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Analysis » Rationale und reelle Zahlen » Wieso verändert die Eingrenzung diese Aussage?
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Autor
Universität/Hochschule Wieso verändert die Eingrenzung diese Aussage?
Nudelsalat
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 12.12.2019
Mitteilungen: 28
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-12-12


Hallihallo,

ich soll Folgendes beweisen, habe aber das Problem, dass ich bei der (2) nicht wirklich weiterkomme, weil ich mir nicht wirlkich bewusst bin, inwiefern die Eingrenzungen von A und B die gesamte Aussage verändern können.

(1)  SindA⊂[0,∞) undB⊂[0,∞), so gilt sup(A·B)≤supAsupB
(2)  sindA⊂(0,∞) undB⊂(0,∞), so ist auch sup(A·B)≥supAsupB

An die (1) bin ich so herangegangen:

ab≤sup(A)*b≤sup(A)* sup(B)
=>sup(A·B)≤sup(A)* sup(B)

Aber ich habe nun überhaupt keine Ahnung, wie ich bei 2 weitermachen kann:(

Habt ihr vielleicht einen Tipp für mich?

Viele Grüße
Nudelsalat



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Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 4269
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-12-12


Willkommen im Forum.
 
Der Beweis für (1) ist in Ordnung, wenn du noch "Für alle $a \in A$, $b \in B$ gilt" am Anfang schreibst.

In (2) wird die Aussage nicht "ins Gegenteil" verändert, sondern verstärkt: Weil mit (1) ja auch die andere Ungleichung gilt, wird in (2) sogar $\sup(A \cdot B) = \sup(A) \cdot \sup(B)$ bewiesen.

Tatsächlich ist die Annahme, dass $0$ nicht zu $A$ bzw. $B$ gehört, aber gar nicht nötig.
 
Zum Beweis von (2) (unter der Annahme, dass $\sup(A)<\infty$): Für $\sup(A)=0$ ist ja nichts zu zeigen. Wir können also $\sup(A) > 0$ annehmen. Dann ist die Behauptung äquivalent zu $\sup(A \cdot B) / \sup(A) \geq \sup(B)$. Und das ist äquivalent dazu, dass $\sup(A \cdot B)/\sup(A)$ eine obere Schranke von $B$ ist. Es muss also für alle $b \in B$ gezeigt werden:
 
$b \leq \sup(AB) / \sup(A) $

Für $b=0$ ist das klar. Wir können also $b>0$ annehmen. Dann ist die Ungleichung äquivalent zu:

$\sup(A) \leq \sup(AB)/b$

Das ist wiederum dazu äquivalent, dass $\sup(AB)/b$ eine obere Schranke von $A$ ist. Das bedeutet also, dass für alle $a \in A$ gilt:

$a \leq \sup(AB)/b$

Das ist äquvialent zu:

$ab \leq \sup(AB).$

Und das gilt natürlich.



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Nudelsalat
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 12.12.2019
Mitteilungen: 28
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-12


Vielen herzlichen Dank für diese super Antwort, dass hat mir sehr geholfen!



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 4269
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-12-12


Der vorgestellte Beweis funktioniert nur für den Fall $\sup(A)<\infty$ (oder wenn $\sup(B)<\infty$ analog). Bleibt also noch der Fall, wenn $\sup(A)=\sup(B)=\infty$, und in diesem Fall muss man $\sup(A \cdot B) = \infty$ zeigen. Das ist aber nicht so schwer.



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