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Funktionenfolgen und -reihen » Fourierreihen » Fourierkoeffizienten
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Autor
Universität/Hochschule J Fourierkoeffizienten
RogerKlotz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-02-18


Hallo. Ich würde gerne folgendes prüfen lassen. Es geht um die Aufgaben b) und c)


Hier meine Lösung. Wie komme ich denn auf die Näherung? Ist das bis dahin überhaupt richtig? LG



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-02-18


Hallo,

du sollst
\[\frac{1}{L}\sum_{k=-1}^1\tilde{f}_ke^{ikx}\] berechnen und die Summe vereinfachen.



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RogerKlotz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-18


Hallo.
Was ist denn in meinem Fall das x bei \[\frac{1}{L}\sum_{k=-1}^1\tilde{f}_ke^{ikx}\] ? 😵



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-02-18


$x$ ist eine Variable. Die Frage ist eher, was $L$, $\tilde{f}_{-1}, \tilde{f}_{0}$ und $\tilde{f}_{1}$?  
Das soll überhaupt nicht böse gemeint sein, aber hast du schon eine Fourierreihe ausgerechnet. Was sind die Fourierkoeffizienten von $[-\pi,\pi]\to\mathbb{R}, x\to \sin(x)$, wobei die Funktion periodisch fortgesetzt werde?



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RogerKlotz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-18


opkay. bis hierhin habe ich das glaube ich verstanden. Das müsste dann so aussehen:

\[\tilde{f}_{-1}  = 2\pi i\] \[\tilde{f}_{0}  = 0\] \[\tilde{f}_{1}  = -2\pi i\]
\[L=2\pi\]
\[\Rightarrow \frac{1}{L}\sum_{k=-1}^1\tilde{f}_ke^{ikx}=\frac{1}{2\pi}(2\pi i+0-2\pi i)e^{ikx}\]



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-02-18


Du musst für jeden Summanden das $k$ an allen Stellen einsetzen. Am Ende darf also kein $k$ mehr da stehen.

2020-02-18 11:28 - ochen in Beitrag No. 3 schreibt:
Was sind die Fourierkoeffizienten von $[-\pi,\pi]\to\mathbb{R}, x\to \sin(x)$, wobei die Funktion periodisch fortgesetzt werde?



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RogerKlotz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-18


2020-02-18 12:04 - ochen in Beitrag No. 5 schreibt:
Du musst für jeden Summanden das $k$ an allen Stellen einsetzen. Am Ende darf also kein $k$ mehr da stehen.
ok. dann erhalte ich das:

\[\frac{1}{L}\sum_{k=-1}^1\tilde{f}_ke^{ikx}=\frac{1}{2\pi}(2\pi i+0-2\pi i)e^{ikx}=ie^{-ix} - ie^{ix}\] Das entspricht \[2\sin{x}\]
scheinbar einen Vorzeichenfehler eingefangen.



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Orangenschale
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-02-18


Hallo RogerKlotz,

du hast dir gleich am Anfang bei der Integralberechnung einen Fehler eingefangen. Das Ergebnis sollte sein ($k=\frac{2\pi}{L}n=n$) $$\tilde f_n = -\frac{2\pi i}{n}\cos(n\pi)=-\frac{2\pi i}{n}(-1)^n\,.$$ Und damit erhält man dann durch einfaches Einsetzen $$f(x)=-i\sum_{n\neq0}\frac{(-1)^n}{n}e^{inx}\,.$$ Für die ersten drei Terme der Summe fällt der Fehler nicht auf, aber danach schon.


Die Summe könntest du dann noch umformen um sie nur über positive $n$ laufen zu lassen (dadurch wird jeder Summand auch reell).


-----------------
If one is working from the point of view of getting beauty into one's equation, ... one is on a sure line of progress.

P.A.M. Dirac



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RogerKlotz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-18


Danke. Habe es nochmal gemacht. Stimmt.
Vielen Dank für die Antwort !!!



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