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Mathematik » Geometrie » Bestimmung Achse 2-dimensionale Rotation Kreis
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Beruf Bestimmung Achse 2-dimensionale Rotation Kreis
polognemuc
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 08.12.2019
Mitteilungen: 5
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-12-08


Liebe Geometrie-Spezialisten,

ich habe eine Frage, zur zweidimensinalen Rotation eines Kreises.

Ein Kreis mit Mitelpunkt M rotiert nach rechts in einer Ebene und legt bei 12 Uhr die Strecke s1 zurück und bei 3 Uhr die Strecke s2. Wenn man annimmt, dass s2>s1 ist, dann müsste der Rotationspunkt bzw. die Achse links vom Mittelpunkt des Kreises liegen. Wie kann man das berechnen bzw. in einer Formel darstellen.

Vielen Dank für Eure Hilfe und entschuldigt bitte meine laienhaften Formulierungen!




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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 2612
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-12-08


Hallo polognemuc und willkommen hier auf dem Matheplanet!

Also ganz ehrlich: ich werde aus deiner obigen Problembeschreibung nicht schlau. Was meinst du genau mit Rotation? Für mich hört sich das am ehesten so an, als ob irgendeine Abrollbewegung betrachtet werden soll und für zwei Winkel dabei der Abrollweg gegeben ist.

Du solltest das aber auf jeden Fall noch präziser beschreiben, eventuell auch mit einer Skizze illustrieren.

Du hast auf der linken Seite einen Bereich UPLOAD, dort kannst du Bilder hochladen und dann in deine Beiträge verlinken, so dass sie dort sichtbar werden.


Gruß, Diophant



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polognemuc
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 08.12.2019
Mitteilungen: 5
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-10


Hallo Diophant,

Schon mal ganz herzlichen Dank für Deine schnelle Antwort. Es handelt sich in der Tat um eine Art Abrollbewegung. Und bei genauerer Betrachtung scheint mir auch eine Ellipse geeigneter als ein Kreis.
Ich habe zum einfacheren Verständnis meiner Frage eine Skizze erstellt. Ausgangspunkt ist eine Ellipse E mit Zentrum Z und den bekannten Radien a und b. Diese Ellipse soll nun um eine Achse RA rotieren bzw. abrollen (zu Position E’), die auf der Verlängerung von b liegt. Die Strecken S1 und S2 sind bekannt.
Wie kann man nun (zumindest näherungsweise) die Position von RA berechnen?



Ich hoffe ich konnte meine Frage etwas präzisieren.

Vielen Dank für die Hilfe!




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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 2612
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-12-10

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

ich verstehe dann in der Zeichnung etwas nicht: die lange Halbachse der Ellipse \(E'\) sollte doch, bei Rotation um \(\on{RA}\), nach wie vor durch diesen Punkt gehen.

Dann müsste der Schnittpunkt der Halbachsen \(b\) und \(b'\) eigentlich der Punkt \(\on{RA}\) sein, oder habe ich das falsch verstanden?


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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polognemuc
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 08.12.2019
Mitteilungen: 5
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-10


Ja, das müsste wohl so sein, wie du sagst. Kann man diesen Schnittpunkt irgendwie berechnen, wenn man a und b sowie S1 und S2 kennt?



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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 2612
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-12-10

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

2019-12-10 18:43 - polognemuc in Beitrag No. 4 schreibt:
Ja, das müsste wohl so sein, wie du sagst. Kann man diesen Schnittpunkt irgendwie berechnen, wenn man a und b sowie S1 und S2 kennt?

Wenn mich gerade nicht alles täuscht, dann sind das zu wenig Angaben. Im Zentrum bilden ja die Halbachsen einen rechten Winkel. Wenn du dir jetzt mal nur die rechte und die obere der neuen Halbachsen zusammen mit deinem Zentrum \(Z'\) ansiehst, und außerdem die Enden \(S_1\) und \(S_2\) der Verschiebungspfeile, dann liegt das Zentrum \(Z'\) irgendwo auf dem Thaleskreis über der Strecke \(\overline{S_1S_2}\).

Heißt, damit das eindeutig wird benötigt man eine weitere Angabe, etwa den Rotationswinkel.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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polognemuc
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 08.12.2019
Mitteilungen: 5
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-10


Würde es helfen, wenn man den sehr spitzen Winkel alpha (zw Ankathete und Hypothenuse) im rechtwinkligen Dreieck von S1 und/oder den korrespondierenden Winkel im Dreieck von S2 kennen würde?



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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 2612
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-12-10


Hallo,

wenn ich dich recht verstehe, dann meinst du ja gerade den Winkel, um den das Kreuz der beiden Halbachsen gedreht werden soll.

Auf die Schnelle würde ich sagen: ja, das wäre hinreichend. Wie eine Rechnung konkret aussehen könnte, das zu überlegen fehlt mir allerdings heute die Zeit.

Vielleicht fällt ja heute noch jemandem etwas dazu ein. Ich würde mir das Problem sonst morgen nochmal vornehmen.


Gruß, Diophant



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polognemuc
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 08.12.2019
Mitteilungen: 5
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-10


Ja genau, diesen Winkel meine ich. Freue mich schon auf deine Antwort! Vielen Dank schon mal für die Hilfe bisher!



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haribo
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 25.10.2012
Mitteilungen: 2264
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-12-10


als 1.näherung könnte man die beiden blauen linien einzeichnen welche auch ortogonal aufeinander stehen
dann wäre:
a/S1=(b+b´)/S2  daraus lässt sich b´ ausrechnen

(ich hab RA vorher in den schnittpunkt der achsen verschoben wie Diophant es anmerkte...)


danach könnte man eine 2. näherung verbessern indem man a unten um ein jetzt besser angenähertes stückchen a´ verlängert... ´z.B. a´/b´= S1/2a

mit hilfe von winkelfunktionen dürfte das ganze auch exakt gelingen


p.s.
ich frage mich aber ob du wirklich S1 als angabe haben kannst und nicht evtl nur den horizontalen weg von S1h(habe ihn lila eingezeichnet)
p.p.s.
liegt denn der drehpunkt überhaupt auf b wie es deine skizze sugerierte?
wenn er irgendwo liegen kann dann wäre meine obige näherung wohl komplett falsch, dann kann man wohl nur einen kreis bestimmen auf dem der neue mittelpunkt liegt aber gar nicht die ausrichtung



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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 2612
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2019-12-11

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo polognemuc,

ich bin jetzt doch nunächst einmal auf eine sehr einfache Lösung gestoßen. Allerdings auch auf eine Schwierigkeit, die auch haribo schon im vorigen Beitrag angesprochen hat (wenn ich ihn richtig verstanden habe): zwar ist das Problem durch Angabe allein von S1 und S2 nicht eindeutig lösbar, nimmt man jedoch den Drehwinkel hinzu, dann ist es überbestimmt.

Nehmen wir mal an, du gibst die Länge S2 vor sowie einen Drehwinkel \(\varphi\) um den zunächst noch unbekannten Punkt BA vor. Bezeichne \(x\) den Abstand dieses Punktes zum Zentrum Z, dann folgt sofort folgende Beziehung, die aber - wie oben angesprochen - die Länge S1 nicht berücksichtigt:

\[\tan\left(\varphi\right)=\frac{S2}{x+b}\quad\Leftrightarrow\quad x=\frac{S2}{\tan\left(\varphi\right)}-b\]
Wenn allerdings tatsächlich beide Vorgaben, also S1 und S2, eingehalten werden müssen, dann wird man wohl die Forderung aufgeben müssen, dass BA auf der Halbachse b liegt und dann wird es richtig schwierig.

Aber vielleicht hilft dir die obige Interpretation des Problems ja schon weiter?


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
haribo
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 25.10.2012
Mitteilungen: 2264
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2019-12-12


die erste annahme, dass aus S2>S1 folgt der drehpunkt liege dann links der mitte kann ich mit dem grünen beispiel widerlegen,

man kann einen taleskreis zwischen S1 und S2 aufspannen und in jeden punkt des kreises die ellipse mit ihrem mittelpunkt anordnen und ausrichten das ihre hauptachsen durch S1 und S2 gehen, und dann in einem zweiten schritt den drehpunkt konstruieren (letztere konstruktion kann ich bei bedarf erläutern)

z.B. die grüne ellipse hat einen drehpunkt rechts oberhalb...

nur mit den angaben S1;S2 gibt es also eine ganze schaar von lösungen für die gedrehte lage, allen gemein ist dass der mittelpunkt auf dem kreis liegt und dass die hauptachsen durch S1 und S2 gehen

kennst du zusätzlich den drehwinkel, dann ist die lage eindeutig zu konstruieren: von S2 in dem winkel eine gerade zeichnen bis sie den blauen kreis schneidet, dort ist dann der mittelpunkt der ellipse und die gerade ist die grosse hauptachse... die lage ist mit diesen drei angaben dann also eindeutig bestimmt q.e.d.
haribo



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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 2612
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2019-12-12


Hallo haribo,

im Themenstart wird zwar nicht ausdrücklich verlangt, dass das Rotationszentrum auf der langen Halbachse liegen soll. Allerdings hat der Themstarter das in #4 dahingehend konkretisiert. Verstehe ich dich nun richtig, dass du auf diese Forderung jetzt von vorn herein verzichtet hast?

Fordert man das zusätzlich, dann bin ich nach wie vor der Ansicht, dass man  neben dem Drehwinkel nur noch eine dieser beiden Strecken S1, S2 vorgeben darf, sonst wird das Problem überbestimmt.

Oder irre ich da deiner Meinung nach (dann wäre ja insbesondere mein Ansatz in #10 falsch)?


Gruß, Diophant



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haribo
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 25.10.2012
Mitteilungen: 2264
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2019-12-12


ich verstehe seine konkretisierung in #4 nur dahingehend dass es bei seinem gewähltem skizzen beispiel so ist, also dass dort der drehpunkt auf der achse liegt, aber nicht ob es so sein muss/soll

ansonsten vermute ich doch dass die spur der drehpunkte für die gesamte schaar der möglichen ellipsen mit mittelpunkt auf dem tales-kreis eine geschlossene kurve ergeben (möglicherweise mit ausflügen ins unendliche...?)

also wäre es immerhin nicht unwarscheinlich das diese kurve die ursprüngliche hauptaches auch > zwei mal schneidet

zumindest bei diesen beiden lösungen wäre also alle deine drei bedingungen eingehalten S1; S2; D auf haupachse, eine etwagige überbestimmtheit verhinderte also dann jedenfals nicht generell eine lösung


aber bevor wir weiter herumkonstruieren warten wir doch mal ab, ob polognemuc noch weiter erklärt, wir haben ja inzwischen einige rückfragen gestellt
haribo



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