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Mathematik » Notationen, Zeichen, Begriffe » Alternative Notation für Definition von Polynomen in zwei Unbestimmten?
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Universität/Hochschule Alternative Notation für Definition von Polynomen in zwei Unbestimmten?
IVmath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-12-13


Hallo,

$P(x)$ soll ein beliebiges Polynom in den Unbestimmten $x$ und $y$ mit Koeffizienten sämtlich aus $\mathbb{Q}$ sein.

Beachte: Ich schreibe ganz bewusst $P(x)$, nicht $P(x,y)$, und nicht $P$.

1.) Ist dann auch die Notation $P(x)\in(\mathbb{Q}[y])[x]$ korrekt und zutreffend?

2.) Ist dann auch die Notation $P(x)\in\mathbb{Q}[x,y]$ korrekt und zutreffend?

Vielen, vielen Dank.



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Buri
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Aus: Dresden
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-12-13


Hi IVmath,
nein und nein.
Gruß Buri



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IVmath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-13


3.)
Anstelle von $P_1(x,y)\in\mathbb{Q}[x,y]$ darf man doch auch schreiben $P_1(x,y)\in(\mathbb{Q}[y])[x]$, oder?

4.)
Was ist an 1.) denn nicht richtig? Ich verstehe das $P(x)$ lediglich als Bezeichner, wobei allerdings das $x$ durch die Definition in 1.) definiert wird.

5.)
Ich habe $P_1(x,y)\in\mathbb{Q}[x,y]$ und $p(x)\in\mathbb{Q}[x]$. Ich möchte $P_1(p(x),y)$ als (verallgemeinerte?) Komposition von $P_1(x,y)$ und $p(x)$ darstellen. Wie kann man denn das schreiben?



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xiao_shi_tou_
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Mitteilungen: 1192
Aus: Bonn
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-12-13

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Wie Buri gesagt hat ist beides nicht korrekt.
Die Antwort auf deine Frage ist, dass
$\Q[x,y]$ isomorph zu $(\Q[y])[x]$ ist.
Was das bedeutet solltest du dir anhand der Definition klar machen. Es ist nicht schwierig.


-----------------
”己所不欲,勿施于人“(Konfuzius)
PS: Falls ich plötzlich aufhöre in einem Thread zu antworten, dann kann es sein, dass ich es vergessen habe. Ihr könnt mir in diesem Fall eine Private Nachricht schicken.
\(\endgroup\)


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IVmath
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2019-12-13 21:54 - xiao_shi_tou_ in Beitrag No. 3 schreibt:
Die Antwort auf deine Frage ist, dass
$\Q[x,y]$ isomorph zu $(\Q[y])[x]$ ist.
Was das bedeutet solltest du dir anhand der Definition klar machen. Es ist nicht schwierig.
Das war und ist mir schon klar.

Aber warum ist 1.) nicht korrekt?

\(\endgroup\)


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xiao_shi_tou_
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2019-12-13 22:26 - IVmath in Beitrag No. 4 schreibt:
2019-12-13 21:54 - xiao_shi_tou_ in Beitrag No. 3 schreibt:
Die Antwort auf deine Frage ist, dass
$\Q[x,y]$ isomorph zu $(\Q[y])[x]$ ist.
Was das bedeutet solltest du dir anhand der Definition klar machen. Es ist nicht schwierig.
Das war und ist mir schon klar.

Aber warum ist 1.) nicht korrekt?


Hi MathIV.
Es spricht nichts dagegen ein Polynom in $(\Q[y])[x]$ mit $P(x)$ zu bezeichnen, im Gegenteil, so sollte es gemacht werden. Problematischer ist die Schreibweise $P(x)\in \Q[x,y]$, wobei man das als "Abuse of Notation" schon machen kann.
Manchmal schreibt man auch $P(x)\in \Q[x,y]$ und meint damit, dass $P(x)$ in dem Unterring $\Q[x]$ enthalten ist.
Man sollte aber aufpassen, wenn man ein Polynom $\in \Q[x,y]$ als auch sein Gegenstück in $(\Q[x])[y]$ beide mit $P(x)$ bezeichnet.

Am besten du bezeichnest konsequent Polynome in $\Q[x,y]$ mit $P(x,y)$ und Polynome in $(\Q[y])[x]$ mit $Q(x)$. Dann entsprechen sich die $P(x,y)$ und die $Q(x)$ $1-1$, weil man einen Isomorphismus $\Q[x,y]\sto (\Q[y])[x]$ hat.

War das verständlich?
Viele Grüße
\(\endgroup\)


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-12-14


2019-12-13 18:46 - IVmath im Themenstart schreibt:
$P(x)$ soll ein beliebiges Polynom in den Unbestimmten $x$ und $y$ mit Koeffizienten sämtlich aus $\mathbb{Q}$ sein.

Beachte: Ich schreibe ganz bewusst $P(x)$, nicht $P(x,y)$, und nicht $P$.

Meinst du etwa so etwas? \(P(x)=x^2+7xy+\frac13y\)

Was versprichst du dir davon, hier das y zu zu unterschlagen? Und was ist deine Vermutung, warum das "korrekt" sein sollte?



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IVmath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-14

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2019-12-13 23:16 - xiao_shi_tou_ in Beitrag No. 5 schreibt:
Es spricht nichts dagegen ein Polynom in …
...
War das verständlich?
Ja, das ist verständlich. (Es beantwortet aber wie immer nicht meine Frage - warum 1.) nicht korrekt ist. Ich habe mir deshalb jetzt eine Antwort darauf zusammenspekuliert - siehe unten.)
Und genauso hatte ich mir das ja auch gedacht - ich wollte und will schreiben:
$P(x)\in(\mathbb{Q}[y])[x]$,
$Q(x,y)\in\mathbb{Q}[x,y]$,
$Q(x,y)=P(x)$.

(Warum mein 1.) nicht korrekt ist:
Ich nehme an, meine mathematische Notation passt nicht mit meiner Wortbeschreibung zusammen - ich setze da wohl die Begriffe Unbestimmte und Koeffizient gleich, was man wohl nicht tun darf - warum auch immer.)
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IVmath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-14


2019-12-14 00:34 - StrgAltEntf in Beitrag No. 6 schreibt:
2019-12-13 18:46 - IVmath im Themenstart schreibt:
$P(x)$ soll ein beliebiges Polynom in den Unbestimmten $x$ und $y$ mit Koeffizienten sämtlich aus $\mathbb{Q}$ sein.

Beachte: Ich schreibe ganz bewusst $P(x)$, nicht $P(x,y)$, und nicht $P$.

Meinst du etwa so etwas? \(P(x)=x^2+7xy+\frac13y\)

Was versprichst du dir davon, hier das y zu zu unterschlagen? Und was ist deine Vermutung, warum das "korrekt" sein sollte?

Ja, so etwas meine ich.

$p(x)\in\mathbb{Q}[x]$
$P(x)=x^2+7xy+\frac13y$
$Q(x,y)=x^2+7xy+\frac13y$
$Q(x,y)=P(x)$
$H(x,y)=Q(p(x),y)=P(p(x))$
$H=P\circ p$
Ich darf dann sagen: $p$ ist ein Kompositionsfaktor von $H$.
Das ist die Antwort auf meine Frage 5.

Wie könnte man $H$ in Bezug auf $p$ benennen? Kompositionsprodukt von $p$?



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