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Schulmathematik » Folgen und Reihen, Induktion » Alternierende Summe von Produkt von Binomialkoeffizienten mit Gliedern arithmetischer Folge = 0
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Schule J Alternierende Summe von Produkt von Binomialkoeffizienten mit Gliedern arithmetischer Folge = 0
stefan_98
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-10-17


Guten Tag, ich habe die Aufgabe die Gleichung



zu beweisen. Ich habe es versucht bin aber nie weit gekommen.

Könnte mir jemand helfen?

LG Stefan



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-10-17


Hallo stefan_98 und herzlich Willkommen hier auf dem Matheplaneten!

Deiner Gleichung bzw. deiner Summe fehlt noch entscheidendes: ein Ergebnis respektive einem Gleichheitszeichen.

Was ist über die arithmetische Folge ggf. noch bekannt?


Gruß, Diophant



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stefan_98
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-17


Oh stimmt natürlich, das Ganze soll 0 ergeben :)



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stefan_98
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-17


und außerdem gilt: n≥2 sowie a ist ein Glied einer beliebigen arythemtischen Zahlenfolge



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-10-17

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

ist dir in diesem Zusammenhang die Summe

\[\sum_{k=0}^n (-1)^k {n \choose k}=0\]
bekannt, d.h., darf diese Summe verwendet werden? Für den Fall ist es einfach (mache dir nochmal genau klar, was man unter einer arithmetischen Folge erster Ordnung versteht, denn nichts anderes kann hier gemeint sein).


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-10-17


Hallo,

eine arithmetische Folge hat die Vorschrift $a_k=a+kd$ mit $a,d\in \mathbb{R}$. Es ergibt sich also
\[\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}a_k=\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}(a+kd)=a\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}+d\sum_{k=0}^n(-1)^k \binom{n}{k} k.\] Kannst du $\sum\limits_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}=0$ und $\sum\limits_{k=0}^n(-1)^kk\binom{n}{k}=0$ zeigen?

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]



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stefan_98
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-17


Nein also, ich weiß wie ich es mit dem binomischen Lehrsatz irgendwie an sich zeigen kann, nur mathematisch korrekt kann ich es nicht aufschreiben bzw. formulieren, aber danke erstmal für deinen Ansatz.

LG



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wladimir_1989
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-10-17


Hallo stefan_98,

als Hinweis: es gilt \((x+y)^n=\sum_{k=0}^nx^{k}y^{n-k}\binom{n}{k}\). Überlege zuerst, welche Werte für x und y zu \(\sum_{k=0}^n(-1)^{k}\binom{n}{k}\) passen.

lg Wladimir



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stefan_98
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-17


Hallo nochmal,

also den ersten Beweis für
habe ich nun, nur für die 2. Formel mit zusätzlichem k als Variable nicht.

Könnte mir dabei noch jemand helfen?

LG

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]



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wladimir_1989
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-10-17


Hallo stefan_98,

bei der zweiten Frage könntest dir z.B. die Hilfsfunktion \((1-x)^n\) betrachten und diese nach x differenzieren.

lg Wladimir



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stefan_98
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-17


Tut mir Leid,

ich bin in der 11. Klasse und wir hatten noch keine Differenzialrechnung.

LG



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wladimir_1989
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2019-10-17


Kennst du vollständige Induktion und die Rekursionsformel

\(\binom{n+1}{k+1}=\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}\)?

lg Wladimir



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Creasy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2019-10-17


Ohne Differentialrechnung kannst du die Fälle $n$ gerade und $n$ ungerade betrachten.

Für gerade $n=2m$ zeige, dass $\sum_{k=0}^{2m} (-1)^k k \binom{2m}{k} = \sum_{k=0}^{2m} (-1)^k (2m-k) \binom{2m}{k}$ ist. indem du die Summationsreihenfolge bei der zweiten Summe umdrehst und ausnutzt, dass $(-1)^{2m-k}=(-1)^{2m+k}$ ist und addiere die beiden. Das führt auf etwas von der Form von vorhin zurück.


Für ungerade $n=2m+1$ schreibe $\sum_{k=0}^{2m+1} (-1)^k k \binom{2m+1}{k} = \sum_{k=0}^{m} (-1)^k k \binom{2m+1}{k} + \sum_{k=m+1}^{2m+1} (-1)^k k \binom{2m+1}{k}$. Drehe die Summationsreihenfolge bei der zweiten Summe um und wende eine Formel für Binomialkoeffizienten an. Dann noch eine Indexverschiebung und hoffentlich passt es dann.

Grüße
Creasy

Vllt gibt es noch einen Weg ohne Fallunterscheidung und ohne Differenzieren und ohne Induktion?

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.10 begonnen.]


-----------------
Smile (:



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2019-10-18


@creazy: Ja, man könnte auch
\[n\binom{n-1}{k-1}=k\binom{n}{k}\] nutzen.

Wenn $\mathrm{deg}(p)<n$ gilt, lässt sich damit sogar
\[\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}p(k)=0\] zeigen.



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stefan_98
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-20


Hallo wladimir,

also ich kenne die vollständige Induktion, mit der ich dies auch beweisen möchte und ebenso die Formel, die du mitaufgeschrieben hast :)

Wie kann ich nun mit dieser Formel arbeiten? Als ich diese angewendet habe, bin ich auch nicht zu einem Ergebnis gekommen. Umgestellt nach (n über k) und danach eingesetzt, hat diese die Gleichung bei mir nur vergrößert und kürzen oder herausstreichen aus der Gleichung konnte ich leider nichts. :/

Könnte mir jemand erklären, was mit der Umkehrung der Summationsreinfolge gemeint ist bzw. wie man diese vollzieht, aus Creasys Beitrag, dann würde ich diesen Weg mal probieren.

LG



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stefan_98
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Ok also Creasy hat es mir erklärt, ich werde diesen Weg jetzt einfach probieren.

LG



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stefan_98
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-21


Also ich habe es nun endlich hinbekommen mit:



Die erstere Gleichung ohne zusätzlichem k lässt sich ja mit dem binomischen Lehrsatz sehr einfach beweisen :)

Nochmals vielen Dank für die Hilfe von allen Beteiligten



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