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Mathematik » Stochastik und Statistik » Ist das eine Brownsche Bewegung?
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Universität/Hochschule Ist das eine Brownsche Bewegung?
mpc
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-10-20


Folgendes Problem: Es sei \((X_t)_{t \geq 0}\) ein auf einem filtrierten Wahrscheinlichkeitsraum adaptierter , reellwertiger Prozess. Diese Eigenschaften hat er:
1) \(X_0 = 0\), \(P\)- fast sicher,
2) \(X_1\) ist standardnormalverteilt,
3) Für \(s<t\) ist \(X_t -X_s\) unabhängig von \(\mathcal{F}_s\), also unabhängige Inkremente,
4) Für \(s<t\) ist \(X_t - X_s\) ~ \(X_{t-s} -X_0\), also stationäre Inkremente,
5) \(t \mapsto X_t (\omega)\) ist stetig für fast alle \(\omega\), also pfadweise Stetigkeit.
Ist \(X\) damit schon eine Brownsche Bewegung?

Ich vermute , dass die Antwort "Nein" lautet. Alles was noch fehlt, ist dass alle Inkremente normalverteilt sind, aber:
Aus 1)-5) kann ich zwar schließen, dass für ganzzahlige \(t \geq 0\) gilt, dass \(X_t -X_0\) ~ \(\mathcal{N}(0,t)\). Aber warum auch für nicht-ganzzahliges t gelten sollte, dass \(X_t -X_0\) ~ \(\mathcal{N}(0,t)\), sehe ich nicht...
Für einen Hinweis wäre ich sehr dankbar. LG





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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-10-20


2019-10-20 13:07 - mpc im Themenstart schreibt:
Aber warum auch für nicht-ganzzahliges t gelten sollte, dass \(X_t -X_0\) ~ \(\mathcal{N}(0,t)\), sehe ich nicht...

Betrachte mal $t=\frac1n$. Dann sind die $n$ Zufallvariablen $X_{1/n}-X_0$, $X_{2/n}-X_{1/n}$, …, $X_1-X_{1-1/n}$ unabhängig und identisch verteilt und haben eine $\mathcal N(0,1)$-verteilte Summe.

--zippy



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mpc
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-20


Danke, dann ist also, für alle natürlichen \(n\), \(X_\frac{1}{n}\) ~ \(\mathcal{N}(0,\frac{1}{n})\), z.B. über charakteristische Funktionen sichtbar. Und damit folgt auch, dass für alle natürlichen \(n\), und alle natürlichen \(k\): \(X_\frac{k}{n}\) ~ \(\mathcal{N}(0,\frac{k}{n})\).
Also haben wir die positiven rationalen Zahlen abgehakt. Fehlen noch die Irrationalen...




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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-10-20


2019-10-20 17:18 - mpc in Beitrag No. 2 schreibt:
Fehlen noch die Irrationalen...

Das dafür benötigte Stetigkeitsargument solltest du daraus ableiten können, dass wegen (5) fast sicher $X_s\to X_t$ für $s\to t$ und dass aus der fast sicheren Konvergenz die Konvergenz in Verteilung folgt.



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mpc
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-21


Das ist cool, dann kann man für beliebiges \(t\) eine Folge von rationalen Zahlen \((q_n)_n\) , die gegen \(t\) konvergiert, wählen. \(X_{q_n}\) ist wegen den vorherigen Überlegungen dann ~ \(\mathcal{N}(0,q_n)\) für alle \(n\). Ein (mir) bekannter Satz sagt, dass der Grenzwert in Verteilung einer Folge von normalverteilten ZV selbst auch normalverteilt ist, und der Erwartungswert sowie die Varianz die Grenzwerte der Erwartungswerte und Varianzen der Folge sind. Es ist also \(X_t \) ~ \(\mathcal{N}(0,t)\) für alle \(t\), und \(X\) ist doch eine Brownsche Bewegung.

Danke für deine HIlfe!



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