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Mathematik » Analysis » Links- u. rechtsseitige Differenzierbarkeit bei periodischer Funktion cos(ax)
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Universität/Hochschule J Links- u. rechtsseitige Differenzierbarkeit bei periodischer Funktion cos(ax)
curious_mind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-09-13


Hallo ihr Lieben, ich schon wieder:

Ich sollte die Fourierreihe zu $f: \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}, f(x):=cos(ax)$ für $x\in (-\pi,\pi]$ mit einer Konstanten $a\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Z}$ aufstellen und zeigen, dass diese gegen $f(x)$ konvergiert.

Das habe ich soweit auch hinbekommen, sie lautet:
$\frac{\sin (a \pi)}{a \pi}+\frac{2 a \sin (a \pi)}{\pi} \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{a^{2}-k^{2}} \cos (k x)$ für jedes $x \in \mathbb{R}$.

Nun zur Begründung, wieso die Fourierreihe für alle $x \in \mathbb{R}$ gegen $f(x)$ konvergiert.

Dass die Funktion $f_{\big|(-\pi,\pi)}=cos(ax)_{\big|(-\pi,\pi)}$ differenzierbar ist, ist soweit klar (da $cos$ generell auf ganz $\mathbb{R}$ diffbar ist). Dann muss man ja noch die Randpunkte gesondert untersuchen.

Die Musterlösung schreibt dazu:
Außerdem ist die Funktion $f$ wegen $f(x)=\cos (a x)$ für $x \in]-\pi, \pi]$ und $f(x)=\cos (a x-2 a \pi)$ für $x \in[\pi, 3 \pi]$ im Punkt $x=\pi$ links- u. rechtsseitig differenzierbar, sodass nach ... die Funktion auch im Punkt $x=\pi$ gegen $f(x)$ konvergiert. (...)

Diese Aussage verstehe ich nicht.
Wieso konstruieren die eine weitere Funktion $cos(a(x-2\pi))$ in dem Intervall, was $2\pi$ weiter rechts ist? Also, wieso ist das erlaubt und wieso ist das ein Beweis? Also, wenn das hinreichend ist um die Differenzierbarkeit in $\pi$ zu erklären, hätte man doch die gesonderte Betrachtung von $\pi$ gleich weglassen können und sagen können, dass $cos$ halt überall differenzierbar ist...?

Vielleicht kann mir jemand den Gedankengang erklären, der da unsichtbar drin steckt.

Danke schon mal! : )








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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-09-14


Hallo curious_mind,
die Begründung steckt in den drei Punkten in

2019-09-13 14:37 - curious_mind im Themenstart schreibt:
sodass nach ... die Funktion auch im Punkt $x=\pi$ gegen $f(x)$ konvergiert.

und daraus muss hervorgehen, warum man die Funktion periodisch fortsetzt. Es geht nicht um die Differenziebarkeit in \(\pi\) sondern um die Konvergenz der Fouriereihe in diesem Punkt.

Viele Grüße,
  Stefan



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curious_mind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-14


Bei den Pünktchen steht nur die Nummer des entsprechenden Satzes, der lautet wie folgt:



Das beantwortet aber nicht meine Frage, zumindest ändert es nichts daran, wieso ich den Vorgang nicht verstehe.



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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-09-14


Der Darstellungssatz 5.4.9 ist auf die Ausgangsfunktion \(f: \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}, f(x):=cos(ax)\) nicht anwendbar, weil diese nicht \(2\pi\)-periodisch ist. Deshalb muss man eine andere Funktion g(x) basteln, die auf dem Intervall von -x bis x mit f(x) übereinstimmt, außerhalb davon aber \(2\pi\)-periodisch fortgesetzt ist. Dafür kann man dann den Darstellungssatz anwenden. In der Musterlösung ist vermutlich g(x) ebenfalls als f(x) bezeichnet und diese Änderung müsste bereits vor dem Aufstellen der Fourierreihe erfolgt sein. Könnte man graphisch eventuell nachprüfen, dass der Graph der Fourierreihe außerhalb des Intervalls von -x bis x nicht die Ausgangsfunktion \(f(x)=cos(ax)\) ergibt.




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curious_mind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-14


In der Musterlösung ist vermutlich g(x) ebenfalls als f(x) bezeichnet und diese Änderung müsste bereits vor dem Aufstellen der Fourierreihe erfolgt sein.

Verstehe ich nicht.



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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-09-14


Wie beginnt denn die Musterlösung, vom Anfang bis vor die Stelle, wo mit der Berechnung der Fourierkoeffizienten begonnen wird? Denn Ausgangspunkt für die Anwendung des Darstellungssatzes ist eine \(2\pi\)-periodische Funktion und die in dem Ausschnitt der Musterlösung genannte Funktion f(x) ist bereits dahingehend geändert. Irgendwo vorher muss diese Änderung erstmalig beschrieben sein in der Musterlösung.



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curious_mind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-15


Hier die komplette ML:






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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-09-15


Dann ist bereits in der Aufgabe f(x) als \(2\pi\)-periodische Funktion gegeben. Im Themenstart sah das so aus, als ob die Funktion \(f: \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}, f(x):=cos(ax)\) gegeben ist, welche auf dem Intervall \(x\in (-\pi,\pi]\) durch eine Fourierreihe approximiert werden soll.

Die \(2\pi\)-periodische Fortsetzung wird üblicherweise definiert durch \(f(x+2\pi)=f(x)\) oder auch \(f(x)=f(x-2\pi)\). In der Musterlösung ist die Stelle \(f(x)=\cos (a x-2 a \pi)\) die Folge diese Definition: Für \(f(x)=\cos(ax)\) ist \(f(x-2\pi)=\cos(a(x-2\pi))=\cos(ax-2a\pi)\) und wegen \(2\pi\)-periodisch \(f(x)=f(x-2\pi)=\cos(ax-2a\pi)\). Das wird an der Stelle nicht neu konstruiert sondern ist bereits durch die Aufgabe so vorgegeben.



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curious_mind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-15


Ja, alles richtig, aber beantwortet nicht meine Frage. Ich verstehe trotzdem nicht, wieso das uns hilft die Differenzierbarkeit zu beweisen.



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-09-16


2019-09-15 23:07 - curious_mind in Beitrag No. 8 schreibt:
Ich verstehe trotzdem nicht, wieso das uns hilft die Differenzierbarkeit zu beweisen.

Für die linksseitige Differenzierbarkeit an der Stelle $x=\pi$ kannst du direkt auf die Gleichung $f(x)=\cos(ax)$ für $x\in(-\pi,\pi]$ zurückgreifen: $f$ ist an der Stelle $x=\pi$ linksseitig differenzierbar, weil die Funktion $\cos(ax)$ diese Eigeschaft hat.

Für die rechtsseitige Ableitung geht das nicht direkt, denn die Zahlen rechts von $\pi$ liegen außerhalb des Intervalls $(-\pi,\pi]$ und dort gilt die Gleichung $f(x)=\cos(ax)$ nicht.

Trotzdem weiss man, wie die Funktion $f$ dort aussieht, denn sie ist ja $2\pi$-periodisch: Für $x\in(\pi,3\pi]$ ist, wie StefanVogel in Beitrag Nr. 7 vorgerechnet hat, $f(x)=\cos(ax-2a\pi)$. Und wegen $f(\pi)=\cos(a\pi)=\cos(-a\pi)=\cos(a\pi-2a\pi)$ gilt diese Gleichung sogar für $x\in[\pi,3\pi]$. Also ist $f$ an der Stelle $x=\pi$ rechtsseitig differenzierbar, weil die Funktion $\cos(a\pi-2a\pi)$ diese Eigenschaft hat.



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curious_mind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-16


Also wir dürfen, obwohl wir wissen, dass die Funktion $f(x)=cos(a\pi)$ $2\pi$-periodisch ist, für die rechtsseitige Differenzierbarkeit nicht $f$ benutzen?
Das macht doch gar keinen Sinn? Wenn sie periodisch ist, dann weiß man ja, wie sie sich weiterentwickelt...

(Irgendwie ist mir auch nicht so ganz klar, was der Sinn darin ist, eine Funktion, die n.Voraussetzung periodisch sein soll, dann nur auf einer Periode zu definieren... klingt für mich wie ein Widerspruch.)

Also, ich kann nachvollziehen, dass $f(x)=\ldots=cos(a\pi-2a\pi)$, das ist ja klar, weil cos periodisch ist.

2019-09-16 01:13 - zippy in Beitrag No. 9 schreibt:
Für die rechtsseitige Ableitung geht das nicht direkt, denn die Zahlen rechts von $\pi$ liegen außerhalb des Intervalls $(-\pi,\pi]$ und dort gilt die Gleichung $f(x)=\cos(ax)$ nicht.

Kann eine Funktion periodisch sein und trotzdem undefiniert?

Ist $f(x)=\ldots=cos(a\pi-2a\pi)$ streng genommen eine neue Funktion? Oder die Gleiche?

Ist der Punkt der, dass wir eine "neue Funktion" definieren (die praktischerweise rein rechnerisch der Ursprungsfunktion entspricht), über dem nächsten $2\pi$-Intervall, und dann - weil sie eben identisch ist - daraus ableiten, weil diese differenzierbar ist, dass somit auch die Ursprungsfunktion in dem Punkt differenzierbar ist? Wenn man benutzt, dass cos überall differenzierbar ist, dann hätte man dafür keine neue Funktion gebraucht...

Klingt für mich irgendwie als ob die Ratte sich in den Schwanz beißt...

Aber danke für Eure Geduld. Ich muss mal drüber schlafen...





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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2019-09-16


2019-09-16 20:35 - curious_mind in Beitrag No. 10 schreibt:
Also wir dürfen, obwohl wir wissen, dass die Funktion $f(x)=cos(a\pi)$ $2\pi$-periodisch ist, für die rechtsseitige Differenzierbarkeit nicht $f$ benutzen?

Dieser Satz enthält gleich zwei Fehler:

1. Es ist nicht generell $f(x)=\cos(ax)$. Diese Gleichung gilt erstmal nur für solche $x$, die in $(-\pi,\pi]$ liegen.

2. Es ist zwar die Funktion $f$ $2\pi$-periodisch, die Funktion $\cos(ax)$ ist das im Allgemeinen aber nicht (sie ist es nur, wenn $a$ eine ganze Zahl ist).

2019-09-16 20:35 - curious_mind in Beitrag No. 10 schreibt:
Wenn sie periodisch ist, dann weiß man ja, wie sie sich weiterentwickelt...

Richtig. So kommt man ja auf $f(x)=\cos(ax-2a\pi)$ für $x\in(\pi,3\pi]$.

2019-09-16 20:35 - curious_mind in Beitrag No. 10 schreibt:
(Irgendwie ist mir auch nicht so ganz klar, was der Sinn darin ist, eine Funktion, die n.Voraussetzung periodisch sein soll, dann nur auf einer Periode zu definieren... klingt für mich wie ein Widerspruch.)

Es reicht aus, $f$ nur auf einer Periode zu definieren, gerade weil $f$ periodisch ist. Das ist also kein Widerspruch zur Periodizität, sondern wird durch die Periodizität erst möglich.

2019-09-16 20:35 - curious_mind in Beitrag No. 10 schreibt:
2019-09-16 01:13 - zippy in Beitrag No. 9 schreibt:
Für die rechtsseitige Ableitung geht das nicht direkt, denn die Zahlen rechts von $\pi$ liegen außerhalb des Intervalls $(-\pi,\pi]$ und dort gilt die Gleichung $f(x)=\cos(ax)$ nicht.

Kann eine Funktion periodisch sein und trotzdem undefiniert?

Ein Funktion kann auf ihrem Definitionsbereich nie undefiniert sein, ganz egal, ob sie periodisch ist oder nicht.

Aber eine Gleichung $f(x)=g(x)$ zwischen zwei Funktionen muss nicht für beliebige $x$ gelten. Und genau das ist hier der Fall.

2019-09-16 20:35 - curious_mind in Beitrag No. 10 schreibt:
Ist $f(x)=\ldots=cos(a\pi-2a\pi)$ streng genommen eine neue Funktion? Oder die Gleiche?

Du musst sorgfältiger zwischen Funktionen, deren Einschränkungen und deren Werten unterscheiden.

Wir haben es hier mit drei Funktionen zu tun:
1. Die $2\pi$-periodische Funktion $f$.
2. Die Funktion $g_1\colon x\mapsto\cos(ax)$.
3. Die Funktion $g_2\colon x\mapsto\cos(ax-2a\pi)$.

Es gilt weder $f=g_1$ noch $f=g_2$.

Was aber gilt ist:
1. $f(x)=g_1(x)$ für $x\in(-\pi,\pi]$.
2. $f(x)=g_2(x)$ für $x\in(\pi,3\pi]$.

Oder anders formuliert:
1. $f|_{(-\pi,\pi]}=g_1|_{(-\pi,\pi]}$.
2. $f|_{(\pi,3\pi]}=g_2|_{(\pi,3\pi]}$.



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curious_mind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-16


Aaaaaaaaah, der Groschen ist gefallen! Danke für die Erklärung zu den Funktionen, jetzt hab ich erst wirklich verstanden, was das mit der Periodizität impliziert! Die Werte müssen immer gleich sein, somit ändert sich ggf. die Funktionsdefinition je nach Abschnitt um den es geht!

Ich lese morgen bei klarem Verstand nochmal von oben alle Antworten, und melde mich wenn ich noch Rückfragen habe.

Aber vielen Dank Euch beiden schon mal!



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curious_mind
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:]

Keine Fragen mehr! Danke!



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curious_mind hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
curious_mind hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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