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Mathematik » Kombinatorik & Graphentheorie » Eine interessante Gleichung
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Universität/Hochschule Eine interessante Gleichung
kokosnusskopf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-10-23 23:39


Hallo Matheforum! Hier eine Teilaufgabe einer sehr interessanten Aufgabe, die sich allgeimein um Induktionsprinzipien über zwei Variablen dreht.



Teilaufgabe (a) habe ich bereits (erfolgreich) bearbeitet:





Es scheint mir, als sei die Lösung hierfür vielleicht sogar recht simpel, trotzdem komme ich einfach nicht drauf.
Vielen Dank schon einmal im Voraus!



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Triceratops
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Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-10-24 00:26


Deine Aufgabe ist im Grunde genommen, $l_{m+1,n+1}$ mit Hilfe von $l_{m,n+1}$ und $l_{m+1,n}$ auszudrücken.

Betrachten wir dazu die Gleichung $x_1 + \cdots + x_{m+1} = n+1$. Wir müssen sie ja irgendwie auf die beiden Gleichungen herunterbrechen, bei denen wir $m$ (statt $m+1$) Summanden bzw. $n$ (statt $n+1$) als Summe haben.
 
Um die Summe auf $n$ zu bringen, bietet sich an, auf beiden Seiten einfach die $1$ abzuziehen. Dann hat man links $x_{m+1}-1$ stehen, was auch ein erlaubter Summand wäre, wenn $x_{m+1} \geq 1$ ist. Wenn hingegen $x_{m+1}=0$ ist, hat man ja gerade $x_1+\cdots +x_m = n+1$ und damit $m$ Summanden.

Reicht das als Tipp? Wenn nicht, kann ich noch mehr erklären. Aber probiere es erst einmal so.



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kokosnusskopf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-24 13:58


2019-10-24 00:26 - Triceratops in Beitrag No. 1 schreibt:
Deine Aufgabe ist im Grunde genommen, $l_{m+1,n+1}$ mit Hilfe von $l_{m,n+1}$ und $l_{m+1,n}$ auszudrücken.

Betrachten wir dazu die Gleichung $x_1 + \cdots + x_{m+1} = n+1$. Wir müssen sie ja irgendwie auf die beiden Gleichungen herunterbrechen, bei denen wir $m$ (statt $m+1$) Summanden bzw. $n$ (statt $n+1$) als Summe haben.
 
Um die Summe auf $n$ zu bringen, bietet sich an, auf beiden Seiten einfach die $1$ abzuziehen. Dann hat man links $x_{m+1}-1$ stehen, was auch ein erlaubter Summand wäre, wenn $x_{m+1} \geq 1$ ist. Wenn hingegen $x_{m+1}=0$ ist, hat man ja gerade $x_1+\cdots +x_m = n+1$ und damit $m$ Summanden.

Reicht das als Tipp? Wenn nicht, kann ich noch mehr erklären. Aber probiere es erst einmal so.

Tausend Dank! Ich denke ich habe es jetzt raus.



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-10-24 18:47


Das ist gut :). Kannst du (für die Nachwelt) noch schreiben, wie $l_{m+1,n+1}$ mit $l_{m,n+1}$ und $l_{m+1,n}$ ausgedrückt werden kann?



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