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Logik, Mengen & Beweistechnik » Induktion » Teilbarkeit zeigen mit vollständiger Induktion: (a-1)|(a^n-1)
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Kein bestimmter Bereich J Teilbarkeit zeigen mit vollständiger Induktion: (a-1)|(a^n-1)
minusphalbe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-04-01


Hallo!

Die Aufgabe lautet:

Zeigen Sie durch vollständige Induktion nach n:

Ist \(a\in {N}\), \(a\ge 2\), so ist \(a-1\) Teiler von \({ a }^{ n }-1\).


Meine Lösung ist:

Induktionsanfang: Für \(n=1\) ist \(\frac { { a }^{ 1 }-1 }{ a-1 } =1\).

Induktionsvoraussetzung (IV): \(\frac { { a }^{ n }-1 }{ a-1 } =m\), \(m\in {N}\).

Induktionsschluss: \(n\rightarrow n+1\) mit Polynomdivision: \(\left( { a }^{ n+1 }-1 \right) \div \left( a-1 \right) ={ a }^{ n }+\frac { { a }^{ n }-1 }{ a-1 }\).

Weil \(a\in {N} \Rightarrow { a }^{ n }\in {N}\) und (wegen IV) \(\frac { { a }^{ n }-1 }{ a-1 }\in {N}\) folgt \(\left( a-1 \right) |\left( { a }^{ n }-1 \right)\). q.e.d.


Ist das so korrekt? Ich kann (noch) nicht zeigen, dass \(a\in {N} \Rightarrow { a }^{ n }\in {N}\). Das ist schon mal eine Schwachstelle.

Viele Grüße,

minusphalbe



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-04-01

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

der Induktionsanfang ist ok.

Den Induktionsschluss setzt du viel zu kompliziert an. Da muss man nur den Term \(a^{n+1}-1\) geschickt umformen, so dass die Induktionsvoraussetzung ins Spiel kommt. Als Tipp sei mal \(a^{n+1}=a\cdot a^n\) gegeben. Das "Prinzip der nahrhaften Null" spielt hier auch eine Rolle...


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Logik, Mengen & Beweistechnik' in Forum 'Induktion' von Diophant]
\(\endgroup\)


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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-04-01


Hallo minusphalbe,


2020-04-01 09:55 - minusphalbe im Themenstart schreibt:
Ich kann (noch) nicht zeigen, dass \(a\in {N} \Rightarrow { a }^{ n }\in {N}\). Das ist schon mal eine Schwachstelle.

Wenn das nicht der Fall wäre, würde die gesamte Aufgabe keinen Sinn ergeben, denn "Teilbarkeit" ist hier als Teilbarkeit in den ganzen Zahlen zu verstehen.

Aber wenn du möchtest, kannst du es ebenfalls mit VI beweisen. Dazu musst du wissen, dann mit x und y auch xy eine natürliche Zahl ist.

Ansonsten ist dein Beweis korrekt.

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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minusphalbe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-01


Hallo Diophant,

vielen Dank für den guten Tipp! Das habe ich nicht gesehen. Wahrscheinlich meinst du das so, oder?:

\({ a }^{ n+1 }-1=a\cdot { a }^{ n }-a+\left( a-1 \right) =a\cdot \left( { a }^{ n }-1 \right) +\left( a-1 \right)\) mit \(m\left( a-1 \right) ={ a }^{ n }-1\).

Mit \(m\in {N}\) folgt \({ a }^{ n+1 }-1=a\cdot { a }^{ n }-a+\left( a-1 \right) =a\cdot m\cdot \left( a-1 \right) +\left( a-1 \right)\) mit \(am+1\in {N}\).


Hallo StrgAltEntf,

2020-04-01 10:06 - StrgAltEntf in Beitrag No. 2 schreibt:
Aber wenn du möchtest, kannst du es ebenfalls mit VI beweisen. Dazu musst du wissen, dann mit x und y auch xy eine natürliche Zahl ist.

das möchte ich schon, aber ich kann es nicht, weil ich es noch nicht wirklich weiß.
Aber das wird schon noch, hoffe ich. ;-)

(Im Moment könnte ich das nur so sagen: Multiplikation ist in den natürlichen Zahlen eine andere Form der Addition und die Addition ist in den natürlichen Zahlen definiert durch die Induktivität. Aber ich vermute, das ist falsch oder reicht nicht aus und dürfte für dich daher ziemlich ‚gruselig‘ klingen.)

Vielen Dank euch beiden und

viele Grüße

minusphalbe



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-04-01

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo minusphalbe,

2020-04-01 11:25 - minusphalbe in Beitrag No. 3 schreibt:
Hallo Diophant,

vielen Dank für den guten Tipp! Das habe ich nicht gesehen. Wahrscheinlich meinst du das so, oder?:

\({ a }^{ n+1 }-1=a\cdot { a }^{ n }-a+\left( a-1 \right) =a\cdot \left( { a }^{ n }-1 \right) +\left( a-1 \right)\) mit \(m\left( a-1 \right) ={ a }^{ n }-1\).

Mit \(m\in {N}\) folgt \({ a }^{ n+1 }-1=a\cdot { a }^{ n }-a+\left( a-1 \right) =a\cdot m\cdot \left( a-1 \right) +\left( a-1 \right)\) mit \(am+1\in {N}\).

Ja, gut gemacht. 👍

Ich hatte es etwas anders:

\[a^{n+1}-1=a\cdot a^n-1=\left(a-1+1\right)\cdot a^n-1=\underbrace{(a-1)\cdot a^n}_{\text{offensichtlich durch}\\ \text{(a-1) teilbar}}+\underbrace{a^n-1}_{\text{nach IV durch}\\ \text{(a-1) teilbar}}\]

Gruß, Diophant

\(\endgroup\)


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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-04-01


2020-04-01 11:25 - minusphalbe in Beitrag No. 3 schreibt:
2020-04-01 10:06 - StrgAltEntf in Beitrag No. 2 schreibt:
Aber wenn du möchtest, kannst du es ebenfalls mit VI beweisen. Dazu musst du wissen, dann mit x und y auch xy eine natürliche Zahl ist.

das möchte ich schon, aber ich kann es nicht, weil ich es noch nicht wirklich weiß.
Aber das wird schon noch, hoffe ich. 😉

(Im Moment könnte ich das nur so sagen: Multiplikation ist in den natürlichen Zahlen eine andere Form der Addition und die Addition ist in den natürlichen Zahlen definiert durch die Induktivität. Aber ich vermute, das ist falsch oder reicht nicht aus und dürfte für dich daher ziemlich ‚gruselig‘ klingen.)

Das klingt in der Tat ein wenig gruselig 🙃

Wie wurden denn Addition, Multiplikation und Potenzierung von natürlichen Zahlen bei euch eingeführt? Oder wurde einfach vorausgesetzt, dass es das gibt?

Für die Potenz gilt ja \(a^{n+1}=a\cdot a^n\), und das hast du ja auch bereits verwendet.

Außerdem ist \(a^0=1\). Dies ist eine natürliche Zahl, und damit ist der IA geschafft.

Für den IS setzt du als IV voraus, dass \(a^n\) eine natürliche Zahl ist. Damit ist dann aber auch \(a^{n+1}=a\cdot a^n\) als Produkt zweier natürlicher Zahlen eine natürliche Zahl.



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minusphalbe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-02


Hallo StrgAltEntf,

und vielen Dank für deine Erklärung.

Ich bitte um Entschuldigung, ich mache Mathematik nur im Selbststudium und hoffe sehr, dass das für meine ‚Einbürgerung‘ auf diesem Planeten kein >no-go< bedeutet! Trotz allem Bemühen um Strukturiertheit gibt es bei mir (offensichtlich) Lücken, bzw. ich überspringe aus Neugier mal etwas (Wichtiges) mit einer Frage. Ich versuche mich aber mit zukünftigen Fragen zurückzuhalten, versprochen, weil ich natürlich verstehe, dass ich den Betrieb hier von Fragestellern, bei denen es pressiert, nicht aufhalten sollte. Bitte um Nachsicht!

Viele Grüße,

minusphalbe



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-04-02


Hallo nochmal,

hier möchte ich doch eingreifen bzw. widersprechen. 😉

2020-04-02 10:11 - minusphalbe in Beitrag No. 6 schreibt:
Ich bitte um Entschuldigung, ich mache Mathematik nur im Selbststudium und hoffe sehr, dass das für meine ‚Einbürgerung‘ auf diesem Planeten kein >no-go< bedeutet!

Nein, das Gegenteil ist der Fall. Jeder, der hierherkommt einfach aus Interesse an den beteiligten Fachbereichen ist eine Bereicherung für dieses Forum!

2020-04-02 10:11 - minusphalbe in Beitrag No. 6 schreibt:
Ich versuche mich aber mit zukünftigen Fragen zurückzuhalten, versprochen, weil ich natürlich verstehe, dass ich den Betrieb hier von Fragestellern, bei denen es pressiert, nicht aufhalten sollte. Bitte um Nachsicht!

Nein, tue das nicht. Frage uns "Löcher in den Bauch" (wie man bei uns in Süddeutschland sagt).


Gruß, Diophant



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-04-02


Diophants Ausführungen möchte ich zustimmen. Momentan werden wir auch nicht gerade mit Fragen überhäuft und die Antwortenden haben gerade viel Zeit. Die beste Gelegenheit also für dich, jetzt hier Hilfe abzuschöpfen 😃



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minusphalbe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-02



Hallo Diophant, hallo StrgAltEntf!

Vielen Dank für eure freundlichen Worte und eure Einladung, Fragen zu stellen. Was ich trotzdem versuchen will, mit Bedacht zu tun, damit die Fragen möglichst intelligent ausfallen. :-)

Viele Grüße,

minusphalbe



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minusphalbe hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
minusphalbe hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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