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Strukturen und Algebra » Polynome » Irreduzible, aber nicht prime Elemente in K[X,Y]/(X^2-Y^3)
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Universität/Hochschule Irreduzible, aber nicht prime Elemente in K[X,Y]/(X^2-Y^3)
Ralip
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-09-26


Hallo,
zu zeigen:

Die Restklassen zu X und Y in R:= K[X,Y]/(X^2-Y^3) mit K Körper sind irreduzibel, aber nicht prim in R.
(Diese Restklassen seien im Folgenden nur als X bzw Y bezeichnet)

Ist folgende Lösung korrekt? Ich bin mir unsicher!

Es gilt: R ~= {f Element von K[X] mit a_1 = 0} =: R'
Damit ergibt sich sofort R'* = K.

 
Der implizit genannte Isomorphismus identifiziert das gefragte Element X bzw. Y in R mit X^3 bzw. X^2 in R'.

Ferner ist R' natürlich ein Integritätsring. Somit gilt für f*g = X^3: {grad f, grad g} = {3,0}, denn {1,2} geht nicht, da die 1 nicht "verfügbar" ist. Daher ist ein Element eine Einheit, denn es ist in K (grad 0).

Analog erhält man, dass auch X^2 irreduzibel ist. Also sind X,Y auch in R irreduzibel.

Weiter: X^2 | X^3*X^3 und X^3 | X^4*X^2

Daher sind X,Y jedoch nicht prim.


---

Das ist jetzt wirklich sehr schludrig notiert, ich habe einige Schritte ausgelassen. Aber der Beweis im Gesamten sollte doch klar sein, oder?

Ist der Beweis so korrekt?

Danke!

Grüße
Ralip




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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-09-26


Ja, so kann man es machen.

Dass $X$ nicht prim ist, also $\langle X \rangle$ kein Primideal ist, sieht man auch so:

$R / \langle X \rangle \cong K[X,Y]/\langle X^2-Y^3,X\rangle \cong K[Y]/\langle Y^3\rangle$

ist kein Integritätsring. Analog geht es mit $Y$.



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Ralip
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-26


Alles klar, danke dir!



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helmetzer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-09-26


2019-09-26 21:31 - Triceratops in Beitrag No. 1 schreibt:
Ja, so kann man es machen.

Dass <math>X</math> nicht prim ist, also <math>\langle X \rangle</math> kein Primideal ist, sieht man auch so:

<math>R / \langle X \rangle \cong K[X,Y]/\langle X^2-Y^3,X\rangle \cong K[Y]/\langle Y^3\rangle</math>

ist kein Integritätsring. Analog geht es mit <math>Y</math>.
Moin, das sieht ja elegant aus. Könntest du mal die "Rechenregeln" erläutern, Isomorphiesätze etc.



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-09-26


@helmetzer: Im 1. $\cong$ verwende ich den allgemeinen Sachverhalt

$(R/I)/\overline{J} \cong R/(I+J)$

für Ideale $I,J \subseteq R$, wobei $\overline{J}$ das Bild von $J$ unter $R \to R/I$ sei.

Das 2. $\cong$ setzt sich zusammen aus $K[X,Y]/\langle X^2-Y^3,X\rangle \cong (K[X,Y]/\langle X \rangle)/\langle X^2-Y^3\rangle$, was aus demselben Sachverhalt folgt, sowie dem Standard-Isomorphismus $K[X,Y]/\langle X \rangle \cong K[Y]$, wo ja $X^2-Y^3$ übergeht in $-Y^3$. (Den kann man bei Bedarf auch noch zerlegen in $K[X,Y]/\langle X \rangle \cong K[Y] \bigl[X\bigr]/\langle X\rangle \cong K[Y]$.)

All diese Isomorphismen sind direkte Folgerungen von universellen Eigenschaften (vgl. hier). Zum Beispiel $(R/I)/\overline{J} \cong R/(I+J)$ liegt daran, dass beide Seiten denselben Unterfunktor von $\hom(R,-)$ darstellen, nämlich der Homomorphismen, die auf $I$ und $J$ verschwinden.

PS: Um ehrlich zu sein, wieso ich $R/\langle X \rangle \cong K[Y]/\langle Y^3 \rangle$ ohne Nachzudenken hinschreiben kann, liegt vielmehr an der folgenden Sichtweise: Wir starten mit zwei Variablen $X,Y$ (ohne Relationen). Mit $R$ führen wir die Relation $X^2=Y^3$ ein. Der Quotient $R/\langle X \rangle$ führt die zusätzliche Relation $X=0$ ein. Dann vereinfacht sich die erste aber zu $Y^3=0$, und das $X$ wird überflüssig. Also bleibt nur noch eine Variable $Y$ mit $Y^3=0$, also der Ring $K[Y]/\langle Y^3 \rangle$. (Und was hier formal passiert, ist das Manipulieren der entsprechenden dargestellten Funktoren, aber das muss man irgendwann nicht mehr wirklich direkt tun.) Mit demselben Vorgehen sieht man zum Beispiel auch ohne Nachzudenken $R/\langle X-1 \rangle \cong K[X]/\langle Y^3-1\rangle$.



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helmetzer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-09-26


Ich denke, die wenigsten hier können das so nachvollziehen und werden es auch nicht lernen, wenn nicht konkret diese beiden Isomorphien hergeleitet werden.

Daran krankt es ja oft, dass man in der Vorlesung die Sätze lernt, aber eben nicht, wie man sie am konkreten Beispiel anwenden kann.

Ich sehe es jedenfalls nicht ohne Weiteres und ich denke, ich bin ganz gut in Algebra.

Aber schön, ich werde mich mal in Ruhe hinsetzen und es versuchen. Heute nicht mehr!

Edit: hatte den vorigen (geänderten) Beitrag noch nicht gelesen. Danke dafür!



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helmetzer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-09-27


Moin, noch ein einfaches Beispiel, wenn die Frage mal auftaucht (irreduzible, nicht prime) Elemente:

Betrachte den Unterring \( \IQ[X^2,X^3] \subset \IQ[X]\):

\(X^2X^4 = X^6 = X^3X^3\)

Ich bilde mir da eine Verwandtschaft ein mit dem Beispiel im TS.



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-09-27


@helmetzer: Bitte lies dir mal Beitrag 0 durch.  😉



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helmetzer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-09-27


Da ist was dran. Aber ich habe zunächst aufgehört zu lesen, weil ich (immer noch nicht) auf den Isom. \(R \cong R'\) komme.



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-09-27


2019-09-27 17:10 - helmetzer in Beitrag No. 8 schreibt:
weil ich (immer noch nicht) auf den Isom. \(R \cong R'\) komme.

fav.php?op=view&fav_id=71944



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Ralip hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Ralip hatte hier bereits selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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