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Strukturen und Algebra » Ringe » Verständnisproblem lokaler Ring
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Universität/Hochschule J Verständnisproblem lokaler Ring
Drumbene91
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-01-27


Hallo zusammen, ich hänger gerade an dieser Aussage, vielleicht hat jemand von euch eine Idee.

fed-Code einblenden

Mir ist nicht ganz klar, warum ich weiß, dass
fed-Code einblenden
ein lokaler Ring ist. Ist es deshalb, weil ich
fed-Code einblenden
betrachten kann? Oder übersehe ich etwas?
LG



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-27


Nein, $ R/I^n$ ist kein $R/I$-Modul, und das würde auch nicht reichen.

Es hat sogar $R/I^n$ genau ein Primideal. Verwende dazu die bekannte Klassifikation der Primideale in Quotientenringen, und anschließend die idealtheoretische Definition von "Primideal":

Ein echtes Ideal $P \subseteq S$ ist prim, wenn $IJ \subseteq P \iff I \subseteq P \vee J \subseteq P$ für alle Ideale $I,J \subseteq S$ gilt.



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Drumbene91
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-27


Ah okay. Du meinst vermutlich dass ich aufgrund der Bijektion der Primideale
von R und
fed-Code einblenden
habe dass es in
fed-Code einblenden
genau ein Primideal gibt,das I^n enthält und das aufgrund dessen, dass R artinsch ist dann auch maximal ist, das wäre ja dann das Ideal
fed-Code einblenden
oder ?



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-01-27


Da bringst du gerade einiges durcheinander.

Bleiben wir beim 1. Schritt.

Wie sehen die Primideale von $R/I^n$ aus?



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Drumbene91
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-27


Das müssten alle Primideale
fed-Code einblenden

sein, für die gilt:

fed-Code einblenden

oder ?



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-01-27


Fast. Es gibt eine Bijektion zwischen der Menge der Primideale von $R/I^n$ und der Menge der Primideale von $R$, die $I^n$ umfassen. (Erinnere dich daran, wie die Bijektion aussieht.)

Der 2. Schritt ist, die Primideale von $R$, die $I^n$ umfassen, näher zu beschreiben.



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Drumbene91
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-27


Ich glaube ich stehe jetzt etwas auf dem Schlauch...

Also zu 1:
Wir haben den kanonischen Epimorphismus
fed-Code einblenden
Dieser liefert mir die Bijektion die du angesprochen hast doch über
fed-Code einblenden
Stimmt es bis dahin noch?
zu 2.):
Jetzt weiß ich,
fed-Code einblenden
Aber wie mache ich jetzt weiter ?




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Saki17
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-01-28


2020-01-27 18:09 - Drumbene91 im Themenstart schreibt:
Hallo zusammen, ich hänger gerade an dieser Aussage, vielleicht hat jemand von euch eine Idee.

fed-Code einblenden

Mir ist nicht ganz klar, warum ich weiß, dass
fed-Code einblenden
ein lokaler Ring ist.
Die Aussage gilt auch wenn $R$ ein allgemeiner (komm.) Ring ist.

Falls du ein wenig algebraische Geometrie kennst, ist die Aussage relativ natürlich: Der Ring $R/I^n$ ist genau dann lokal, wenn das Primspektrum $Spec(R/I^n)$ genau einen abgeschlossenen Punkt besitzt. Nun wissen wir $$Spec(R/I^n)=V(I^n)=V(I)=Spec(R/I).$$ (Gleichheit in Sinne der topologischen Räumen) Weil nun $R/I$ lokal ist, hat $Spec(R/I)=Spec(R/I^n)$ genau einen abgeschlossenen Punkt. (Der gleiche Ansatz hat mir Triceratops vor einiger Zeit gegeben.)

Ansonsten rechne mit Definition/Charakterisierung von lokalen Ringen nach (betrachte das Ideal $I/I^n\subset R/I^n$).



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Drumbene91
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-29


Ist geklärt, vielen Dank euch :)



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