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Integration » Integration im IR^n » Volumenintegral über Zylinder
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Universität/Hochschule Volumenintegral über Zylinder
RogerKlotz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-02-18


Hallo. Ich habe folgende Menge:

\[F= \left\{ (x,y,z)\in \mathbb R ^{3}:0\leq z\leq 4-x^{2}-y^{2}\right\} \]
Nach Wechsel auf Zylinderkoordinaten steht dort:

\[F= \left\{ (\rho,\phi,z)\in \mathbb R ^{3}:0\leq z\leq 4-\rho^{2}
\right\} \]
Jetzt soll ich folgendes Integral berechnen:

\[V_{F}= \int_{F}^{} \!  \, dV  \] \[= \int_{0}^{2\pi} \!  \, d\phi \int_{0}^{2} \! \rho \, d\rho \int_{0}^{4-\rho^{2} } \! z \, dz \]
Jetzt zu meinen Fragen:
Wie ermittle ich die Grenze des zweiten Integrals aus der obrigen Ungleichung und wie gehe ich mit der Grenze des letzten Integrals um?  😵

Ich habe ja am Ende dann sowas da stehen:

\[V_{F}=4\pi\cdot (4-\rho^{2})  \]
Es wäre toll, wenn mir jemand helfen könnte.



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Kampfpudel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2013
Mitteilungen: 1684
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-02-19


Hey RogerKlotz,

Zur ersten Frage: Für welche positiven Werte für \(\rho\) kann die Ungleichungskette \(0 \leq z \leq 4-\rho^2\) denn nur erfüllt sein? Aus der Antwort auf diese Frage ergeben sich deine Grenzen.

Zur zweiten Frage: Vermutlich hast das Integral über \(\rho\) ausgerechnet, bevor du das Integral über \(z\) ausgerechnet hast. Das kannst du so nicht machen, da im Integral über \(z\) noch ein \(\rho\) in den Integralgrenzen steht. Deswegen musst du zuerst das Integral über \(z\) berechnen, bevor du das Integral über \(\rho\) berechnest.

Streng genommen ist es auch nicht okay \(\int_0^2 \rho \, d\rho \int_0^{4-\rho^2} z \, dz\) zu schreiben, da dies suggeriert, man würde eben das Integral über \(\rho\) vor dem Integral über \(z\) berechnen.

(Ich denke der Integrand \(z\) ist nur ein Schreibfehler)



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RogerKlotz
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 06.03.2019
Mitteilungen: 57
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-19


Guten Morgen. Danke für die Antwort.
Also für die Ungleichungskette wären das eigentlich sogar drei. Warum müssen sie unbedingt positiv sein? mit einem -2 wäre ja der gleiche Effekt wie bei 2 vorhanden. Ansonsten wären es 0 und 2.

Wenn ich zuerst das Integral über dz ausrechne, setze ich dann, sobald ich das Integral über rho ausrechne, dann auch dort die Grenzen ein?

Tatsächlich ist der Integrand z ein Schreibfehler.



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PhysikRabe
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 21.12.2009
Mitteilungen: 2229
Aus: Wien
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-02-19


2020-02-19 09:23 - RogerKlotz in Beitrag No. 2 schreibt:
Warum müssen sie unbedingt positiv sein? mit einem -2 wäre ja der gleiche Effekt wie bei 2 vorhanden.

Die Radius-Koordinate $\rho$ in Zylinderkoordinaten ist immer positiv (schlage die Definition nach).

Zu deiner anderen Frage: Die Integrale werden einfach nacheinander berechnet. Wie lautet das Ergebnis der $z$-Integration?

Grüße,
PhysikRabe


-----------------
"Non est ad astra mollis e terris via" - Seneca
"Even logic must give way to physics." - Spock



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