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Mathematik » Zahlentheorie » Quotienten von Potenzen
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Kein bestimmter Bereich Quotienten von Potenzen
michaeljj
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-12


Hallo,
ich bin darauf gestossen, dass wahrscheinlich gilt:



Habe mit ARIBAS die erste Vermutung bis c=130000 gerechnet und die zweite und dritte mehrere Tage lang mit Zufallszahlen geprüft. Ich finde es erstaunlich, dass ab einem Wert m immer gilt: Der ganzzahlige Teil ist gleich sodass:

(a^n-1)mod(b^n-1) > (a^n)mod(n^nb)
bzw.  
(na-1)mod(nb-1) > (na)mod(nb)

für a > b

Kennt jemand einen Beweis?



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-12


Hallo

deine Vermutung $\left\lfloor\frac{a^n-1}{b^n-1}\right\rfloor=\left\lfloor\frac{a^n}{b^n}\right\rfloor$ stimmt nicht für $a>b^2>1$, da
\[\frac{a^n-1}{b^n-1}-\frac{a^n}{b^n}=\frac{(a^n-1)b^n-a^n(b^n-1)}{b^n(b^n-1)}=\frac{a^n-b^n}{b^n(b^n-1)}>\frac{a^n-b^n}{b^{2n}}\xrightarrow{n\to\infty}\infty.\]
Deine Vermutung $\left\lfloor\frac{na-1}{nb-1}\right\rfloor=\left\lfloor\frac{a}{b}\right\rfloor$ stimmt für genügend große $n$.
\[\frac{na-1}{nb-1}-\frac{a}{b}=\frac{(na-1)b-a(nb-1)}{b(nb-1)}=\frac{a-b}{b(nb-1)}\xrightarrow{n\to\infty}0.\]



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michaeljj
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-12


Hallo,
danke für den Hinweis. Stimmt, für a > b^2 stimmt die Behauptung nicht.

Mich interessiert in erster Linie ein Beweis für die erste Vermutung
(mit 3er und 2er Potenzen) Ist das bekannt?



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-11-12


Das weiß ich nicht, aber es gilt
\[\left\lfloor\frac{3^n-1}{2^n-1}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{3^n}{2^n}\right\rfloor\in\{0,1\}
\] für genügend große $n$. Magst du das mal zeigen?



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michaeljj
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-13


Hallo (J?)ochen,
das dachte ich auch {0,1}, es ist aber immer 0. Das ist ja der Witz. Gerechnet bis n=130000.
Ich habe sehr lange versucht das zu beweisen. Da ich das aber nicht geschafft habe, habe ich mich deshalb an dieses Forum gewandt.
Viele Grüsse
Michael



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-11-13


2019-11-13 18:41 - michaeljj in Beitrag No. 4 schreibt:
Hallo (J?)ochen,
das dachte ich auch {0,1}, es ist aber immer 0. Das ist ja der Witz. Gerechnet bis n=130000.
Um ehrlich zu sein, denke ich nicht, dass  es sehr aussagekräftig ist. Interessant wird es nur, wenn $3^n/2^n$ sehr knapp unter einer ganzen Zahl ist und ich vermute, dass es nicht so häufig der Fall ist, aber ich habe gar keine Ahnung.



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michaeljj
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-14


Hallo Ochen,
ja, das habe ich auch gedacht, als ich vor knapp einem Jahr darauf gestossen bin - wenn 3^n/2^n nur sehr wenig kleiner ist, als die nächst grösserer Ganzzahl, sollte es zu einem "Überlauf" kommen. Scheint aber nicht zu passieren...
Natürlich ist das Berechnen der Werte kein Beweis, auch wenn ein Teilnehmer in einem anderen Mathe-Forum das bis n=10^6 gerechnet und ebenfalls nur "0"  gefunden hat. Auffällig ist es auf jeden Fall.
Immmerhin beruhigt es mich, dass niemand in einem Mathe-Forum auch nur eine Idee hat, wie man daran gehen könnte - auch wenn es mir nicht hilft.

Als Mathematik"Bastler" muss man ja mit der Ungewissheit leben, irgend etwas triviales nicht zu kennen, was ein Mathematikstudent schon im 1sten Semester lernt.



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-11-14


2019-11-14 19:51 - michaeljj in Beitrag No. 6 schreibt:
Immmerhin beruhigt es mich, dass niemand in einem Mathe-Forum auch nur eine Idee hat, wie man daran gehen könnte - auch wenn es mir nicht hilft.

Das weißt du ja gar nicht, vielleicht kann jemand es lösen und hat deine Frage einfach noch nicht gesehen oder findet die Frage nicht interessant genug um sich damit zu beschäftigen.

So lässt sich zum Beispiel sagen, dass $(\sqrt{3}+2)^n$ von unten beliebig nah an eine ganze Zahl herankommt :)
Es ist nämlich $\lfloor(\sqrt{3}+2)^n\rfloor+1=(2+\sqrt{3})^n+(2-\sqrt{3})^n$. Kannst du das zeigen?



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michaeljj
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-15


Hallo,
auf jeden Fall vielen Dank für deine Bemühungen.



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