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Universität/Hochschule J Fast überall verschwindende Funktionen
Zitronenlimonade
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-07


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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-07

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Hallo Zitronenlimonade,

bei welchem Schritt genau hast du Probleme? Bei "$B_n$ Nullmenge für alle $n$ $\Rightarrow$ $\bigcup_n B_n$ Nullmenge", oder bei "$\bigcup_n B_n$ Nullmenge $\Rightarrow$ $f=0$ fast überall"?  

Ersteres folgt aus der $\sigma$-Subadditivität von Maßen. Es ist dann nämlich $\mu\left(\bigcup_{n=1}^\infty B_n\right)\leq\sum_{n=1}^\infty\mu(B_n)=\sum_{n=1}^\infty 0=0$, womit $\mu\left(\bigcup_{n=1}^\infty B_n\right)=0$ ist, diese Vereinigung ist also eine Nullmenge.

Letzteres folgt aus der Nichtnegativität von $f$. Denn $\bigcup_{n=1}^\infty B_n$ ist die Menge, auf der $f>0$. Wegen der Nichtnegativität ist sie gleichzeitig auch die Menge, auf der $f\neq0$, denn kleiner als 0 wird $f$ ja nicht. Da es sich um eine Nullmenge handelt, ist $f$ fast überall 0 (die Ausnahme ist eben diese Nullmenge).

Viele Grüße,
Vercassivelaunos
\(\endgroup\)


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Zitronenlimonade
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-13


Ah okay vielen lieben Dank!

Mir war nicht klar, dass wenn \(f(x)= 0\) fast überall gelten soll, dass es auf der Nullmenge somit nicht 0 sein darf.

Danke für deine Erklärung. :)



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