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Logik, Mengen & Beweistechnik » Prädikatenlogik » Prädikatenlogik Bestimmung, ob Struktur ein Modell ist
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Universität/Hochschule Prädikatenlogik Bestimmung, ob Struktur ein Modell ist
rapiz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-01-26


$$ K^{\mathcal{N}}=\{(a, b) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} | a<b\}
$$
$$ \varphi_{3}=\forall x\left(\exists x^{\prime}\left(K\left(x, x^{\prime}\right) \wedge \neg\left(\exists x^{\prime \prime}\left(K\left(x, x^{\prime \prime}\right) \wedge K\left(x^{\prime \prime}, x^{\prime}\right)\right)\right)\right)\right.
$$
$$\mathcal{N} \models \varphi_{3}$$ $$\mathcal{Z} \models \varphi_{3}$$ $$\mathcal{R} \not\models \varphi_{3}$$
$$ \varphi_{4}=\forall x\left(\forall x^{\prime}\left(\forall x^{\prime \prime}\left(\left(K\left(x, x^{\prime}\right) \wedge K\left(x^{\prime}, x^{\prime \prime}\right)\right) \rightarrow K\left(x, x^{\prime \prime}\right)\right)\right)\right)
$$
$$\mathcal{N} \models \varphi_{4}$$ $$\mathcal{Z} \models \varphi_{4}$$ $$\mathcal{R} \models \varphi_{4}$$
Habe diese Formeln und folgende Lösungen dazu.
Kann mir jemand die Lösungen also die Modellierungen erklären?

Verstehe es bei denen nicht, warum
$$\mathcal{N} \models \varphi_{3}$$ $$\mathcal{Z} \models \varphi_{3}$$ $$\mathcal{R} \not\models \varphi_{3}$$
$$\mathcal{N} \models \varphi_{4}$$ $$\mathcal{Z} \models \varphi_{4}$$ $$\mathcal{R} \models \varphi_{4}$$
gilt. Danke.




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rehlein
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-26


Hallo rapiz,

erstmal halte ich es für sinnvoll die Aufgabe rein intuitiv nachzuvollziehen. Danach könnte man sich anschauen, wie man es fromal angeht.

Mach dir klar, was für eine Relation K ist.
Auf \(\mathbb{R}, \mathbb{Z}, \mathbb{N}\) betrachten wir die normale Kleiner-Relation.
Das heißt in \(\mathcal{R}=(\mathbb{R}, K^\mathcal{R})\) ist z.B. das Tupel \((2, 2.34) \in K^\mathcal{R}\), da \(2 < 2.34\).

Was bedeutet nun der Satz \(\varphi_3\)?
Das heißt, für alle Elemente aus der Stuktur gibt es ein Element, das größer ist und kein weiteres Element dazwischen passt.
Klar, dass das in \(\mathcal{Z}, \mathcal{N}\) gilt, aber in \(\mathcal{R}\) nicht.

Ähnlich kann man den Fall \(\varphi_4\) verstehen.



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rapiz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-26


∀x(∃x′((x<x′)∧¬(∃x′′(x<x′′)∧(x′′<x′))))

Also, verständisweise würde es ja so aussehen.

Was wird nun aus der Negation?

∀x(∃x′((x<x′)∧(∀x′′(x<x′′)∧(x′′<x′))))?

edit: ¬(∃x′′(x<x'')∧(x''<x'))≡∀x′′¬(x<x'')∨¬(x''<x')

und ¬(x<x'') wie deutet man sowas?


Noch was, um das zu verstehen, es gibt doch aber Zahlen wie

4 < 6   und 5 < 6 ergibt sich wohl aus der Formel mit der, dass für 4 nur 4<5 gelten soll aber wie?


Also es gibt für alle nur eine nächstgrößere Zahlen
was bei reellen wegen Komma und es "unendlich viele Nachkommastellen gibt" und es somit dort nicht gilt, weil man immer eine dazwischen packen kann?

Danke



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rehlein
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-01-26


Hallo rapiz,

Korrekt wäre

\(\varphi_3 \equiv \forall x(\exists x′((x<x′)∧(\forall x′′ \neg(x<x′′) \lor \neg(x′′<x′))))\)

Die Formel \(\neg (x < y)\) bedeutet "x ist nicht kleiner als y".
Da wir hier eine strikte totale Ordnungsrelation haben bedeutet das:
\(x \geq y\)


Fürs Verständnis:
Nein, es gibt in \(\mathcal{N}, \mathcal{Z}\)nicht nur die nächstgrößere Zahl, aber für jede Zahl x es gibt eine nächstgrößere Zahl und zwar x'=x+1, wo wir nichts mehr dazwischen kriegen. (Das heißt, für jede andere Zahl  \(x''\)  ist \(x'' \leq x\) oder  \(x'' \geq x'\))'.
Das ist es was die Formel letztlich bedeutet.

Bei den reellen Zahlen hast du recht. Zwischen zwei reelle Zahlen x und y bekommst du zum Beispiel immer \(\frac{x + y}{2}\).

Gruß,
rehlein.



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rapiz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-26


Meinte das mit der nächstgrößeren, hab das falsch formuliert.

Wie sieht es dann bei der anderen Formel aus?

Komme da mit den Implikationen in der Prädikatenlogik nicht zurecht.


φ4=∀x(∀x′(∀x′′(((x<x′)∧(x′<x′′))→K(x<x′′))))

Verständnishalber jetzt so umformuliert

Also für alle Zahlen exisitieren x, x' und x'' so, dass

x<x'<x''   Also kann ich die Implikation hier als wörtlich gemeinte Implikation nehmen

Aus x<x'<x''  folgt x < x'' für alle Zahlen?



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rehlein
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-01-27


Hallo rapiz,

Schau dir für \(\varphi_4\) mal an, was eine transitive Relation ist.
Ich glaube, das ist noch nicht ganz klar, denn deine „Übsetzung“ des Satzes ist nicht richtig.
Nirgendwo gibt es da ein „existiert“.

Nochmal zu deiner ursprünglichen Frage: Möchtest du nur verstehen, warum die
Modellbeziehungen gelten, oder sie auch formal beweisen?

Wie hast du denn bisher versucht zB
\(\mathcal{N} \models \varphi_3\) zu beweisen?


Gruß,
rehlein.



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rapiz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-30


Für alle x gilt*

Ja die transitive Relation ist ja klar wenn x<x' und x' < x''
muss ja x < x'' sein und das sollte in allen Zahlenebenen gelten



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rapiz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-30


Will nur versuchen zu verstehen warum diese Modelbeziehungen gelten und erklären warum dies so ist.



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