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Analysis » Integration » Sattelpunktsnäherung
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Universität/Hochschule Sattelpunktsnäherung
Skalhoef
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 29.01.2017
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-10-23


Hallo,

ich bemühe mich gerade darum ein paar Rechenschritte im Buch "Statistische Mechanik" von Schwabl (Kapitel 2.2.3.1 "Quantenmechanische harmonische Oszillatoren") nachzuvollziehen und hatte gehofft, dass mir jemand auf die Sprünge helfen könnte.

Man möchte das Integral

$$ \int \frac{\mathrm d k}{2\pi} \mathrm e^{N \left(\mathrm i k (E/N) - \log(2\mathrm i \sin (k \hbar \omega/2))\right)} =: \int \frac{\mathrm d k}{2\pi} \mathrm e^{N f(k)}
$$
berechnen (mit $E$,$\hbar$,$\omega > 0$) und benutzt dafür die Sattelpunktsnäherung.

(Erste Verwirrung: Die Funktion $f$ hängt noch von $N$ ab.)

Dann folgt aber

$$ \mathrm d_k f(k) = 0 \leftrightarrow \mathrm i E/N - \frac{\hbar \omega}{2} \cot \frac{k \hbar \omega}{2} = 0 \text{.}
$$
Insbesondere kann die Nullstelle also nicht reell sein.

Ich dachte bei der Sattelpunktsnäherung wäre die Idee, dass für große N das Maximum der Funktion $f$ immer schärfer wird und das Integrationsgebiet um das Maximum herum das Integral dominiert.

Zweite Verwirrung: Warum findet die Methode hier trotzdem Anwendung? (Obwohl das Maximum nicht im Integrationsbereich liegt). Ich vermute mal, dass man streng genommen noch weitere Informationen über die Größen $E$ und $\omega$ benötigt oder? (Wenn das Maximum nur "nah genug" am Integrationsbereich liegt, dann dominiert dieser Teil entlang der Achse auch das Integral?)


Ich bin für jede Hilfe dankbar.  :-)


Grüße
Skalhoef

P.S.: Das reduzierte Wirkungsquantum $\hbar$ ist bekannt.



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