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Lineare Algebra » Matrizenrechnung » Erzeugung pythagoräischer Tripel durch Matrizengruppe
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Universität/Hochschule Erzeugung pythagoräischer Tripel durch Matrizengruppe
speed123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-04-05


Hallo zusammen

Ich bearbeite gerade folgende Aufgabe, wobei ich die ersten beiden Teilaufgaben bereits gezeigt habe.



Teil 3:

Sei \(v:=         \left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z \\
\end{array}
\right)\) so dass \(x^2 + y^2 = z^2\).

Wird von mir verlangt zu zeigen, dass für alle \(M \in S\), \(M\left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z \\
\end{array}
\right) = \left(
\begin{array}{c}
x' \\
y' \\
z'\\
\end{array}
\right)\). Wobei \(\left(
\begin{array}{c}
x' \\
y' \\
z'\\
\end{array}
\right)\)

ein neuer Vektor ist, welcher ebenfalls die Bedingung \(x^2 + y^2 = z^2\) erfüllt?

Ich erkenne, dass \(v^T \Omega v \) gleich \(x^2+y^2 - z^2\) entspricht. Jedoch verstehe ich nicht, wo genau es anzuwenden gilt.



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-04-05


2020-04-05 23:03 - speed123 im Themenstart schreibt:
Ich erkenne, dass \(v^T \Omega v \) gleich \(x^2+y^2 - z^2\) entspricht. Jedoch verstehe ich nicht, wo genau es anzuwenden gilt.

Setze hier anstelle von $v$ mal $Mv$ ein, denn das enspricht dann ja $x'\kern.5mu^2+y'\kern.5mu^2-z'\kern.5mu^2$.

--zippy



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speed123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-06


Wenn \(x,y,z \in \mathbb{Z}\) so dass \(x^2 + y^2 = z^2\) und \(v:=         \left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z \\
\end{array}
\right)\).

Die quadratische Form \(x^2 + y^2 - z^2\) entspricht: \(v^T \Omega v\). Da nun \(\Omega = M^T \Omega M\) gilt:

\(v^T \Omega v = v^T M^T \Omega M v = (Mv)^T \Omega (Mv) = v'^T \Omega v'\) Wobei \(v'\) der Spaltenvektor \(v' = Mv\) ist mit Elementen \(x', y', z'\).

Ich verstehe die Umformungen, der Hintergrund ist mir jedoch noch unklar. Warum darf ich \(x^2 + y^2 - z^2 = 0\) mit \(v^T \Omega v\) gleichsetzen. Wo ist bei \(v^T \Omega v\) die 0 auf der rechten Seite der Gleichung?

Wie erkläre ich die Aufgabe: Ich kann nicht wirklich in Worten fassen, was mit dieser Aufgabe gezeigt wurde.



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-04-06

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

2020-04-06 18:09 - speed123 in Beitrag No. 2 schreibt:
Wenn \(x,y,z \in \mathbb{Z}\) so dass \(x^2 + y^2 = z^2\) und \(v:=         \left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z \\
\end{array}
\right)\).

Die quadratische Form \(x^2 + y^2 - z^2\) entspricht: \(v^T \Omega v\). Da nun \(\Omega = M^T \Omega M\) gilt:

\(v^T \Omega v = v^T M^T \Omega M v = (Mv)^T \Omega (Mv) = v'^T \Omega v'\) Wobei \(v'\) der Spaltenvektor \(v' = Mv\) ist mit Elementen \(x', y', z'\).

So, bis hierher hast du den Tipp von zippy ja schonmal erfolgreich umgesetzt. 👍

2020-04-06 18:09 - speed123 in Beitrag No. 2 schreibt:
Ich verstehe die Umformungen, der Hintergrund ist mir jedoch noch unklar. Warum darf ich \(x^2 + y^2 - z^2 = 0\) mit \(v^T \Omega v\) gleichsetzen. Wo ist bei \(v^T \Omega v\) die 0 auf der rechten Seite der Gleichung?

Du musst ja einfach nur deine ganze Gleichungskette gleich Null setzen, dann hast du sofort \(x^2+y^2=z^2\ \Rightarrow\ (x')^2+(y')^2=(z')^2\).

2020-04-06 18:09 - speed123 in Beitrag No. 2 schreibt:
Wie erkläre ich die Aufgabe: Ich kann nicht wirklich in Worten fassen, was mit dieser Aufgabe gezeigt wurde.

Der Sinn des ganzen ist der, dass jedes Element der beschriebenen Matrizengruppe aus einem primitiven pythagoreischen Zahlentripel* ein neues (ebenfalls primitives) Tripel erzeugt. Dabei wird diese Gruppe wohl von drei Elementen erzeugt, wie die kurze Erwähnung auf der Webseite unseres Mitglieds stpolster nahelegt.

Mehr habe ich im Internet dazu bisher leider nicht gefunden, der Sachverhalt ist auf jeden Fall interessant.


Gruß, Diophant

* das ist ein bisschen erklärungsbedürftig, denn es werden auch negative Zahlen erzeugt. Wegen der Eigenschaft dieser Zahlen spielt das jedoch keine Rolle. Im Prinzip fasst man die Beträge der Komponenten aus den Bildvektoren wieder zu einem pythagoräischen Tripel zusammen. So stehen bspw. \(I_3\cdot\bpm 3\\4\\5\epm=\bpm 3\\4\\5\epm\) und \(\Omega\cdot\bpm 3\\4\\5\epm=\bpm 3\\4\\-5\epm\) für das gleiche Tripel.
\(\endgroup\)


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speed123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-06


Hallo Diophant

Vielen Dank für die ausführliche Antwort. Das alles macht jetzt nun mehr Sinn.

Man will also zeigen, dass\(Mv\) aus einem primitiven pythagoreischen Zahlentripel \(v\) ein neues (ebenfalls primitives) Tripel erzeugt. Also, dass \(Mv = v'\), wobei \(v'\) das neue pythagoreisches Zahlentripel ist.

Jedoch habe ich in meinem Beweis nur \(v^T \Omega v = v^T M^T \Omega M v = (Mv)^T \Omega (Mv) = v'^T \Omega v'\) Wobei \(v'\) der Spaltenvektor \(v' = Mv\) gezeigt.

Fehlt hier nicht der Beweis, dass \(v'\) ebenfalls ein pythagoreisches Zahlentripel ist?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-04-06

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

2020-04-06 21:13 - speed123 in Beitrag No. 4 schreibt:
Fehlt hier nicht der Beweis, dass \(v'\) ebenfalls ein pythagoreisches Zahlentripel ist?

Nein, das folgt sofort, wenn man drei Dinge beachtet:

- \(S\) ist offensichtlich eine Untergruppe von \(M_3(\IZ)\)

- \(v'\) gehorcht ja wie gezeigt ebenfalls der Gleichung \(x^2+y^2=z^2\)

- schaut man sich nun noch die möglichen Determinanten der Elemente von \(S\) an, dann wird auch unmittelbar klar, dass die Bild-Tripel ebenfalls primitiv sein müssen.

Damit sind insbesondere die Komponenten von \(v'\) ganzzahlig und alles ist gezeigt.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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