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Funktionentheorie » Holomorphie » Art und Residuum der Singularitäten bestimmen
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Universität/Hochschule Art und Residuum der Singularitäten bestimmen
kuckuck3
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-12-12


Hallo, komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:

Bestimmen Sie die Art (wesentlich, hebbar, Pol mit Ordnung) und das Residuum aller isolierten Singularitäten für folgende Funktion:

\( \displaystyle \frac{1}{z^3} - \frac{1}{sin^3(z)} \)

Ich vermute nur dass eine Polstelle 6. Ordnung bei \( z=0 \) und eine Polstelle 3. Ordnung bei \( z = k \pi , k \in \mathbb{Z} \ \{ 0 \} \) vorliegt, zeigen kann ich das jedoch leider auch nicht. Beim Residuum hab ich keine Ahnung.

Hab bis jetzt nur:
\( \displaystyle  \frac{1}{z^3} - \frac{1}{sin^3(z)} = \frac{sin^3(z)-z^3}{z^3sin^3(z)} \)

Kann mir bitte wer Tipps geben?

Viele Grüße
Kuckuck3



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shadowking
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-12-12


Hallo Kuckuck3,

folgende Beziehung ist hilfreich:

$\displaystyle \sin(z)^3\,=\,\frac{3\cdot\sin(z)}{4}-\frac{\sin(3\,z)}{4}$.

(Man zeigt das am besten über die Darstellung $\displaystyle\sin(z)=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}z}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}z}}{2\,\mathrm{i}}$.)

Damit stellt sich die Reihenentwicklung deines Zählers folgendermaßen dar:

$\sin(z)^3-z^3\,=\,\frac{3}{4}\cdot z-\frac{1}{8}\cdot z^3 +- \ldots -\frac{1}{4}\cdot(3\,z)+\frac{1}{24}\cdot(27\,z^3)-+\ldots-z^3$

Die Terme mit $z$ in erster Potenz heben sich weg; die nächste auftretende Potenz $z^3$ hat die Koeffizienten $-\frac{1}{8}+\frac{27}{24}-1\,=\,0$, also hebt auch sie sich insgesamt weg. Es folgt $z^5$ mit dem Koeffizienten $\frac{1}{160}-\frac{243}{480}\,=\,-\frac{1}{2}$. Demzufolge hättest du in $z=0$ zwar eine Polstelle, aber keine 6. Ordnung.

Gruß shadowking


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kuckuck3
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-12


Danke shadowking für die schnelle Antwort,

das hätte ich selber niemals gesehen.

Ich komme dann also auf \( \displaystyle \frac{1}{z^3} - \frac{1}{sin^3(z)} = ... = \frac{-0,5z^2 + ...}{sin^3(z)} \) und kann deshalb sagen dass f eine Polstelle 3. Ordnung bei \( z = k \pi , k \in \mathbb{Z} \) hat, oder?

Oder ist bei z = 0 die Ordnung der Polstelle doch anders? Weil ja für z = 0 der Zähler auch 0 wird. Oder ist das egal? Jetzt bin ich verwirrt.



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shadowking
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-12-12


Ja, bei $z=0$ hast du nur einen Pol 1. Ordnung.


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kuckuck3
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-12


Und wieso kann ich so schnell sagen, dass bei den Polstellen das Residuum 0 ist? Gibt es da einen Satz oder soll ich das mit der Formel für Pole n-ter Ordnung zeigen?
Und wie berechne ich das Residuum bei z = 0



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shadowking
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-12-12


Achtung, Fehler. Das Residuum an den anderen Polstellen ist nicht Null.

Wenn du das Residuum in $z=0$ kennst (im Grunde steht es schon da; es ist der Koeffizient zu $z^5$ im Zähler, da sich der Nenner $z^3\cdot\sin(z)^3$ hier wie $z^6$ verhält), dann kannst du für die anderen Residuen

$\displaystyle\frac{1}{\sin(k\cdot\pi+z)}\,=\,(-1)^k\cdot\frac{1}{\sin(z)}$

verwenden und erhältst, dass an den anderem Polstellen der Betrag des Residuums derselbe ist wie in $z=0$, jedoch das Vorzeichen alterniert.


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kuckuck3
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-12


Das Residuum bei z = 0 ist also -0,5. Wie komme ich aber darauf? Also wie kann ich das begründen?



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shadowking
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-12-12


Beim Residuum nimmst du einen Kreis von beliebig kleinem Radius um die Polstelle und integrierst einmal um dessen Peripherie. Dabei liefert nur der Term $\frac{a_{-1}}{z}$ aus der Laurententwicklung des Integranden einen Beitrag, und zwar $2\pi\,\mathrm{i}\cdot a_{-1}$. Für den Wert des Residuums ist also nur das lokale Aussehen des Integranden an der Polstelle interessant. Wie wir an der Reihenentwicklung des Zählers (wir brauchen auch die des Nenners, aber die ist ganz ähnlich zu machen) erkennen, können wir $\frac{1}{z^3}-\frac{1}{\sin(z)^3}$ als

$\displaystyle \frac{z^5\cdot g(z)}{z^6\cdot h(z)}\,=\,\frac{1}{z}\cdot\frac{g(z)}{h(z)}$

schreiben, wobei $g$ und $h$ Funktionen sind, die in $z=0$ endliche Werte ungleich Null annehmen. Deren Quotient stellt also das Residuum dar.



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kuckuck3
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-12


Ich habe es zwar nun geschafft f als \( \displaystyle \frac{1}{z}\cdot\frac{g(z)}{h(z)} \) darzustellen, doch ich weiß doch jetzt nicht mehr was g bzw. h ist, das wäre doch zu schwierig beim Ausklammern oder verstehe ich was falsch? Du hast schon gemeint, dass \( \displaystyle res = \frac{g(z)}{h(z)} \) ?

Viele Grüße kuckuck3



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shadowking
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-12-13


Exakt aufgeschrieben ist $\mathrm{res}_{z=0}\,f\,=\,\frac{g(0)}{h(0)}$.

Wir brauchen in der Entwicklung von $g$ bzw. $h$ nur noch das Glied 5. Grades aus dem Zähler und das 6. Grades aus dem Nenner, weil die höheren Glieder nach Ausklammern und Kürzen in $z=0$ verschwinden.

Und was wir bisher haben, ist

$\displaystyle g(x)\,=\,-\frac{1}{2}+\ldots,$

$\displaystyle h(x)\,=\ldots$.



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kuckuck3
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-13


Ok danke hab ich verstanden und weiterhin gilt:

\( Res_{k \pi} = 0,5 \) für k ungerade
\( Res_{k \pi} = -0,5 \) für k gerade und \( k \neq 0 \)



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shadowking
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2019-12-13


Das Residuum von $f$ in 0 ist aber auch $-\frac{1}{2}$; du brauchst dafür keine Ausnahme machen.

Gute Nacht, shadowking



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kuckuck3
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-13


Ahja stimmt, man merkt, dass es schon spät ist.

Jetzt hab ichs aber wirklich.

Gute Nacht!



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
shadowking
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2019-12-13


Noch ein paar abschließende Bemerkungen:

Das hier entwickelte Verfahren zur Auffindung der Residuen funktioniert genau dann, wenn die Taylorentwicklung der Funktion im Zähler bei der $n$-ten und jene der Funktion im Nenner bei der $n+1$-ten Potenz von $z$ beginnen, d.h. der Unterschied in den Graden, wie oft man aus Zähler- und Nennerfunktion jeweils den Linearfaktor der Polstelle ausklammern kann, genau 1 beträgt.

Bei einer Funktion wie z.B. $\frac{1}{\sin(z)^3}$ würde man allerdings vorschnell meinen, dass ihr Residuum in $z=0$ Null wäre, weil die Funktion "lokal wie $\frac{1}{z^3}$ aussieht", für die das Residuum in $z=0$ tatsächlich Null ist – doch in Wahrheit ist es $\frac{1}{2}$. Man beachte auch bei der hier behandelten Funktion, dass zwar die Ordnung der Polstellen unterschiedlich ist, ihre Residuen aber – bis auf das alternierende Vorzeichen – gleich sind.

Der direkteste Weg, für eine Funktion $\frac{g(z)}{h(z)}$, bei der $g$ und $h$ in einer Umgebung $U\subset\mathbb{C}$ von $z_0$ holomorph sind und $h$ in $z_0$ eine Nullstelle besitzt, deren Ordnung um mehr als 1 höher ist als jene von $g$ an derselben Stelle, das Residuum in $z_0$ zu ermitteln, scheint zu sein, die "angepasste" Funktion $\frac{g(z)\cdot(z-z_0)^m}{h(z)}$ um $z=z_0$ in eine Taylorreihe zu entwickeln (als Ganzes; nicht getrennt nach Zähler und Nenner, weshalb es trotzdem kompliziert werden kann), wobei $m\in\mathbb{N}$ so zu wählen ist, dass die Singularität in $z_0$ hebbar wird. Deren $m-1$-ter Koeffizient bildet dann das Residuum.

Gruß shadowking


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