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Mathematik » Stochastik und Statistik » Anwendung der Faltungsformel
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Universität/Hochschule Anwendung der Faltungsformel
Webee
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-18


Hallo zusammen,

ich habe eine Frage zu Anwendung der Faltungsformel für diskrete Zufallsvariablen. Wenn ich zwei unabhängige gleichverteilte Zufallsvariablen \(X, Y\) auf \(\{1,...,n\}\) und möchte die Dichtefunktion \(f_Z(z)\) der Zufallsvariable \(Z:=X+Y\) bestimmen, dann wird hierfür ja die Faltungsformel verwendet. Da \(X,Y\) gleichverteilt sind, gilt ja \(f_X(x)=f_Y(y)=\frac{1}{n}\) für alle \(x,y\in \{1,...,n\}\). Mit der Faltungsformel folgt dann \(f_Z(z)=\sum\limits_{x=1}^n{f_X(x)\cdot f_Y(z-x)}=\frac{1}{n}\cdot \sum\limits_{x=1}^n{f_Y(z-x)}\).

Jetzt frage ich mich, wie ich genau \(f_Y(z-x)\) betrachten soll. Der Wertebereich von \(Z\) ist ja \(\{2,...,2n\}\), d.h. falls z.B. \(z=n\) ist, ist dann ja nur für \(x=n\) \(f_Y(z-x)=\frac{1}{n}\) und ansonsten \(0\).

Irgendwie habe ich da aber nicht so ganz den Durchblick, wie man \(f_Z(z)\) am besten aufschreiben soll.

Über eine Hilfestellung würde ich mich sehr freuen.

Viele Grüße
Webee



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-18


Hallo,

unterscheide die Fälle $z\leq n$ und $z\geq n+1$.

Für $z\leq n$ gilt
\[f_Z(z)\overset{(1)}{=}\sum\limits_{x=1}^{n}{f_X(x)\cdot f_Y(z-x)}=\frac{1}{n}\cdot \sum\limits_{x=1}^n{f_Y(z-x)}\overset{(2)}{=}\sum\limits_{x=1}^{z-1}{f_Y(z-x)}=\frac{z-1}{n^2}.\] An der Stelle (1) hast du schon bewusst oder unbewusst genutzt, dass $f_X(x)=0$ für $x\notin\{1,\ldots,n\}$ gilt. An der Stelle (2) musst du $f_Y(z-x)=0$ für $z-x\notin\{1,\ldots,n\}$ nutzen.
Versuche den zweiten Fall selbst zu lösen.



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Webee
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-18


Hallo,

vielen Dank für deine Antwort. Für \(z\geq n+1\) würde dann ja mit den gleichen Argumenten gelten:
\(f_Z(z)=\sum\limits_{x=1}^n{f_X(x)\cdot f_Y(z-x)}=\frac{1}{n}\cdot \sum\limits_{x=1}^n{f_Y(z-x)}=\frac{1}{n}\cdot \sum\limits_{x=z-n}^{z-1}{f_Y(z-x)}=\frac{1}{n}\)
Dieser Ausdruck irritiert mich aber ein bisschen, da hier gar kein \(z\) mehr vorkommt. Oder habe ich mich bei der Indexverschiebung vertan?

Eine andere Frage: Wurde vor dem letzten Gleichheitszeichen das \(\frac{1}{n}\) vergessen oder übersehe ich da einen Schritt?

Viele Grüße
Webee



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Webee
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-18


Okay, ich habe meinen Fehler gefunden. Es sollte
\(f_Z(z)=\sum\limits_{x=1}^n{f_X(x)\cdot f_Y(z-x)}=\frac{1}{n}\cdot \sum\limits_{x=1}^n{f_Y(z-x)}=\frac{1}{n}\cdot \sum\limits_{x=z-n}^{n}{f_Y(z-x)}=\frac{2n-z+1}{n^2}\)
Ich habe nicht beachtet, dass der obere Index nicht größer als \(n\) sein darf, ansonsten würde nicht \(f_X(x)=\frac{1}{n}\), sondern \(f_X(x)=0\) für \(x>n\) sein.



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