R/(I_1\cap\ldots\cap I_n)= \IZ/n\IZ$.

Es ist jetzt kein Beispiel, ggf. bringt es Dich etwas weiter.

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]

Herzlichen Dank für die Antwort und ja, sie hat mich weiter gebracht :-)


Die 1) glaube ich begriffen zu haben!

Zu 2)
_____


Vielleicht verstehe ich das besser, wenn ich mir dazu ein Kongruenzsystem anschaue. Und zwar folgendes:


$x \equiv 3\; mod\; 5$

$x \equiv 5\; mod\; 7$

$x \equiv 7\; mod\; 9$


Die Lösung dieses Kongruenzensystems wäre dann

$x = 313 + z \cdot 315\; \forall z \in \mathbb{Z}$


Wie komme ich von dieser Lösung auf die Abbildung $R/(I_1\cap\ldots\cap I_n)\cong R/I_1\times\ldots\times R/I_n$ ?

Also wie sieht der Zusammenhang da aus? Das verwirrt mich.



mfg, Benni



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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-08-23 19:33


Hallo Benni97,

alles im grünen Bereich. Der Benutzer SemiPrime hat schon in anderen Themen Trollqualitäten demonstriert. Dein Problem ist lesbar und eine Antwort darf auch mal 1 oder 2 Tage dauern. Eine Rückmeldung, wie hilfreich die Ratschläge waren, ist natürlich immer gern gesehen.  wink

$x \equiv 3\; mod\; 5$
$x \equiv 5\; mod\; 7$
$x \equiv 7\; mod\; 9$

Die Lösung dieses Kongruenzensystems wäre dann
$x = 313 + z \cdot 315\; \forall z \in \mathbb{Z}$

Die passenden Abbildungen dazu wären
$$ \varphi:\IZ\to \IZ/5\IZ\times \IZ/7\IZ\times \IZ/9\IZ\times
$$
mit $\ker\varphi = 315\IZ$, also ein Isomorphismus
$$ \overline\varphi:\IZ/315\IZ\to \IZ/5\IZ\times \IZ/7\IZ\times \IZ/9\IZ\times
$$
Eine äquivalente Formulierung des Kongruenzproblems wäre dann: Bestimme $\overline\varphi^{-1}(3,5,7)$.

Noch zwei weitere Beispiele. Sein nun $R=\IZ[X]$. $\IZ[X]$ ist ein faktorieller Ring aber kein Hauptidealring mehr, insbesondere nicht mehr euklidisch.
a) $I_1=<X>, I_2 = <X+1>$. Aus  $1= X+1\ -\ X$ folgt, dass die beiden Ideale koprim sind und wir einen Isomorphismus
$$\IZ[X]/<X^2+X>\cong \IZ[X]/<X>\times \IZ[X]/<X+1>\cong \IZ\times\IZ$$
erhalten.
b) $I_1=<X>, I_2 = <2>$. In diesem Fall sind $2,X$ zwar teilerfremd, aber $<X,2>\neq \IZ[X]$. Dann läßt sich zeigen, dass
$$\IZ[X]/<2X>\to \IZ[X]/<X>\times \IZ[X]/<2>$$
nicht mehr surjektiv ist.

Was ich jetzt nicht ausgeführt habe und bei Bedarf aufschreibe: Es wäre nützlich, bei den Ringen ein Repräsentatensystem für die Restklassen zu suchen und zu schauen, wie die die Multiplikationen und Homomorphismen aussehen.



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