Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Algebraische Geometrie » Unverzweigter Morphismus zwischen affinen Geraden
Druckversion
Druckversion
Autor
Kein bestimmter Bereich J Unverzweigter Morphismus zwischen affinen Geraden
Saki17
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.09.2015
Mitteilungen: 653
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-03-12


Hallo,

ich will folgendes Beispiel verstehen (Boschs "Algebraic Geometry")
Allerdings verwirren mir einige Notationen, betrachten wir also die Gleichung $$d(p-t')=dp=\frac{dp}{dt}\cdot dt.$$ Ich denke, das erste (von links nach rechts) d steht für die $k[t']$-Derivation $k[t]\to k[t]$, aber dann ist mir unklar was $\frac{dp}{dt}\cdot dt$ bedeuten soll. Konsequent kapiere ich die Umschreibung "$\frac{dp}{dt}(x)\neq 0\Rightarrow p-p(x)\in k(x)[t]$ besitzt keine mehrfachen Nullstellen" nicht.

Wie würdet ihr die fraglichen Stellen interpretieren?



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Saki17
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.09.2015
Mitteilungen: 653
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-12


Inzwischen habe ich festgelegt, dass $q(t):=\frac{dp}{dt}$ die Ableitung des Polynoms $p(t)\in k[t]$ bezeichnet bzw. $q(t)\in O_{\mathbb{A}^1_S}(X)=k[t]$ ist ein globaler Schnitt (es gilt $\Omega^1_{\mathbb{A}^1_S/S}(X)=O_{\mathbb{A}^1_S}(X)dt$ als Moduln).

Und ich vermute, dass "$p-p(x)$" als "$p=p(x)$" zu lesen ist, dann macht der entsprechende Satz m.E. mehr Sinn...



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Kezer
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 789
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-03-12


Ich bin noch nicht so weit, um das Meiste von dieser Seite in Boschs Buch verstehen zu können, aber soweit ich sehen kann, geht die letzte Umschreibung so:

Da $\frac{d(p-p(x))}{dt} = \frac{dp}{dt} \neq 0$ gilt, ist das Polynom $p-p(x) \in k(x)[t]$ separabel, hat also keine mehrfache Nullstellen.


-----------------
The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Saki17
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.09.2015
Mitteilungen: 653
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-12


2020-03-12 17:35 - Kezer in Beitrag No. 2 schreibt:
Da $\frac{d(p-p(x))}{dt} = \frac{dp}{dt} \neq 0$ gilt, ist das Polynom $p-p(x) \in k(x)[t]$ separabel, hat also keine mehrfache Nullstellen.
Meine Auffassung: $\frac{dp}{dt} \neq 0$ ist nicht die Voraussetzung, korrekt lautet sie $0\neq \frac{dp}{dt}(x)=\frac{d}{dt}(p(t))\text{ mod } x \in \kappa(x):=k'$, wobei $k'=Quot(k[t]/x)=k[t]/x$ entweder eine endliche Erweiterung von $k$ ist oder $k'=Quot(k[t])=k(t)$ wenn $x=0$ das einzige nicht-maximale Primideal ist ($\kappa(x)$=Restklassenkörper vom Primideal $x\subset k[t]$; In alg. Geom. schreibt man $f(x)=f \text{ mod } x\in \kappa(x)=Quot(A/x)$ für $f\in A$ und $x\in Spec(A)$).

Oder bedeutet $\frac{dp}{dt}(x)\neq 0$, dass die Ableitung des Polynoms $p(t)\in \kappa(x)[t]$ nicht verschwindet schlichthin? Fehlt hier nicht die Irreduzibilität von $p(t)$ über $\kappa(x)$, wenn man die Separabilität folgern will?



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Kezer
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 789
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-03-13


Okay, du hast recht, da war ich bisschen vorschnell, sorry.

Ich sehe gerade irgendwie nicht, wie die Evaluation von Ringelementen an Primidealen sich auf Polynome überträgt, denn die Definition war doch sicher so gestaltet, dass auf Polynomen dann Polynomevaluation rauskommt?

Hmm, also falls das so ist, dann kann man zeigen, dass $p-p(x)$ in $x$ keine mehrfache Nullstellen hat, aber global kann das dann eigentlich nicht gelten, wie Gegenbeispiele in $\mathbb{R}$ zeigen, schließlich ist $\frac{dp}{dt}(x) \neq 0$ auch nur eine lokale Eigenschaft.

Hoffentlich kann dir jemand helfen, der algebraische Geometrie kann. :)


-----------------
The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 4382
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-07-11 10:34


Vorab: Die äquivalente Bedingung von Bosch am Ende kann ich leider auch nicht erklären, aber ich habe mir ein paar Gedanken dazu gemacht und kann vielleicht auch den Rest etwas verständlicher machen.

Ein paar allgemeine Bemerkungen vorab zur Definition von Unverzweigtheit: Sei $R$ ein kommutativer Ring, $I \subseteq R[t_1,\dotsc,t_n]$ ein endlich-erzeugtes Ideal. Dann ist $V(I) \hookrightarrow \mathbb{A}^n_R$ per Definition bei einem Punkt von $ \mathbb{A}^n_R$ unverzweigt, wenn $\Omega^1_{R[t_1,\dotsc,t_n]/R}$ von den Differentialen $d(h)$, $h \in I$ erzeugt wird. Wenn $n=1$ und $I = \langle h \rangle \subseteq R[t]$ ein Hauptideal ist, dann wird $\Omega^1_{R[t]/R}$ frei von $d(t)$ erzeugt. Konkret ist (das macht man sich gerade beim Beweis der Freiheit klar) $d(h) = h' \cdot d(t)$, wobei $h'$ die gewöhnliche Ableitung (nach $t$) bezeichnet. Wegen dieser Gleichung kann man auch $h' = \frac{d(h)}{d(t)}$ schreiben. Daher wird $\Omega^1_{R[t]/R}$ genau dann bei einem Punkt $y \in \mathbb{A}^1_R$, also einem Primideal von $R[t]$ (welches wir ebenfalls $y$ nennen), von $d(h)$ erzeugt, wenn $ h' \in R[t]_y$ eine Einheit ist. Das ist äquivalemnt dazu, dass das Bild im Restklassenkörper $h'(y) \in k(y)$ nicht $0$ ist.

Nun haben wir bei Bosch die Situation, dass $R = k[u]$ (ich benenne die zweite Variable also nicht $t'$, um eine Verwechslung mit der Ableitung vorzubeugen und jede Ähnlichkeit mit $t$ zu verhindern) und $h = p - u$ für ein $p \in k[t]$. Wegen $u \in R$ ist $u' = 0$ (denn nach wie vor ist $R$ der Koeffizientenring) und daher $h' = p'$. Das Kriterium für Unverzweigtkeit bei $y$ ist daher $p'(y) \neq 0$.

Nun kommt der Punkt $y \in \mathbb{A}^1_R$ aber eigentlich von einem Punkt $x \in V(I) \cong \mathbb{A}^1_k$, also einem Primideal von $k[t]$. Es gilt $k(y) = k(x)$. Wenn $x$ das Nullideal ist, ist dies der Funktionenkörper, andernfalls $k[t]/x$. Wenn etwa $x=\langle q \rangle$ mit $q=0$ oder $q$ irreduzibel normiert, so lautet die Bedingung für die Unverzweigtheit demnach $q \nmid p'$.

Wenn $ k$ algebraisch abgeschlossen ist, etwa $q=t-a$ für $a \in k$, so bedeutet diese Bedingung gerade $p'(a) \neq 0$. Der unverzweigte Ort von $p$, aufgefasst als Morphismus $\mathbb{A}^1_k \to \mathbb{A}^1_k$, besteht also aus den Nichtnullstellen von $p'$. Oder anders formuliert: Die Verzweigungspunkte von $p$ sind die Nullstellen von $p'$, welche man wiederum in der Schule als die (potenziellen) Extremstellen von $p$ kennengelernt hat. Für $p=t^2-t$ ist zum Beispiel $\frac{1}{2}$ der einzige Verzweigungspunkt. Man sieht nebenbei auch, dass es nur endlich viele Verzweigungspunkte gibt (wenn $p' \neq 0$).

Eigentlich könnte das Beispiel hier schon enden, aber Bosch hat noch eine alternative Charakterisierung für die Unverzweigtheit angebracht, deren Begründung und deren Motivation sich mir leider auch nicht erschließt. (Kleine Andekote am Rande: ich war bei der Entstehung des Buches damals beteiligt. Ich habe die erste Version vollständig durchgearbeitet, Anmerkungen verfasst und mit Bosch die kritischen Punkte in seinem Büro besprochen. Ich hatte damals unter anderem gefordert, viel mehr Beispiele zu ergänzen, was dann auch glücklicherweise geschehen ist, allerdings hatte ich diese dann erst in der veröffentlichten Version gesehen. Ansonsten hätte ich bei der Stelle hier ebenfalls zumindest Fragen gestellt.)
 
Und zwar behauptet Bosch, dass $p'(x) \neq 0$ genau dann gilt, wenn $p - p(x) \in k(x)[t]$ separabel ist. Ich denke nicht, dass hier $p = p(x)$ gemeint ist, weil das falsch wäre; denn $p = p(t)$ hat die Variable $t$, wohingegen $p(x) \in k(x)[t]$ eine Konstante ist. Bezeichnen wir die Variable von $k(x)$ einmal der Einfachheit halber ebenfalls mit $x$. Für $p = t^2-t$ ist dann zum Beispiel $ p(t) - p(x) = (t^2-t) - (x^2-x) \in k(x)[t]$.
 
Ein Polynom ist genau dann separabel, wenn es teilerfremd zu seiner Ableitung ist. Die Ableitung von $p(t) - p(x)$ (über $k(x)$) ist $p'(t)$. Die Behauptung ist also, dass $p(t) - p(x)$ genau dann zu $p'(t)$ teilerfremd ist, wenn $p'(x) \neq 0$. Mit einem Standardargument kann man sich auf den Fall beschränken, dass $k$ algebraisch abgeschlossen ist, also $p$ ein Produkt von Linearfaktoren ist. Weiter bin ich leider nicht gekommen. Selbst wenn $x$ das Nullideal ist, also $k(x)$ der gewöhnliche Funktionenkörper ist, ist es mir nicht klar.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Saki17
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.09.2015
Mitteilungen: 653
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-23 20:56


Das ist mir jedenfalls viel klarer geworden, danke Triceratops!



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Saki17 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Saki17 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
Neues Thema [Neues Thema]  Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2020 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]