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Lineare Algebra » Eigenwerte » Spektralradius von symmetrisch positiv-definiten Matrizen bestimmen
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Universität/Hochschule Spektralradius von symmetrisch positiv-definiten Matrizen bestimmen
LineareAlgebruh
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-05-27

\(\begingroup\)\(%%%%%%%%%%%% mathematical bold  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\bA}{\mathbb{A}} \newcommand{\bB}{\mathbb{B}} \newcommand{\bC}{\mathbb{C}} \newcommand{\bD}{\mathbb{D}} \newcommand{\bE}{\mathbb{E}} \newcommand{\bF}{\mathbb{F}} \newcommand{\bG}{\mathbb{G}} \newcommand{\bH}{\mathbb{H}} \newcommand{\bI}{\mathbb{I}} \newcommand{\bJ}{\mathbb{J}} \newcommand{\bK}{\mathbb{K}} \newcommand{\bL}{\mathbb{L}} \newcommand{\bM}{\mathbb{M}} \newcommand{\bN}{\mathbb{N}} \newcommand{\bO}{\mathbb{O}} \newcommand{\bP}{\mathbb{P}} \newcommand{\bQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\bR}{\mathbb{R}} \newcommand{\bS}{\mathbb{S}} \newcommand{\bT}{\mathbb{T}} \newcommand{\bU}{\mathbb{U}} \newcommand{\bV}{\mathbb{V}} \newcommand{\bW}{\mathbb{W}} \newcommand{\bX}{\mathbb{X}} \newcommand{\bY}{\mathbb{Y}} \newcommand{\bZ}{\mathbb{Z}} %%%%%%%%% calligraphic %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} %%%%%%%%%%%%% mathematical fraktur  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\fA}{\mathfrak{A}} \newcommand{\fB}{\mathfrak{B}} \newcommand{\fC}{\mathfrak{C}} \newcommand{\fD}{\mathfrak{D}} \newcommand{\fE}{\mathfrak{E}} \newcommand{\fF}{\mathfrak{F}} \newcommand{\fG}{\mathfrak{G}} \newcommand{\fH}{\mathfrak{H}} \newcommand{\fI}{\mathfrak{I}} \newcommand{\fJ}{\mathfrak{J}} \newcommand{\fK}{\mathfrak{K}} \newcommand{\fL}{\mathfrak{L}} \newcommand{\fM}{\mathfrak{M}} \newcommand{\fN}{\mathfrak{N}} \newcommand{\fO}{\mathfrak{O}} \newcommand{\fP}{\mathfrak{P}} \newcommand{\fQ}{\mathfrak{Q}} \newcommand{\fR}{\mathfrak{R}} \newcommand{\fS}{\mathfrak{S}} \newcommand{\fT}{\mathfrak{T}} \newcommand{\fU}{\mathfrak{U}} \newcommand{\fV}{\mathfrak{V}} \newcommand{\fW}{\mathfrak{W}} \newcommand{\fX}{\mathfrak{X}} \newcommand{\fY}{\mathfrak{Y}} \newcommand{\fZ}{\mathfrak{Z}} %%%%%%%%%%    Math operators    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \DeclareMathOperator{\Id}{Id}             % identity morphism % \DeclareMathOperator{\ker}{ker}           % kernel \DeclareMathOperator{\rg}{rg}             % Rang \DeclareMathOperator{\defekt}{def}        % Defekt \DeclareMathOperator{\im}{im}             % image \DeclareMathOperator{\Hom}{Hom}           % homomorphisms \DeclareMathOperator{\End}{End}           % endomorphisms \DeclareMathOperator{\Span}{Span}         % linear span %%%%%%%%%%   Anderes Zeug :D   %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \def\C{\mathbb{C}} \def\R{\mathbb{R}} \def\K{\mathbb{K}} \def\Q{\mathbb{Q}} \def\Z{\mathbb{Z}} \def\N{\mathbb{N}} \def\H{\mathbb{H}} \def\e{\varepsilon}\)
Guten Abend.
Ich bearbeite derzeitig eine Aufgabe, und komme leider nicht weiter. Hier die Aufgabe:

"Sei \(A\) eine symmetrische, positiv-definite Matrix, und \( A = M-N\) eine Zerlegung von \( A\), wobei \( N\) ebenfalls eine symmetrische, positiv-definite Matrix ist. Es gilt zu zeigen: Der Spektralradius von \( I-M^{-1}A\) ist kleiner als 1."

(\( I\) ist die Einheitsmatrix).
Okay, aus \( M = A+N\) folgt direkt die Symmetrie und positive Definitheit von \(M\). Wir dürfen verwenden, dass der Spektralradius (also der betragsmäßig größte Eigenwert) immer kleiner gleich der induzierten Matrixnorm einer beliebgen Vektornorm ist. Die induzierte Vektornorm haben wir definiert als:

\( ||A||_M = \max_{||x||_V \neq 0} \frac{||Ax||_V}{||x||_V}\)

\( || \cdot ||_V\) ist eine Vektornorm. Wir wissen außerdem, dass alle Eigenwerte einer pd. Matrix positiv sind, außerdem ist uns die Existenz eines Eigenvektors für \( I-M^{-1}A\) bekannt. Meine erste Idee war folgende:

Sei \( x \) ein Ev., dann:

\( (I-M^{-1}A)x = \lambda x \iff x-M^{-1}Ax = \lambda x \iff M^{-1}Ax = (1-\lambda) x\)

Jetzt wäre es sehr praktisch gewesen, wenn \( M^{-1}A\) ebenfalls symmetrisch pd. wäre, das habe ich die ganze Zeit versucht irgendwie zu beweisen, nur leider stimmt es nicht. Wenn es wahr wäre könnte man einfach \( x^T\) auf beiden Seiten multiplizieren und es würde \( 1-\lambda > 0\) folgen. Leider ist dieser Schluss aber nicht möglich, es gibt sym. pd. Matirzen, deren Produkt nicht mehr sym. pd. ist. Leider weiss ich hier nicht weiter. Ich habe versucht, andere Normen zu verwenden, aber das hat auch nicht wirklich gut geklappt. Praktisch wäre eine Norm, die irgendwie gebrauch von Symmetrie und positiver Definitheit machen könnte, aber so eine hab ich nicht gefunden. Auch könnten Eigenschaften wie Diagonaldominanz hilfreich sein, aber auch das muss nicht zwingend gelten. Hat jemand einen Tipp, was ich vielleicht zusätzlich ausprobieren könnte?
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-02

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Leider bin ich immer noch nicht so ganz auf die Lösung gekommen, aber das hier war eine weitere Idee:

(Hier wird eine ganze Menge angenommen, die man davor vielleicht einmal kurz zeigen sollte)
 \( A \) lässt sich bzgl einer Basis aus Eigenvektoren diagonalisieren. Die Eigenvektoren von \( A \) sind auch Eigenvektoren von \( M\) und \( N\), weil es gilt: Wenn \(x\) Eigenvektor von \( A\) ist, dann:

\( Ax = \lambda x \implies \lambda x = (M-N)x = Mx - Nx = \mu x - \nu x = (\mu - \nu)x\)

Somit lassen sich auch \( M\) und \( N\) unter der selben Basis diagonalisieren. Wir haben nun also:

\( a_{ii} = \lambda_i = \mu_i - \nu_i\)

Weil alle Eigenwerte positiv und größer 0 sind, gilt also \( \mu_i > \lambda_i\)

Wenn man jetzt wieder \( I-M^{-1}A\) betrachtet bekommt man also eine Matrix mit nur Diagonal-Einträgen, die alle kleiner 1 sind, das sind direkt auch die Eigenwerte.

Ich habe hier einige Dinge angenommen, die wir so wahrscheinlich nicht gezeigt hatten, aber was anderes fiel mir in der ganzen Zeit nicht ein
\(\endgroup\)


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blauklaus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-06-02


Hallösche!

Ich befürchte Deine Überlegungen führen zu  nichts...

Du musst schon den Tipp verwenden und zwar angewendet auf die Matrix-Norm, die von der speziellen Norm

||x||:=(Mx,x)^0,5

induziert wird.

Außerdem brauchst Du:

(Nx,x)/(Mx,x) < 1

Hoffe, das hilft

Viele Grüße

Blauklaus



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