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Matroids Matheplanet Forum Index » Rätsel und Knobeleien (Knobelecke) » * 44/53
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Kein bestimmter Bereich * 44/53
MartinN
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-30


Bekanntlich lassen sich alle positiven, rationalen Zahlen (kleiner als 1) als Summe von verschiedenen Stammbrüchen darstellen.
\(\frac{p}{q} = \sum_i \frac{1}{s_i}; 0 < p < q; s_i \neq s_j; p,q,s_i \in \IN\)

[Anmerkung: Dies kann man erweitern auch auf rationale Zahlen größer-gleich 1, indem man die nächst kleinere, ganze Zahl als Summand davor setz; und auf negative Zahlen, indem man die nächst kleinere, ganze, negative Zahl als Summand davor setzt]

Aber jetzt zur eigentlichen Aufgabe... finde eine Darstellung für 44/53.



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Dies ist eine Knobelaufgabe!
Der Themensteller hat bestimmt, dass Du Lösungen oder Beiträge zur Lösung direkt im Forum posten darfst.
Bei dieser Aufgabe kann ein öffentlicher Austausch über Lösungen, Lösungswege und Ansätze erfolgen. Hier musst Du keine private Nachricht schreiben!
MartinN
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-30


Gold geht an pzktupel (per PN geschickt)



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MartinN
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-30


Um die Schwierigkeit zu erhöhen... kommt ihr mit möglichst kleinen Nennern aus? [also gemeint ist der größte Nenner, und dieser solle Minimal werden]

Nach Schema F werden die Nenner etwas größer... Aber gibt ja noch viele andere Möglichkeiten ^^



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-11-30


Hi MartinN,
hier ist eine Lösung:
fed-Code einblenden
Gruß Buri



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MartinN
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-30


Ja, das ist eine Lösung...
Silber an Buri

Auch wenn die Nenner noch weit weg vom Optimum [oder zumindest meienr besten Lösung] sind...



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querin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-11-30


Hallo MartinN,

ich hätte
\[\frac{44}{53}=\frac12+\frac14+\frac1{24}+\frac1{27}+\frac1{1272}+\frac1{1431}\]
LG querin



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pzktupel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-11-30


@TE Deines mit 53*14 könnte das Minimum sein.

Ich wollte über 53*2*2*3=636 was erreichen, und es kam nur:

\[\frac{44}{53}=\frac12+\frac14+\frac1{24}+\frac1{32}+\frac1{159}+\frac1{1024}+\frac1{162816}\]
Aber wesentlich besser als mein erster Vorschlag.



-----------------
Pech in der Liebe , Glück im Verlieren !!!



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stpolster
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-11-30


Mein Vorschlag:
<math>
\frac{44}{53} = \frac{1}{2}
+ \frac{1}{4}
+ \frac{1}{14}
+ \frac{1}{212}
+ \frac{1}{371}
+ \frac{1}{742}
</math>



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Kay_S
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-11-30


Ich biete:

\[\frac{44}{53} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{20} + \frac{1}{53} + \frac{1}{106} + \frac{1}{530}\]



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Kay_S
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-11-30


Noch besser ist:
\[\frac{44}{53} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{24} + \frac{1}{53} + \frac{1}{106} + \frac{1}{212} + \frac{1}{318} + \frac{1}{424}\]
EDIT:
\[\frac{44}{53} = \frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{9} + \frac{1}{106} + \frac{1}{265} + \frac{1}{315} + \frac{1}{371}\]
Diese Art Aufgabe ist ja hier nicht neu. Eine Lösungsmethode ist hier beschrieben.



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MartinN
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-30


Sehr schön ^^
Meine bisherigen Lösungen (außer jene nach Schema F die sehr große Nenner liefert - kann ich auch noch vorstellen):
\(\frac{44}{53}\\
= (1 + \frac{1}{53}) \cdot (\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27})\)
[daran erkennt man gut, wie ich meine Lösungen versucht hab zu verbessern]

\(= (1 + \frac{1}{53}) \cdot (1+\frac{1}{4}+\frac{1}{18}) - \frac{1}{2}\)
[aus der 1 wird hier dann der Stammbruch 1/2]

\(= (1 + \frac{1}{53}) \cdot (\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}) - \frac{1}{8}\)
[1/8 wird nach dem Ausmultiplizieren gestrichen]

Etwas aus der Reihe:
\(= (1 + \frac{1}{53}) \cdot (\frac{1}{4}+\frac{1}{14}) + \frac{1}{2} + \frac{1}{7 \cdot 53}\)

Und mein Optimum bisher:
\(= (1 + \frac{1}{53}) \cdot (1 + \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{8}+\frac{1}{12}) - 1 - \frac{1}{4}\)
[aus der 1/2 wird hier dann der Stammbruch 1/4 und eine 1 wird gestrichen]


Unter 12*53 kam ich aber bisher nicht ^^
Daher sehr gut @Key_S



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MartinN
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-30


Noch etwas zum Hintergrund...

Der Bruch a/b lässt sich nach Schema F wie folgt in Stammbrüche zerlegen:
\(\frac{a}{b} = \frac{a}{sa-r} = \frac{1}{s} + \frac{sa - (sa-r)}{s \cdot (sa-r)} = \frac{1}{s} + \frac{r}{s \cdot (sa-r)}\)

Mit:
\(s = \lceil \frac{b}{a} \rceil; s > 1\\
r = as - b; 0 \leq r < a\)

Dabei sieht man auch, dass für den verbleibenden Rest gilt: Der Zähler r wird kleiner und bleibt ein natürliche Zahl (damit muss er irgendwann 0 werden und das Verfahren endet). Der Nenner wird immer größer und somit wiederholt sich kein Stammbruch 1/s (da für den nächsten Stammbrucht wieder gilt: \(s' \geq b'/a' = \frac{sb}{r} > s \cdot \frac{b}{a} > s\)

Das Verfahren ist dabei:
\(s = \lceil \frac{b}{a} \rceil\\
a \to as - b\\
b \to bs\)
[so würde ich es schreiben]



Hierbei treten sehr schnell sehr große Nenner auf... daher hab ich auch 44/53 als Bsp genommen, denn in 8 Schritten erhält man dort schnell sehr große Nenner:
\(\frac{44}{53} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{13} + \frac{1}{307} + \frac{1}{120871} + \frac{1}{20453597227} + + \frac{1}{697249399186783218655} + \frac{1}{1458470173998990524806872692984177836808420}\)



Daher ging es hierbei darum, wie man das verbessern kann...
Man muss versuchen denn Nenner klein zu halten... er solle sich nicht vergrößern. Dabei ziehen wir einen etwas kleineren Bruch vom ursprünglichen Bruch ab. Wir suchen also ein d, so dass:
\(\frac{a}{b} = \frac{a}{sa-r} = \frac{1}{s+d} + \frac{(s+d)a - (sa-r)}{(s+d) \cdot (sa-r)} = \frac{1}{s+d} + \frac{ad+r}{(s+d) \cdot (sa-r)}\)
...nicht zu einer Vergrößerung des Nenners führt:


Methode 1 (seltener der Fall):
\(\frac{ad+r}{s+d} = n \in \IN\)

Damit erhält man:
\(\frac{a}{b} = \frac{1}{s+d} + \frac{n}{b}\)

Und auch der verbleibende Bruch wird kleiner, da:
\(\frac{ad+r}{s+d} = n < a\\
\to r < as\\
\to 0 < as-r = b\)

Diese Methode macht zum Beispiel aus 3/10 schnell 1/5 + 1/10 ;)
\(\frac{3}{10} = \frac{1}{4+1} +  \frac{3\cdot 1 + 2}{(4+1) \cdot (4 \cdot 3 - 2)} = \frac{1}{5} +  \frac{5}{5 \cdot 10} = \frac{1}{5} +  \frac{1}{10}\)
Schema F würde selbst 3/10 nicht so bearbeiten, sondern käme auf: \(\frac{3}{10} = \frac{1}{4} + \frac{1}{20}\)


Methode 2 (häufiger der Fall, zumindest subjektiv):
\(\frac{ad+r-1}{s+d} = n \in \IN\)

Damit erhält man:
\(\frac{a}{b} = \frac{1}{s+d} + \frac{1}{(s+d) \cdot b} + \frac{n}{b}= (1 + \frac{1}{b}) \cdot \frac{1}{s+d} + \frac{n}{b}\)

Und auch hierbei wird der verbleibende Bruch kleiner, da:
\(\frac{ad+r-1}{s+d} = n < a\\
\to r-1 < as\\
\to -1 < as-r = b\)

Diese Methode hat man in meinem letzten Post bei 44/53 gut gesehen und hat zum größten Nenner 27*53 geführt.

Optimieren muss man dann wohl weiter per Hand, oder anderen fällt noch eine bessere Methoden ein. Aber so lassen sich schon gut die Brüche in Stammbrüche umwandeln (und der Nenner wird nicht zu groß).



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2019-11-30


Mal eine Frage. Alle bisherigen Vorschläge benötigten sechs Stammbrüche oder mehr. Ist es eigentlich klar, dass es nicht mit fünf geht? Das wäre doch auch ein schöner Rekord.

Grüße
StrgAltEntf



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pzktupel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2019-12-01


Gibt es denn ein Vorschrift, exakt die Nennersumme aufs kleinste zu reduzieren ? Kay_S zeigte mit 7*53 was feines. Ginge auch 5*53 oder 2*53 ?


-----------------
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haegar90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2019-12-01


..ist leider so nicht regelkonform  😎

$$\frac{44}{53}+\frac{1}{318}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$$


-----------------
Gruß haegar



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xiao_shi_tou_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2019-12-01

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$$\frac{44}{53}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{22}+\frac{1}{53}+\frac{1}{159}+\frac{1}{212}+\frac{1}{318}+\frac{1}{583}$$ Ich glaube, den Rekord von Kay_S mit $371$ wird so schnell niemand knacken :D.


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”己所不欲,勿施于人“(Konfuzius)
PS: Falls ich plötzlich aufhöre in einem Thread zu antworten, dann kann es sein, dass ich es vergessen habe. Ihr könnt mir in diesem Fall eine Private Nachricht schicken.
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xiao_shi_tou_
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2019-11-30 23:39 - StrgAltEntf in Beitrag No. 12 schreibt:
Mal eine Frage. Alle bisherigen Vorschläge benötigten sechs Stammbrüche oder mehr. Ist es eigentlich klar, dass es nicht mit fünf geht? Das wäre doch auch ein schöner Rekord.

Grüße
StrgAltEntf

$$\frac{44}{53}=\frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{9} + \frac{1}{53} + \frac{1}{4770}$$
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pzktupel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2019-12-01


Hm, so eine einfache Aufgabenstellung und so rechenintensiv.

Sollte es kleinere Werte als 371 geben, so müsste die Summandenanzahl wahrscheinlich >9 sein.

Es ergeben sich mit 371 auch:

Nenner:
(2,4,20,70,106,265,371)
(2,4,21,53,159,212,371)
(2,4,21,60,106,265,371)
(2,4,28,35,106,265,371)
(2,5,9,106,265,315,371)* <- Kay_s
(2,5,10,70,106,265,371)
(2,5,15,21,106,265,371)
(2,6,7,106,210,265,371)
(2,6,10,21,106,265,371)
(2,7,10,14,106,265,371)

Mehr gibts wohl nicht...mit 7 Summanden



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Pech in der Liebe , Glück im Verlieren !!!



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MartinN
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-01


Mich würde ja eher interessieren, ob man da eine Grenze angeben kann... und ob man für jeden Bruch eine Methode angeben kann, so dass man die Grenze nicht überschreitet.
Etwa: \(max(s_i) \leq b^2\)

Wenn mein bisheriges Programm immer nur Methode 1 oder 2 anwendet, so gibt es zahlen, für die es irgendwann nur \(d = as-s-r\) findet und dann nach Methode 1: \(1/(s+d) = 1/b\) abzieht... also einfach immer dieselben Stammbrüche mit dem Nenner des Ausgangsbruches. Um dies dann zu verhindern müsste man den Nenner erhöhen (also zB nach Schema F oder anders was abziehen).
Dafür wendet es in den Schritten davor, sofort Methode 1 oder Methode 2 an, sollte dies für ein d möglich sein. Eventuell sollte man da auch mal ein höheres d nehmen und später muss man dann nicht dafür immer 1/b abziehen.

Vielleicht hat ja jemand Ideen, ob es so eine Grenze gibt oder wie man für diese Grenze immer eine Zerlegung bestimmen könnte. Vielleicht kann man ja immer unter b^2 bleiben, aber dann muss man vielleicht bei manchen Beispielen eher suchen als nach einer festen Methode eine Lösung bestimmen.



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Kay_S
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, eingetragen 2019-12-02


Man kann konstruktiv zeigen, dass jeder gekürzte Bruch <math>\frac{m}{n} < 1</math> darstellbar ist als Summe höchstens <math>n</math> verschiedener Stammbrüche mit Nennern kleiner gleich <math>n(n-1)</math>.

Idee:
Berechne <math>m" = m^{-1} (\textnormal{mod } n)</math> und das zugehörige <math>r</math> mit <math>mm" = rn + 1</math> (z.B. mit dem Erweiterten Euklidischen Algorithmus), dann gilt die Zerlegung

<math>\frac{m}{n} = \frac{r}{m"} + \frac{1}{m"n}</math>

Nun wiederholt man den Prozess und zerlegt auf gleiche Weise <math>\frac{r}{m"}</math> bis nur noch Stammbrüche übrigbleiben.

Da <math>r < m" < n</math> bricht der Prozess nach höchstens <math>n</math> Schritten ab und die produzierten Nenner haben Maximalwert <math>n(n-1)</math>.

Siehe auch hier.




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MartinN
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-02


Dann war meine n^2 Grenze ja gar nicht so falsch xD
Aber sind alle m'n (stammbrüchse) dann auch verschieden? Muss mir das mal genauer anschauen xD



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MartinN
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.21, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-05


2019-12-02 13:01 - Kay_S in Beitrag No. 19 schreibt:
Man kann konstruktiv zeigen, dass jeder gekürzte Bruch <math>\frac{m}{n} < 1</math> darstellbar ist als Summe höchstens <math>n</math> verschiedener Stammbrüche mit Nennern kleiner gleich <math>n(n-1)</math>.

Idee:
Berechne <math>m" = m^{-1} (\textnormal{mod } n)</math> und das zugehörige <math>r</math> mit <math>mm" = rn + 1</math> (z.B. mit dem Erweiterten Euklidischen Algorithmus), dann gilt die Zerlegung

<math>\frac{m}{n} = \frac{r}{m"} + \frac{1}{m"n}</math>

Nun wiederholt man den Prozess und zerlegt auf gleiche Weise <math>\frac{r}{m"}</math> bis nur noch Stammbrüche übrigbleiben.

Da <math>r < m" < n</math> bricht der Prozess nach höchstens <math>n</math> Schritten ab und die produzierten Nenner haben Maximalwert <math>n(n-1)</math>.

Siehe auch hier.

Danke für die Idee ^^
Die Methode gefällt mir offiziell... statt immer kleiner werdende Stammbrüche zu erzeugen, beginnt man hier mit einem passenden kleinen Stammbruch (= großer Nenner). Und mir gefällt auch, wie die Nenner immer aus einem Faktor des vorherigen Nenners bestehen.
Ist jetzt meine Lieblingsmethode, auch weil es die Nennergröße auf maximal \(b \cdot (b-1)\) und die Stammbruchanzahl auf maximal \(a\) begrenzt...

Diese Maxima werden dabei erzeugt von:
\(\frac{a}{b} = \frac{n}{n+1} = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i \cdot (i+1)}\)


Mein Programm dazu:
JavaScript
function start () {
var max = 100
var zmax = 0
for (N = 3; N <= max; N++) {
for (Z = 2; Z < N; Z++) {
  var a = Z  //Zähler
  var b = N  //Nenner
  var z = 0  //Zählt Anzahl der Stammbrüche
  var c = 0  //möglicher neuer Zähler
  var d = 0  //möglicher neuer Nenner
  var s = 0  //s = ad - bc, sei s = 1: a/b = c/d + 1/(db) mit 0 < c < a, 0 < d < b
//Bedingung: a und b teilerfremd (sonst: s = k*gcd(a,b) <> 1), dann auch c und d teilerfremd
 
  document.write (a+"/"+b+" = [")
  while (a > 0) {
    s = a
    c = 0
    d = 1
//Startbedingung
 
    while (s != 1) {
      if (s < 0) {s += a; d++}
      if (s > 1) {s -= b; c++}
      if (s == 0) {document.write("ungekürzt"); break}
    }
//s auf 1 bringen, oder wenn s = 0, so waren a und b nicht teilerfremd (spätestens: c = a und d = b: s = ab - ab = 0)
 
    if (s == 1) {
      document.write(b+"*"+d+",")
      a = c
      b = d
      z++
    }
    else {
      a = 0
    }
//Stammbruch notieren und neuen Bruch c/d definieren, oder Verfahren abbrechen
 
  }
  document.write (" z = "+z+"]<br>")
  if (z > zmax) {zmax = z}
}}
document.write ("zmax = "+zmax)
}

Das liefert:
\(\frac{44}{53} = \frac{1}{53 \cdot 47} + \frac{1}{47 \cdot 41} + \frac{1}{41 \cdot 35} + \frac{1}{35 \cdot 29} + \frac{1}{29 \cdot 23} + \frac{1}{23 \cdot 17} + \frac{1}{17 \cdot 11} + \frac{1}{11 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 1}\)



Vielleicht kann man durch folgende Methode auch noch kleinere Nenner finden:
\(\frac{a}{b} = \frac{z}{\prod u_i} + \sum \frac{1}{u_i \cdot b} \to \prod u_i \cdot a - z \cdot b = \prod u_i \cdot \sum \frac{1}{u_i}\\
z < a; \prod u_i < b; b > u_i > u_{i+1}\)
Das mag ich mir mal überlegen, ob man so noch unter 7*53 kommt xD



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pzktupel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.22, eingetragen 2019-12-05


Unter 7*53 ? , bin gespannt.
Summandenanzahl wird aber >=10 sein.
Ich denke, es wird dazu etwas geben...und wenn es 15-20 Summanden sind.


-----------------
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MartinN
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.23, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-05


Ich hab mal mit der Methode systematisch bis 14*b im Nenner gesucht xD

Hier mein kleines Programm... [ohne Erklärung]
JavaScript
function start () {
var a = 44
var b = 53
var maxf = 14
 
var p = 1
var o = 1
var r = 0
var P = 1
var O = 1
 
for (i = 1; i < Math.pow(2,maxf); i++) {
  var n = i
  var f = []
 
  var j = 1
  while (n > 0) {
    if (n%2 == 0) {j++; n /= 2}
    else {f.push(j); j++; n--; n /= 2}
  }
 
  p = 1
  for (j = 0; j < f.length; j++) {
    p *= f[j]
  }
 
  r = 0
  for (j = 0; j < f.length; j++) {
    r += p/f[j]
  }
 
  o = (p*a-r)/b
  if (o%1 == 0) {
    P = p
    O = o
    while (P != O) {
      if (P > O) {P -= O}
      if (O > P) {O -= P}
    }
    p /= P
    o /= O
 
    if (p < b) {
      document.write(a+"/"+b+" = ")
      for (j = 0; j < f.length; j++) {
        document.write("1/"+f[j]+"*"+b+" + ")
      }
      document.write(o+"/"+p+"<br>")
    }
  }
}}


Da kam ich nur auf diese Zerlegungen:
44/53 = 1/1*53 + 1/2*53 + 1/4*53 + 1/6*53 + 1/8*53 + 19/24
44/53 = 1/1*53 + 1/2*53 + 1/10*53 + 4/5
44/53 = 1/1*53 + 1/3*53 + 1/6*53 + 1/10*53 + 4/5
44/53 = 1/1*53 + 1/2*53 + 1/4*53 + 1/11*53 + 35/44
44/53 = 1/1*53 + 1/3*53 + 1/4*53 + 1/6*53 + 1/11*53 + 35/44
44/53 = 1/1*53 + 1/2*53 + 1/3*53 + 1/8*53 + 1/12*53 + 19/24
44/53 = 1/1*53 + 1/4*53 + 1/6*53 + 1/10*53 + 1/12*53 + 4/5
44/53 = 1/1*53 + 1/2*53 + 1/6*53 + 1/11*53 + 1/12*53 + 35/44
44/53 = 1/4*53 + 1/7*53 + 1/14*53 + 23/28
44/53 = 1/6*53 + 1/7*53 + 1/12*53 + 1/14*53 + 23/28

Also selbst unter 7*53 kam ich nicht :S (der letzte Bruch sollte ein Bruch sein mit kleineren Nenner als b = 53 - den man dann noch weiter zerlegen müsste mit der Schranke f*53)

Ich glaub das hilft nicht viel weiter...



Edit
19/24 zerlegt mein altes Programm in 1/2 + 1/4 + 1/24... also wäre insgesamt meine beste Lösung bisher:
44/53 = 1/1*53 + 1/2*53 + 1/4*53 + 1/6*53 + 1/8*53 + 1/24 + 1/4 + 1/2



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MartinN
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.24, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-05


Okay, ich hab mal die Bedingung p < b weggelassen (also das Produkt der Vielfachen von b im Stammbruch bzw. Nenner des Restbruches o/p muss nicht kleiner als b sein), und da kam ich auf:
44/53 = 1/1*53 + 1/3*53 + 1/4*53 + 1/7*53 + 67/84

Und 67/84 zerlegt mein altes Programm in:
67/84 = 1/2 + 1/4 + 1/21

Also hab ich jetzt zumindest auch eine Lösung mit 7*53:
44/53 = 1/1*53 + 1/3*53 + 1/4*53 + 1/7*53 + 1/21 + 1/4 + 1/2


Ich werde besser xD



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haribo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.25, eingetragen 2019-12-06


für 42 gibt es doch bekanntlich immer ne antwort

zieh also erstmal von 44/53  (1/53+1/2*53+1/3*53+1/2*3*53)ab, dann bleiben 42/53 übrig



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pzktupel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.26, eingetragen 2019-12-06


Also wie gesagt, für 9 Summanden sowie maximal 1/(4..6*53) habe ich nichts gefunden.


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haribo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.27, eingetragen 2019-12-06


die idee wäre eine kaskade von sehr viel mehr stammbrüchen zu versuchen
also als zwischenschritte nach jeweils durchaus mehreren subtraktionen
44/53...42/53...xx/yy...(xx-2)/yy... usw



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MartinN
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.28, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-06


So... ich glaube es gibt keine Zerlegung mit einem Stammbruch < 7*53. Denn wenn man von 44/53 jede Kombination aus 1/(1*53) bis 1/(6*53) abzieht, so entsteht immer ein Bruch, deren Nenner durch 53 teilbar ist: u/(53v)

Da 53 eine Primzahl ist, benötigt man für die Darstellung von 44/53 mindestens einen Stammbruch, deren Nenner ein Vielfaches von 53 ist. Angenommen diese Stammbrüche aus Vielfachen von 53 als Nenner seien alle höchsten 6*53 und demnach nur eine Kombination aus 1/(1*53) bis 1/(6*53). So muss man den Rest (also das u/(53v)) ohne einen Stammbruch, deren Nenner ein Vielfaches von 53 ist, darstellen können, damit diese Kombination alle Stammbrüche der Form enthält.
Jedoch ist der Nenner des Restes immer durch 53 teilbar und benötigt für deren Darstellung auch mindestens einen Stammbruch, deren Nenner ein Vielfaches von 53 ist. Dies ist ein Widerspruch dazu, dass die Kombination alle solche Brüche enthielt.

Das sollte doch als Beweis genügen, oder fehlt da was?


Somit enthält die Darstellung von 44/53 mindestens einen Stammbruch 1/(k*53) mit k > 6.



Edit: wenn ich 1/7*53 zulasse, so gibt es die Kombinationen (dessen Nenner des Restes nicht durch 53 teilbar sind):
44/53 = 1/1*53 + 1/3*53 + 1/4*53 + 1/7*53 + 67/84
44/53 = 1/2*53 + 1/5*53 + 1/7*53 + 57/70
44/53 = 1/3*53 + 1/5*53 + 1/6*53 + 1/7*53 + 57/70

pzktupel hat da ja schon mal gesucht...
(1,3,4,7)-Kombi in: (2,4,21,53,159,212,371)

(2,5,7)-Kombi in: (2,4,20,70,106,265,371), (2,4,21,60,106,265,371), (2,4,28,35,106,265,371), (2,5,9,106,265,315,371), (2,5,10,70,106,265,371), (2,5,15,21,106,265,371), (2,6,7,106,210,265,371), (2,6,10,21,106,265,371), (2,7,10,14,106,265,371)

(3,5,6,7)-Kombi in: Diese fehlen bei pzktupel und entstehen aus den oberen indem man (2,5,7) durch (3,5,6,7) entsprechend austauscht.

Weiß nicht ob das alle Möglichkeiten sind (wie man den Rest-Bruch mit Nennern kleiner 7*53 darstellen kann) - aber diese Suche entspricht auch meinen Ergebnis, dass nur dies Kombis möglich sind.



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MartinN
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.29, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-06


@Kay_S

Bei den Verlinkungen zu den letzten Jahren hab ich gefunden:

2016/2017 = 1/2*2017 + 1/3*2017 + 1/5*2017 + 1/7*2017 + 1/8*2017 + 1/10*2017 + 839/840
2016/2017 = 1/1*2017 + 1/2*2017 + 1/4*2017 + 1/5*2017 + 1/7*2017 + 1/8*2017 + 1/9*2017 + 1/11*2017 + 27673/27720
2016/2017 = 1/1*2017 + 1/3*2017 + 1/4*2017 + 1/5*2017 + 1/6*2017 + 1/7*2017 + 1/8*2017 + 1/9*2017 + 1/11*2017 + 27673/27720
...
Also unter 10*2017 geht es da nicht (war auch dort das Optimum)


Und für 2017/2018 musste ich mein Programm etwas umschreiben, da 2018 nicht prim ist. Generell kann man da so suchen:
\(\frac{a}{b \cdot p} = \sum \frac{1}{s_i} \to \frac{a}{p} = \sum \frac{b}{s_i}\)
Also statt Stammbrüche sucht man hier b-fache von Stammbrüchen, und p ist ein geeigneter (großer) Primfaktor (hier 1009).
2017/1009 = 2/3*1009 + 2/7*1009 + 2/8*1009 + 2/10*1009 + 839/420
2017/1009 = 2/4*1009 + 2/7*1009 + 2/8*1009 + 2/10*1009 + 2/12*1009 + 839/420
2017/1009 = 2/1*1009 + 2/2*1009 + 2/3*1009 + 2/4*1009 + 2/5*1009 + 2/10*1009 + 2/11*1009 + 2/12*1009 + 329/165
...
Somit geht es hierbei unter 10*1009 nicht (war auch dort das Optimum).


JavaScript
<html><body onload="start()"><script>
function start () {
var a = 2017
var b = 1009
var c = 2
var maxf = 12
 
var p = 1
var o = 1
var r = 0
var P = 1
var O = 1
 
for (i = 1; i < Math.pow(2,maxf); i++) {
  var n = i
  var f = []
 
  var j = 1
  while (n > 0) {
    if (n%2 == 0) {j++; n /= 2}
    else {f.push(j); j++; n--; n /= 2}
  }
 
  p = 1
  for (j = 0; j < f.length; j++) {
    p *= f[j]
  }
 
  r = 0
  for (j = 0; j < f.length; j++) {
    r += p/f[j]
  }
  r *= c
 
  o = (p*a-r)/b
  if (o%1 == 0) {
    P = p
    O = o
    while (P != O) {
      if (P > O) {P -= O}
      if (O > P) {O -= P}
    }
    p /= P
    o /= O
 
    document.write(a+"/"+b+" = ")
    for (j = 0; j < f.length; j++) {
      document.write(c+"/"+f[j]+"*"+b+" + ")
    }
    document.write(o+"/"+p+"<br>")
  }
}}
</script></body></html>



Mit der Methode kann man vielleicht immer die Darstellung mit den kleinsten Nennern finden (vorausgesetzt der darzustellende Bruch hat einen großen Primfaktor)



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2019-12-06 21:39 - MartinN in Beitrag No. 28 schreibt:
So... ich glaube es gibt keine Zerlegung mit einem Stammbruch < 7*53. Denn wenn man von 44/53 jede Kombination aus 1/(1*53) bis 1/(6*53) abzieht, so entsteht immer ein Bruch, deren Nenner durch 53 teilbar ist: u/(53v)

Hi MartinN,

Aus meiner Sicht ist dein Argument korrekt. Ich gehe davon aus, dass du alle 2^6 Möglichkeiten durchprobiert hast? Dann wäre das offensichtlich schon der Nachweis, dass mindestens 7*53 im Nenner vorkommen muss. Es wären auch 'nur' 64 Möglichkeiten durchzuprobieren.

Dazu noch folgende allgemeinere Überlegung:
Ist \(\frac{p}{q}\) mit einer Primzahl \(q\) zu zerlegen, so würde die Subtraktion einer Auswahl aus \(\{\frac{p}{q}, \frac{p}{2q}, ..., \frac{p}{kq}\}\) mit Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{q}\) dazu führen, dass im Ergebnis die Primzahl \(q\) im Nenner verschwindet. Da es \(2^k\) Möglichkeiten der Auswahl gibt, würde also etwa \(k \approx \log_2(q)\) für die Existenz einer solchen Kombi ausreichen. Dann wäre eine Zerlegung mit Nenner \(\leq kq\) möglich.
Natürlich müsste auch der Restbruch noch zerlegt werden, dieser enthält im Nenner jedoch nur Primfaktoren \(\leq k\), eine Zerlegung mit Nennern \(< kq\) ist daher sehr wahrscheinlich.

Kay



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